補充數學/數學

數學是計算數字的藝術，也研究數量（數論）、結構（代數）、空間（幾何）和變化（數學分析）等主題。事實上，並沒有一個得到所有人認可的關於數學的普遍定義。

大多數數學活動都涉及透過純粹推理發現和證明抽象物件的性質。這些物件要麼是對自然界的抽象，例如自然數或直線，要麼是現代數學中的實體，它們具有某些稱為公理的性質。一個論證由一組對已知結果（包括先前證明的定理、公理和（如果從自然界抽象）一些作為所考慮理論的實際起點而被接受的基本性質）的一些演繹規則的應用組成，論證的結果被稱為定理。

數學被廣泛應用於科學中對現象進行建模。這使得從經驗定律推匯出定量預測成為可能。例如，行星的運動可以用牛頓萬有引力定律結合數學計算來精確預測。數學真理獨立於任何實驗的事實表明，這種預測的準確性只取決於模型描述現實的充分性。不正確的預測表明需要改進或改變數學模型，而不是模型本身的數學是錯誤的。例如，水星近日點的進動不能用牛頓萬有引力定律來解釋，但可以用牛頓萬有引力定律來精確解釋。愛因斯坦的廣義相對論 - 這個對愛因斯坦理論的實驗驗證表明，牛頓萬有引力定律只是一個近似，儘管它在日常應用中是準確的。

數學在許多領域是必不可少的，包括自然科學、工程、醫學、金融、計算機科學和社會科學。一些數學領域，如統計學和博弈論，是與它們的應用緊密聯絡起來發展的，通常被歸類為應用數學。其他數學領域獨立於任何應用而發展（因此被稱為純粹數學），但後來經常發現實際應用。一個很好的例子是整數因式分解問題，它可以追溯到歐幾里得時代，但在被用於 RSA 密碼系統（用於計算機網路安全）之前，它沒有實際應用。

從歷史上看，證明的概念以及與之相關的數學精確性首先出現在希臘數學中，特別是在歐幾里得的《幾何原本》中。從一開始，數學基本上就被分為幾何和算術（數字和自然分數的操作）直到 16 世紀和 17 世紀，代數和微積分作為新的學科被引入。自那時起，數學創新與科學發現之間的相互作用導致了數學的快速發展。在 19 世紀末，數學基礎危機導致公理化方法的系統化。這反過來導致了數學學科數量及其應用領域的顯著增加。這種分類的一個例子是數學課程，它列出了六十多個一級數學領域。

歷史

數學史可以看作是一系列不斷抽象化的過程。許多動物可能共有的第一個抽象能力可能是數的概念：理解兩顆蘋果和兩顆橘子的集合有什麼共同之處，以及數量是它們的數。

史前的人們可以計算實物和抽象物體，如日子、季節和年份，這從木刻中可以得到證明。

直到公元前 3000 年才出現更復雜數學的證據，當時巴比倫人和埃及人開始使用算術、代數和幾何來進行與稅收和其他經濟概念相關的計算，以及建築或天文學。最古老的數學文字來自美索不達米亞和埃及，可以追溯到公元前 2000-1800 年。許多早期文字都提到了畢達哥拉斯三元組，因此看來畢達哥拉斯定理是發明三角學最重要的方法之一。

這個定理已經被不同的幾何和代數方法證明了很多次，其中一些證明可以追溯到幾千年前。它是繼初等算術和幾何之後最古老、最廣泛的數學發展。在歷史文獻中，它是在巴比倫數學中首次出現初等算術（加、減、乘和除）。巴比倫人還使用一種位值裝置，它實現了一種以 60 為基數的數字裝置，這種裝置至今仍在用於測量角度和時間。

隨著公元前 6 世紀的開始，希臘數學家與畢達哥拉斯學派開始系統地研究數學，目的是更多地瞭解數學本身，這是希臘數學的開始。大約在公元前 300 年，歐幾里得引入了主題原則方法，這種方法至今仍在數學中使用，包括定義、原則、定理和證明。他的參考書被稱為《歐幾里得幾何原本》，被廣泛認為是有史以來最成功和最有影響力的參考書。最偉大的古代數學家通常被認為是來自敘拉古的阿基米德（公元前 287-212 年）。他找到了計算旋轉物體面積和體積的公式，並使用阿芙娜方法使用無限級數的和來計算拋物線下面積，這與現代微積分的方式並不不同。希臘數學的其他顯著成就包括圓錐曲線（阿波羅尼烏斯，公元前 3 世紀）、三角學（希帕克，公元前 2 世紀）和代數的開始（丟番圖，公元 3 世紀）。

今天全世界都在使用的印度-阿拉伯數字系統及其運算規則是在公元 1 千年期間在印度發展起來的，然後透過伊斯蘭數學傳到了西方世界。與印度數學相關的其他發展包括現代正弦和餘弦的定義以及無限級數的早期形式。

在伊斯蘭黃金時代，即公元 9 世紀和 10 世紀，數學取得了重要創新，這些創新基於希臘人的數學。伊斯蘭數學最重要的成就是代數的發展。伊斯蘭時期數學的其他重要成就包括球面三角學的進步以及小數的加入到阿拉伯數字系統中。這一時期的許多數學家都是波斯語使用者，例如花拉子密、卡西和託西。

在早期現代時期，數學開始在西歐迅速發展。牛頓和萊布尼茨在 17 世紀發展出的微積分徹底改變了數學。萊昂哈德·尤拉是 18 世紀最重要的數學家，他為數學增加了許多定理和發現。也許 19 世紀最重要的數學家是德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯，他為代數、分析、微分幾何、矩陣理論、數論和統計等各個數學分支做出了許多貢獻。在 20 世紀初，庫爾特·哥德爾透過發表其不完備性定理徹底改變了數學。這些定理表明，任何相容的原則系統都包含不可證偽命題。

從那時起，數學得到了廣泛的發展，數學與科學之間產生了富有成效的相互作用，這對兩者都有益。數學發現至今仍在繼續。據米哈伊爾·蘇里烏克在 2006 年 1 月的《美國數學會通報》上發表的文章稱，“自 1940 年（MR 開始運營的第一年）以來，數學評論資料庫中的文章和書籍數量已達到 190 萬篇，每年增長超過 75000 篇。這個海洋中的絕大多數作品都包含新的數學定理及其證明。

數學領域

文藝復興之前，數學被分為兩個主要領域：關於數字操作的算術和關於形狀研究的幾何。一些偽科學，如命理學和占星術，當時沒有與數學明確區分。

在文藝復興時期，出現了另外兩個領域。數學符號導致了代數，簡而言之，它包括公式的研究和操作。微積分包括兩個子領域微分微積分和積分微積分，是關於連續函式的研究，這些函式模擬了變化量之間的典型非線性關係，如變數所表示的那樣。這種劃分為四個主要領域——算術、幾何、代數、微積分——一直持續到 19 世紀末。當時，數學家研究了天體力學和固體力學等領域，但現在被認為屬於物理學。組合學在大部分有記錄的歷史中都被研究過，但在 17 世紀之前並沒有成為數學的一個獨立分支。

在 19 世紀末，數學基礎危機以及隨之而來的公理化方法的系統化導致了數學新領域的爆發。2020 年數學學科分類包含不少於一級領域。其中一些領域對應於較舊的劃分，這對於數論（高階算術的現代名稱）和幾何來說是正確的。幾個其他一級領域在其名稱中包含“幾何”，或者通常被認為是幾何的一部分。代數和微積分沒有作為一級領域出現，而是分別被分成幾個一級領域。其他一級領域是在 20 世紀出現的，或者以前沒有被認為是數學，例如數學邏輯和基礎。

數論

數論始於對數字的操作，即自然數 $(\mathbb {N} ),$ ，後來擴充套件到整數 $(\mathbb {Z} )$ 和有理數 $(\mathbb {Q} ).$ 數論曾經被稱為算術，但現在這個詞主要用於數值計算。數論可以追溯到古代巴比倫和可能還有中國。兩位著名的早期數論學家是古希臘的歐幾里得和亞歷山大的丟番圖。現代數論在抽象形式上的研究在很大程度上歸功於皮埃爾·德·費馬和萊昂哈德·尤拉。該領域隨著阿德里安-馬裡·勒讓德和卡爾·弗里德里希·高斯的貢獻而走向成熟。

許多容易陳述的數字問題都有需要複雜方法的解決方案，這些方法往往來自數學領域。一個著名的例子是費馬大定理。這個猜想是 1637 年由皮埃爾·德·費馬提出的，但直到 1994 年才由安德魯·懷爾斯證明，他使用了包括代數幾何中的方案論、範疇論和同調代數在內的工具。另一個例子是哥德巴赫猜想，它斷言每個大於 2 的偶數都是兩個素數的和。該猜想是 1742 年由克里斯蒂安·哥德巴赫提出的，儘管付出了相當大的努力，但它仍然沒有得到證明。

數論包括幾個子領域，包括解析數論、代數數論、數論幾何（方法導向）、丟番圖方程和超越數論（問題導向）。

幾何

幾何學是數學最古老的分支之一。它始於關於形狀的經驗性配方，如線、角和圓，這些配方主要為測量和建築的需求而發展，但自那時起已發展成為許多其他子領域。

一項基本創新是古希臘人引入證明的概念，它要求每個斷言都必須得到證明。例如，透過測量來驗證兩個長度相等是不夠的，它們的相等性必須透過對先前接受的結果（定理）和一些基本陳述進行推理來證明。基本陳述不受證明，因為它們是自明的（公理），或者是由所研究物件的定義組成（公設）。這一原理是所有數學的基礎，它首先在幾何學中得到闡述，並由歐幾里得大約在公元前 300 年在他的著作《幾何原本》中系統化。

由此產生的歐幾里得幾何學是研究從歐幾里得平面（平面幾何）和三維歐幾里得空間中的線、平面和圓構建的形狀及其排列。

歐幾里得幾何學在方法或範圍上沒有改變，直到 17 世紀，勒內·笛卡爾引入了現在稱為笛卡爾座標系的座標系。這構成了一個主要的正規化轉變：它不再將實數定義為線段的長度（參見數軸），而是允許使用點的座標來表示點，這些座標是數字。因此，代數（以及後來的微積分）可以用來解決幾何問題。幾何學被分成兩個新的子領域：合成幾何學，它使用純粹的幾何方法，以及解析幾何學，它系統地使用座標系。

解析幾何學允許研究與圓和線無關的曲線。這些曲線可以定義為函式的圖形，其研究導致了微分幾何。它們也可以定義為隱式方程，通常是多項式方程（它產生了代數幾何）。解析幾何學還使得研究超過三個維度的歐幾里得空間成為可能。

在 19 世紀，數學家發現了非歐幾里得幾何，它不遵循平行公理。透過質疑該公理的真理性，這一發現被認為與羅素悖論一起揭示了數學基礎的危機。這場危機的這一方面是透過系統化公理方法並接受所選公理的真理性不是數學問題而得到解決的。反過來，公理方法允許研究透過改變公理或透過考慮在空間的特定變換下不改變的性質而獲得的各種幾何學。

今天的幾何學子領域包括

射影幾何學，由 16 世紀的吉拉爾·德扎格引入，它透過在平行線相交的無窮遠處新增點來擴充套件歐幾里得幾何學。這透過統一對相交線和平行線的處理來簡化了許多古典幾何學方面。
仿射幾何學，研究與平行相關的性質，而與長度的概念無關。
微分幾何學，研究曲線、曲面及其推廣，這些推廣是用可微函式定義的。
流形理論，研究不一定嵌入更大空間的形狀。
黎曼幾何學，研究彎曲空間中的距離性質。
代數幾何學，研究曲線、曲面及其推廣，這些推廣是用多項式定義的。
拓撲學，研究在連續變形下保持的性質。
- 代數拓撲學，在拓撲學中使用代數方法，主要是同調代數。
離散幾何學，研究幾何學中的有限配置。
凸幾何學，研究凸集，它在最佳化方面的應用使其變得重要。
復幾何學，透過用複數代替實數而獲得的幾何學。

代數

代數是操作方程和公式的藝術。丟番圖（3 世紀）和花拉子密（9 世紀）是代數的兩位主要先驅。丟番圖透過推匯出新的關係來解決一些涉及未知自然數的方程，直到他得到解。花拉子密介紹了轉換方程的系統方法，例如將一個項從方程的一邊移動到另一邊。術語“代數”源於阿拉伯語“al-jabr”，意思是“將斷裂的部分重新組合起來”，他在其主要論文的標題中用它來命名這些方法之一。

代數成為一個獨立的領域是在弗朗索瓦·韋達 (1540–1603) 之後，他引入了使用變數來表示未知或未指定數字。變數允許數學家使用數學公式來描述必須對錶示的數字執行的操作。

直到 19 世紀，代數主要由線性方程（目前為線性代數）和單個未知數的多項式方程的研究組成，這些方程被稱為代數方程（一個仍在使用，儘管它可能是模稜兩可的術語）。在 19 世紀，數學家開始使用變數來表示除數字之外的事物（如矩陣、模整數和幾何變換），在這些事物上，算術運算的推廣通常是有效的。代數結構的概念解決了這個問題，它由一個集合組成，該集合的元素是未指定的，作用於集合元素的操作，以及這些操作必須遵循的規則。因此，代數的範圍擴充套件到包括對代數結構的研究。代數的這個物件被稱為現代代數或抽象代數，這是由埃米·諾特的影響和著作建立的。（後一個術語主要出現在教育環境中，與初等代數相對，初等代數與操作公式的舊方法有關。）

某些型別的代數結構在許多數學領域具有有用且通常是基本性質。它們的研究成為代數的自主部分，包括

群論；
域論；
向量空間，其研究基本上與線性代數相同；
環論；
交換代數，它是交換環的研究，包括多項式研究，是代數幾何學的基礎部分；
同調代數；
李代數和李群論；
布林代數，廣泛用於研究計算機的邏輯結構。

對作為數學物件的代數結構型別的研究是泛代數和範疇論的目的。後者適用於每個數學結構（不僅僅是代數結構）。在它的起源，它與同調代數一起被引入，用於允許對非代數物件（如拓撲空間）進行代數研究；這個特定的應用領域被稱為代數拓撲。

微積分與分析

微積分，以前稱為無窮小微積分，是由 17 世紀的數學家牛頓和萊布尼茨獨立同時引入的。它本質上是研究相互依賴的變數之間的關係。微積分在 18 世紀由尤拉透過引入函式的概念以及許多其他結果而得到擴充套件。目前，“微積分”主要指該理論的初等部分，“分析”通常用於高階部分。

分析進一步細分為實分析，其中變量表示實數，和複分析，其中變量表示覆數。分析包括許多其他數學領域共有的子領域，包括

多元微積分
泛函分析，其中變量表示變化的函式；
積分，測度理論和勢理論，這些都與連續體的機率論密切相關；
常微分方程；
偏微分方程；
數值分析，主要致力於計算機上計算許多應用中出現的常微分方程和偏微分方程的解。

離散數學

廣義來說，離散數學是對單個可數數學物件的學習。例如所有整數的集合。由於這裡學習的物件是離散的，所以微積分和數學分析的方法不直接適用。演算法，特別是它們的實現和計算複雜度，在離散數學中起著重要作用。

四色定理和最優球體填充是 20 世紀下半葉解決的兩個主要的離散數學問題。P 對 NP 問題至今仍未解決，對離散數學也很重要，因為它的解將可能影響大量的計算難題。

離散數學包括

組合學，是列舉滿足某些給定約束的數學物件的藝術。最初，這些物件是給定集合的元素

或子集；這已擴充套件到各種物件，這在組合學和其他離散數學部分之間建立了牢固的聯絡。例如，離散幾何學包括計算幾何形狀的配置

圖論和超圖
編碼理論，包括糾錯碼和密碼學的一部分
擬陣理論
離散幾何
離散機率分佈
博弈論（儘管也研究連續博弈，但大多數常見博弈，如象棋和撲克都是離散的）
離散最佳化，包括組合最佳化，整數規劃，約束規劃

數學邏輯和集合論

數學邏輯和集合論這兩個學科自 19 世紀末就已屬於數學。在此之前，集合不被認為是數學物件，而邏輯儘管被用於數學證明，但屬於哲學範疇，並沒有被數學家專門研究。

在康託研究無限集合之前，數學家不願考慮實際的無限集合，並將無限視為無休止列舉的結果。康託的工作不僅因考慮實際的無限集合而冒犯了許多數學家，還透過康託的對角線論證表明這意味著無限的不同大小。這導致了關於康託集合論的爭議。

在同一時期，數學的各個領域得出結論，以前對基本數學物件的直觀定義不足以確保數學嚴謹性。此類直觀定義的例子是“集合是物件的集合”，“自然數是用於計數的東西”，“點是形狀，在每個方向上的長度為零”，“曲線是運動點留下的軌跡”等。

這成為數學基礎危機。它最終透過在形式化的集合論中系統化公理方法在主流數學中得到解決。粗略地說，每個數學物件都是由所有相似物件的集合和這些物件必須具有的屬性定義的。例如，在皮亞諾算術中，自然數由“零是一個數”，“每個數都有一個唯一的後繼”，“除零以外的每個數都有一個唯一的前繼”和一些推理規則定義。這種對現實的數學抽象體現在現代形式主義哲學中，如大衛·希爾伯特在 1910 年左右創立的那樣。

以這種方式定義的物件的“本質”是一個哲學問題，數學家將其留給哲學家，即使許多數學家對這種本質有自己的看法，並利用他們的看法——有時被稱為“直覺”——來指導他們的研究和證明。這種方法允許將“邏輯”（即允許推論規則的集合）、定理、證明等視為數學物件，並證明關於它們的定理。例如，哥德爾不完備定理大體上斷言，在包含自然數的每一個一致的形式系統中，都存在著在該系統中不可證明但真實的定理（即在更強的系統中可證明）。這種關於數學基礎的方法在 20 世紀上半葉受到以布勞威爾為首的數學家的挑戰，他們提倡直覺主義邏輯，它明確缺乏排中律。

這些問題和爭論導致了數學邏輯的廣泛擴充套件，包括模型論（在其他理論中對某些邏輯理論進行建模）、證明論、型別論、可計算性理論和計算複雜性理論等子領域。儘管這些數學邏輯方面的知識是在計算機出現之前引入的，但它們在編譯器設計、程式認證、證明助手和其他計算機科學方面的應用，反過來又促進了這些邏輯理論的擴充套件。

統計學和其他決策科學

Whatever the form of a random population distribution (μ), the sampling mean (x̄) tends to a Gaussian distribution and its variance (σ) is given by the central limit theorem of probability theory. — 無論隨機總體分佈（μ）的形式如何，樣本均值（x̄）都趨向於高斯分佈，其方差（σ）由機率論的中心極限定理給出。

統計學領域是一種數學應用，用於收集和處理資料樣本，使用基於數學方法（尤其是機率論）的程式。統計學家使用隨機抽樣或隨機實驗生成資料。統計樣本或實驗的設計決定了將使用的分析方法。來自觀察性研究的資料分析使用統計模型和推理理論，使用模型選擇和估計。然後，模型和隨之而來的預測應該針對新資料進行測試。

統計理論研究決策問題，例如最小化統計操作的風險（預期損失），例如在引數估計、假設檢驗和選擇最佳方法中使用程式。在這些傳統的數學統計領域，統計決策問題是透過在特定約束下最小化目標函式（如預期損失或成本）來制定的。例如，設計調查通常涉及在給定置信水平下最小化估計總體均值的成本。由於使用了最佳化，數學統計理論與其他決策科學（如運籌學、控制論和數學經濟學）重疊。

計算數學

計算數學是對通常太大而無法用人工進行數值計算的數學問題的研究。數值分析研究使用泛函分析和逼近理論解決分析問題的方法；數值分析廣泛包括對逼近和離散化的研究，特別關注舍入誤差。數值分析，更廣泛地說，科學計算還研究數學科學的非解析主題，特別是演算法矩陣和圖論。計算數學的其他領域包括計算機代數和符號計算。