補充數學/多面體

多面體 是三維空間中的一個固體幾何物體，它具有光滑且規則的面（每個面都在一個平面上）和位於直線上的邊或稜。到目前為止，還沒有為它提供一個統一的定義。四面體是一種金字塔，立方體是六面體的例子。多面體可以是凸的或非凸的。像金字塔和稜柱這樣的多面體可以透過擠出二維多邊形來製作。只有有限數量的凸多面體具有規則的面和等角形狀，包括柏拉圖立體和阿基米德立體。一些阿基米德立體可以透過切割柏拉圖立體的頂端金字塔來製作。由於結構的簡單性，多面體在大多數建築作品中都有使用，例如測地線圓頂和金字塔。最近，由於形狀的應用，人們對多面體表面的興趣日益濃厚。一些緊湊的分子和原子，尤其是晶體結構和柏拉圖烴，以及一些徑向，具有與柏拉圖立體相似的形狀。柏拉圖立體也被用於製造骰子。多面體具有不同的特徵和型別，並被置於不同的對稱群中。其他多面體可以透過對任何多面體進行操作來建立。其中一些彼此之間存在關係。多面體從石器時代就引起了人們的興趣。球體也被視為多面體家族的一部分。立方體、四面體、平行四邊形是幾何體積，也被認為是多面體。

定義

凸多面體有明確的定義，凸多面體本身也是定義明確的，可以計算體積和麵積，除了幾何體積之外還可以使用。但凹多面體是非幾何體積，它們的定義很困難，而且非常困難，它們沒有恆定的面積和體積公式。幾何體積和非幾何體積是多面體的型別，但它們的區別在於它們的凹性和凸性。

從這些定義中，可以提到以下幾點

• 對多面體的一個常見且相對簡單的定義是：一個固體物體，其外表面可以用大量的面覆蓋，或由凸多面體的並集形成的固體。這個定義的自然擴充套件要求所討論的固體是有限的，它的內部和可能還有它的邊界也是連通的。這種多面體的面可以定義為邊界部分中每個覆蓋它的平面的內部的連通空間，它們的邊和頂點可以定義為線段和麵相遇處的點。然而，以這種方式定義的多面體不包括星形多面體，其面可能不會形成簡單多邊形，並且其中一些邊屬於兩個以上的面。
• 基於極限表面而不是固體的概念的定義也很常見。例如，O'Rourke (1993) 將多面體定義為凸多邊形（它的面）的集合。這些多邊形在空間中以這樣的方式排列：兩個多邊形的交點（或共享）是一個公共頂點或邊，或者為空集，使得它們的並集是一個流形。如果這樣的表面的一個平面部分本身不是一個凸多邊形，那麼 O'Rourke 規定該部分必須被分成幾塊，每塊都是一個更小的凸多邊形，使得它們之間的二面角是平的。更一般地說，Branko Grünbaum 將多面體定義為簡單多邊形的集合，形成一個嵌入流形，每個頂點至少由三條邊到達，並且任何兩面只在彼此共同的頂點和邊處相交。Cromwell 關於多面體的書給出了一個類似的定義，但沒有每頂點至少三條邊的限制。同樣，這種型別的定義不包括相交的多面體。類似的概念構成了多面體的拓撲定義的基礎，作為拓撲流形的子集，進入拓撲圓盤（面），它們的二進位制交點是點（頂點）、拓撲弧（邊）或集合為空。然而，存在不能理解為幾何多面體的拓撲多面體（即使具有完美的三角形）。
• 基於單多面體理論的更現代的定義也很普遍。這些多面體可以定義為具有偏序關係的集合，使得它們的元素是多面體的頂點、邊和麵。當頂點或邊小於邊或面時，頂點或邊的元素小於邊或面的元素（因此較小）。此外，這種偏序關係可能有一個特殊的較低元素（表示空集）和一個表示整個多面體的較高元素。如果部分順序段在三個面的元素之間（即，在每個面和底部元素之間以及在頂部元素和每個頂點之間）具有與多邊形的抽象表示相同的結構，那麼這些有序集恰好包含與它們相同的的資訊。它們攜帶拓撲多面體。然而，這些要求通常是寬鬆的，而是僅僅要求來自彼此的兩面的元素之間的橫截面具有與線段的抽象表示相同的結構。（這意味著每條邊包含兩個頂點，並且屬於兩個面，並且面中的每個頂點都屬於該面的兩條邊。）以其他方式定義的幾何多面體，可以用這種方式抽象出來。被描述，但抽象多面體也可以用作定義幾何多面體的基礎。抽象多面體的實現通常被認為是將抽象多面體的頂點對映到幾何點，使得每個面的頂點是共面的。因此，幾何多面體可以定義為抽象多面體的實現。取消平面度要求、施加額外的對稱要求或將頂點對映到更高維空間的實現也被考慮在內。與基於固體和過程的定義相比，後一個定義非常適合星形多面體。然而，如果沒有額外的限制，這個定義允許構建多面體或不忠實的多面體（例如，透過將所有頂點對映到一個點）以及這個問題：“我們如何約束這些中的一些的實現以避免這些多面體？”被阻止了嗎？”也仍然沒有得到解決。
• 在所有這些定義中，多胞體可以理解為任何維度的更一般多胞體的三維例項。例如，多邊形具有二維主體，沒有面，而四胞體具有四維主體，以及額外的三維“胞”。然而，一些關於高維幾何的文獻使用“多胞體”一詞來表示其他含義：不是三維多胞體，而是與多胞體有某種不同的形狀。例如，一些資料將凸多邊形定義為多個半空間的交集，並將多胞體定義為有界多胞體。在本文中，只討論三維多面體。

角

平面角：多面體多邊形每個角的角都稱為平面角。空間角：多面體在三維空間中在一個頂點上覆蓋的每個角都稱為空間角。這些角中的每一個都由三個或更多個直角角限定。二面角：多面體的兩個面之間的任何角都稱為二面角。

多面體表面

“多面體表面”是透過連線有限數量的平面多邊形面而產生的，不一定封閉空間。多面體表面可以具有邊界邊和邊界頂點（只有當多面體表面只包含一個面時）。

最近，由於形狀的應用，人們對建築中多面體表面的興趣日益濃厚。

預備知識

預備知識是我們簡單定義的一些小東西。

面

在多面體中，“面”是指任何構成固體邊界一部分的多邊形，其面積為“¹”。由面完全包圍的三維固體稱為多面體。

在更專業的幾何學方法中，涉及多面體和更高維度的多胞體，該術語也用於表示更一般多胞體（任何維度）的任何維度的元素。

頂點

“頂點”（阿拉伯語：“Ras”）（英語：vertex）在幾何學中是指開放或封閉多邊形中兩條直邊相交的點。換句話說，頂點是角的尖端或幾何圖形中線的交點。連線兩個頂點形成一條線，連線三個頂點形成一個面。

在 3D 電腦圖形模型中，頂點通常用於定義曲面（通常是三角形），並且這些模型中的每個頂點都用向量表示。在圖論中，頂點也稱為節點。

任何平面多邊形的頂點數等於邊數。

邊

在幾何學中，“邊”或“線”或“稜”是指連線多邊形中兩個相鄰頂點的線段；因此，在實際應用中，邊是連線一維線段和兩個零維物件的介面。

邊是構成每個形狀的線，它們的數目在不同的形狀中通常不同。例如，三角形有 3 條邊，正方形和矩形有 4 條邊。

平面的封閉邊序列形成一個多邊形（以及一個面）。在多面體中，每條邊上恰好有兩個面相接，而在更高維度的多面體中，每條邊上恰好有三個或更多個面相接。² sup>

角

平面角是多邊形面的角角。

立體角是三維空間中的一個角，它覆蓋了頂點上的多面體。此角由三個或更多個立體角包圍。

二面角是兩個相鄰面之間的角。

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^{1. 側面的表面積}

^{2. 接觸是指它們具有共同的頂點。}

特徵和特性

多面體資金數量

多面體根據其面的數量進行分類和命名，並基於古典希臘語；例如，四面體表示有四個面的多面體，五面體表示有五個面的多面體，六面體表示有六個面的多面體，依此類推。

多面體的內角

多面體由規則多邊形構成。與多邊形一樣，多面體也有內角和外角。

多面體的內角根據頂點的面的數量和邊的數量來獲得。

例如，四面體有四個等邊三角形，其面的內角為 60 度，其內角之和為 180 度。但四面體總內角為 720 度。

因此，內角之和與內角大小的寫法相一致。

$$180n[(n'-2)]$$

$${\frac {180}{n'}}n[(n'-2)]$$

形狀和角

對於每個頂點，可以定義一個角形狀，它定義了多面體圍繞頂點的形狀。確切的定義是可變的，但角形狀可以定義為透過切斷多面體的頂點而形成的形狀。如果由此過程產生的多邊形是規則的，則該頂點被認為是規則的。

頂點符號

頂點符號或頂點配置是一個簡寫符號，用於表示多面體或平鋪的角形狀，如圍繞頂點的面的序列。對於均勻多面體，只有一種角形狀，因此頂點配置完全定義了多面體。

頂點符號表示為數字序列，這些數字表示圍繞頂點的面的邊數。表示法“a.b.c”描述了一個頂點，它周圍有 3 個面，邊長為 a、b 和 c。

面配置

面對稱的均勻二項式可以使用與頂點配置相同的縮寫表示，稱為面配置。這些符號用 V 表示差異。此符號定義為圍繞面的頂點處連續的面數。例如，十二面體的面配置為 V3,4,3,4 或 ²(3,4)V。

體積

多面體固體具有稱為體積的特定值，它衡量它們所佔空間的大小。簡單多面體族可能具有簡單體積公式。例如，金字塔、稜柱和平行六面體的體積可以用邊長或其他規格來輕鬆表示。

更復雜的多面體的體積可能沒有簡單的公式。透過將多面體分成更小的部分，可以計算這些多面體的體積。例如，可以透過將規則多面體分成相等的稜錐來計算規則多面體的體積，使每個稜錐都以多面體的一個面為底，以多面體的中心為頂點。

一般來說，可以從散度定理推匯出多面體固體的體積由以下公式給出：

$${\frac {1}{3}}\left|\sum _{F}(Q_{F}\cdot N_{F})\operatorname {area} (F)\right|,$$

其中 F 上面的求和是多面體，是 F 面上的任意點，是垂直於 F 向多面體外部的單位向量，是內積的乘積點。

面積

正多面體的面積有一個表面積。正多面體的面是正多邊形。稜柱、錐體和平行四邊形等固定多面體具有恆定面積。它是規則的，它是根據稜柱的總多邊形面積和側面積（多邊形面積 x 高度）得到的。

多面體的面積：$$n[{\frac {1}{4}}n'a^{2}cot({\frac {\pi }{n'}})]$$.

這裡的 n 是面的數量，'n 是多邊形的邊數，這裡的 π 是弧度制。

施萊夫利符號

施萊夫利符號是用於表示正多胞形，包括正多面體的符號。

正多面體表示為 {p,q}，其中 q 是頂點的施萊夫利符號，p 是每個面的多邊形的施萊夫利符號。

施萊夫利符號是形式為 {p} 的凸正多邊形，其中 p 是邊數。正凹（星形）多邊形的施萊夫利符號形式為 {p/q}，其中 p 是頂點數，q 是連線凸正多邊形頂點以使其成為凹多邊形時，兩個頂點之間的邊數。

施萊夫利符號相同的兩個多面體互為對偶體。