補充數學/非歐幾何
幾何學是數學的一個分支，它研究點集（例如，線和麵上的以及線和麵之間的點集）的位置、大小和形狀的規律性，包括它們的改變和對映。根據是否考察度量關係（長度、角度大小、面積、體積）或者僅僅考慮物體的相互位置，人們將其稱為度量幾何或射影幾何。
度量幾何包括歐幾里得幾何，它基於平行公理，以及非歐幾何，例如羅巴切夫斯基-鮑耶（雙曲）幾何，它保留了歐幾里得幾何的所有公理，但沒有使用平行公理，以及黎曼（橢圓）幾何，它也基於這樣的假設，即並非每條直線都是無限長的。
幾何學是數學的一個分支，它研究點集（例如，線和麵上的以及線和麵之間的點集）的位置、大小和形狀的規律性，包括它們的改變和對映。根據是否考察度量關係（長度、角度大小、面積、體積）或者僅僅考慮物體的相互位置，人們將其稱為度量幾何或射影幾何。度量幾何包括歐幾里得幾何，它建立在平行公理的基礎上，以及非歐幾何，例如博萊-羅巴切夫斯基（雙曲）幾何，它保留了歐幾里得幾何的所有公理，但沒有使用平行公理，以及黎曼（橢圓）幾何，它也基於這樣的假設，即並非每條直線都是無限長的。射影幾何可以將這三種幾何作為一般維度幾何的特殊形式來發展。
大約2000年來，人們一直認為歐幾里得幾何具有普遍的有效性，例如，用來描述真實的物理空間。但隨後，人們對這種觀點的批評越來越多，導致了兩項重要的發現。
對歐幾里得幾何與算術分離的批評導致了實數概念的產生，藉助實數概念，不僅可以刻畫可公度量，還可以刻畫不可公度量。這為變數數學的興起奠定了基礎。勒內·笛卡爾和卡爾·弗里德里希·高斯在這個領域進行了工作。對個別公設，特別是第五公設（平行公設）的批評，導致了其他不與現實相矛盾的幾何學的發展——非歐幾何學（由羅巴切夫斯基、鮑耶、高斯或黎曼提出），這導致了從常數關係的數學向可變關係的數學的過渡。因此，平行公設被其相反的陳述所取代：“在平面上，過已知直線外一點，可以畫出不止一條直線與已知直線不相交”。事實證明，這種幾何與歐幾里得-希爾伯特幾何一樣自洽。如果多種幾何都是可能的，那麼就不存在基本術語的一般定義。因此，（歐幾里得和其他人）試圖定義基本術語的努力在原則上是不可能的。因此，基本術語只參考所考慮的系統。
歐幾里得幾何是我們直覺中真實空間的模型這一說法並沒有回答這個問題。在地球表面的小區域進行實驗時，可以假設該表面是平的。另一方面，如果你在大面積進行實驗，你必須將表面想象成彎曲的或球形的。相應地，非歐幾何在小區域幾乎與歐幾里得幾何沒有區別。只有在大空間區域才會出現差異。關於真實世界幾何結構的問題導致了自然科學的新發現和發展，例如愛因斯坦的相對論，它徹底打破了通常的幾何觀念。
新歐幾里得幾何後來由高斯和黎曼以更一般的幾何形式發展起來。這是一種更一般的幾何，在愛因斯坦的廣義相對論中得到了應用。在非歐幾里得幾何中，內角和並不像180度。例如，如果三角形的邊是雙曲線的，則內角和永遠達不到180度，並且小於180度。同樣，如果幾何是橢圓形的，它也不會是180度；而是更大。