補充數學/傅立葉級數

傅立葉級數是對諸如 f(x) 之類的函式的週期性展開，它用無窮多個正弦和餘弦函式的和來表示，展開形式為指數形式。 也用於傅立葉級數。 傅立葉級數的研究是微積分學的一個分支，被稱為諧波分析。 當然，這個主題可以是三角集中的任意音調函式。 以及積分來匹配。

特別地，由於線性齊次常微分方程的解滿足疊加原理，如果可以為單個正弦曲線求解此類方程，則透過以傅立葉形式表示原始函式，可以立即得到任意函式的解。 是。 連線級數，然後為每個正弦分量求解。 在某些特殊情況下，如果傅立葉級數可以以閉合形式求和，則此技術甚至可以產生解析解。

任何構成完整正交系的函式集都具有類似於傅立葉級數的廣義傅立葉級數。 例如，利用第一類貝塞爾函式的根的正交性得到所謂的傅立葉-貝塞爾級數。

週期函式的傅立葉級數

例如，諸如正弦、餘弦和指數eikx之類的表示式可以用來定義傅立葉級數。 它提供了方波（1 或 0 或 -1），這些方波是不錯的例子，以及導數中的狄拉克函式。 為了呈現尖峰和階躍函式，以及斜面等，貝葉斯研究了它們的展開應該如何從理論上和數學上找到。 你應該先從sin x 開始。 這種傅立葉級數理論有一個週期為2π的sin(x + 2π) = sin x。 因為它是一個奇函式，因為 sin(-x) = - sin x，並且在 x = 0 和 x = π 處消失。 每個sin nx函式都有這三個性質，傅立葉研究了正弦的無限組合

$S(x)=b_{1}\sin x+b_{2}\sin 2x+b_{3}\sin 3x+...=\sum _{k=1}^{N}b_{n}\sin nx$

如果我們假設傅立葉級數中的數字下降得足夠快，那麼集合 S(x) 將具有三個特徵。 在這個假設中，衰減率和程式碼的重要性得到了預測。

週期性 S(x + 2π) = S(x) 奇數 S(−x) = −S(x) S(0) = S(π) = 0

200 年前，法國數學家約瑟夫·傅立葉提出了一個有趣的建議，擴充套件了傅立葉級數。約瑟夫·傅立葉認識到，具有這些性質的函式 S(x) 的級數可以寫成一個無窮級數。他用正弦和餘弦表示了它。這個想法開啟了傅立葉級數發展的重要篇章。在傅立葉級數中，我們和您要做的第一步是計算乘以 S(x) 中的 sin kx 或 cos kx 的係數 bk。

如果我們假設 $S(x)=\sum b_{n}\sin(nx)$ 的展開式，兩邊都可以乘以 sin kx。如果從 0 到 π 對其進行積分，則積分結果為

$\int _{0}^{\pi }S(x)=\sin(kx)dx=\int _{0}^{\pi }b_{1}\sin(x)\sin(kx)dx+\int _{0}^{\pi }b_{2}\sin(2x)\sin(kx)dx+...+\int _{0}^{\pi }b_{k}\sin(kx)\sin(kx)dx$

在右側，除了 n = k 的突出顯示的積分外，所有積分都為零。這種“正交”特性將貫穿整個章節。當它們在 0 到 π 的範圍內進行積分時，它們在函式空間中形成 90◦ 角。

$\int _{0}^{\pi }\sin(nx)\sin(kx)dx$