補充數學/體積元素

在數學、微積分和幾何學中，體積元素通常提供一種根據函式在其體積中的位置對函式進行積分的方法，例如球座標和柱座標等不同座標系。因此，體積元素是以以下形式表達的：

$\mathrm {d} V=\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$

其中 $u_{i}$ 是座標，以便任何集合 $B$ 的體積可以透過以下公式計算：$\operatorname {Volume} (B)=\int _{B}\rho (u_{1},u_{2},u_{3})\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}.$ 例如，在球座標系中 $\mathrm {d} V=u_{1}^{2}\sin u_{2}\,\mathrm {d} u_{1}\,\mathrm {d} u_{2}\,\mathrm {d} u_{3}$，因此 $\rho =u_{1}^{2}\sin u_{2}$.

體積元素的概念和規則並不侷限於空間座標系或三維空間：在二維空間中，它也被稱為面積元素，在這種情況下，它對於執行曲面積分等任務非常有用。在座標變換下，體積元素會根據座標變換的雅可比行列式的絕對值發生變化（根據變數變換公式）。這個事實允許將體積元素定義為流形中的某種度量。在可定向的可微流形中，體積元素通常來自體積形式：高階微分形式。在不可定向流形中，體積元素通常是體積形式（區域性定義）的絕對值：它定義了體積形式（區域性定義）的密度：它定義了 1-密度。