超現實數與遊戲/簡單算術

加法

我們已經建立了 15 個超現實數，併為它們起了熟悉的名稱。它們的相對順序是正確的，但我們如何確定它們的值是否合適呢？我們可以用諸如

-50, -49, -10, 2, 3, 3.14159, 4, 10, 11, 12, 50, 999.999, 1000, 1000.000001, 2^{10,000,000,000}

之類的荒謬名稱來命名它們，排序仍然是完全正確的。我們可以證明我們為它們起的名稱是合理的的一種方法是，證明它們在算術運算下表現正確 - 例如，證明 $1+1=2$ 等等。因此，我們需要使用超現實數進行加法的方法。

公理 3 - 加法

如果 $x,y$ 是超現實數，那麼

$x+y:=\{X_{L}+y,x+Y_{L}|X_{R}+y,x+Y_{R}\}$

記號 $X_{L}+y$ 表示將 $X_{L}$ 的所有成員加上 (透過公理 3) $y$ 而形成的超現實數集合。這是一個遞迴定義，但由於每一步都涉及更早的集合，因此它一定能終止。讓我們計算 $0+0$

${\begin{array}{rcl}0+0&=&\{\varnothing +0,0+\varnothing |\varnothing +0,0+\varnothing \}\\&=&\{\varnothing ,\varnothing |\varnothing ,\varnothing \}\\&=&\{\varnothing |\varnothing \}\\&=&0\end{array}}$

練習 1

證明對所有 $x$ ， $x+0=0+x=x$ 成立。

這表明 $0$ 是超現實數的加法單位元，正如它應該的那樣。我們對它的命名似乎是合理的。但在我們開始隨意地將數字加在一起之前，我們最好驗證一下我們對加法的定義是否賦予了它我們想要的所有屬性。我們需要它在兩個良構數相加時產生良構數，並且我們希望它既是可交換的 $(x+y=y+x)$ 又結合律 $(x+[y+z]=[x+y]+z)$ 。

定理 1 - 加法的交換律

如果 $x,y$ 是任何兩個超現實數，那麼 $x+y=y+x$ 。

$x+y=\{X_{L}+y,x+Y_{L}|X_{R}+y,x+Y_{R}\}$

$y+x=\{Y_{L}+x,y+X_{L}|Y_{R}+x,y+X_{R}\}$

很明顯，如果

$X_{L}+y=y+X_{L}$

$X_{R}+y=y+X_{R}$

$Y_{L}+x=x+Y_{L}$

$Y_{R}+x=x+Y_{R}$ .

所有這些都只是對舊數字的交換律。你在習題 1 中證明了當其中一個數字是 $0$ 時，交換律成立，因此，根據歸納法，交換律通常成立。

習題 2

交換律實際上比簡單的相等性更強；證明 $x+y\equiv x+y$ ，前提是左側的 $x$ 與右側的相同，類似地， $y$ 。你可能需要調整習題 1 來完成證明。

定理 2

(2A) 如果 $a,a',b,b'$ 是四個超現實數，使得 $a\leq a'$ 並且 $b\leq b'$ ，那麼 $a+b\leq a'+b'$ .
(2B) 如果 $v,v',w,w'$ 是四個超現實數，使得 $v+w\leq v'+w'$ 並且 $w'\leq w$ ，那麼 $v\leq v'$ .

事實證明，這個定理的兩個部分都需要同時證明。讓我們引入簡寫符號 $P_{2A}(a,a',b,b')$ 表示 (2A) 對這四個數有效，並且 $P_{2B}(v,v',w,w')$ 表示 (2B) 對 $v,v',w,w'$ 有效。現在， $P_{2A}(a,a',b,b')$ 只有在以下情況下為真：

(2Aa) $A'_{R}+b'\not \leq a+b$ 並且
(2Ab) $a'+B'_{R}\not \leq a+b$ 並且
(2Ac) $a'+b'\not \leq A_{L}+b$ 並且
(2Ad) $a'+b'\not \leq a+B_{L}$ .

假設 (2Aa) 為假，利用反證法來證明。在這種情況下，我們將有 $A'_{R}+b'\leq a+b$ ，我們也知道 $b\leq b'$ 。現在觀察到，如果我們允許假設 $P_{2B}(a'_{R},a,b',b)$ 是有效的，那麼 $A'_{R}<a$ 。我們知道這是荒謬的，所以 (2Aa) 必須為真。

現在讓我們找到 $P_{2B}(v,v',w,w')$ 有效的時間。再次，證明是透過反證法。讓我們假設 $w'\leq w$ 和 $v+w\leq v'+w'$ ，但 $v\not \leq v'$ 。那麼一些 $v'_{R}\leq v$ 或 $v'\leq$ 一些 $v_{L}$ 。但從加法中我們得到

$V'_{R}+w'\not \leq v+w$ 和
$v'+w'\not \leq V_{L}+w$ .

現在，如果我們可以假設 $P_{2A}(v'_{R},v,w',w)$ 和 $P_{2A}(v',v_{L},w',w)$ ，這些將為我們提供證明 $P_{2B}(v,v',w,w')$ 所需的矛盾。如果還不清楚，請完整寫出來。換句話說， $P_{2B}$ 的有效性取決於 $P_{2A}$ 應用於更簡單的一組數字的有效性。歸納證明的結構越來越清晰。回到 (2Aa)，如果 $P_{2B}(a'_{R},a,b',b)$ 有效；反過來，如果

$P_{2A}(a_{R},a'_{R},b,b')$ 和
$P_{2A}(a,a'_{RL},b,b')$

有效。歸納地，(2Aa) 是真的。 (2Ab,c,d) 可以用相同的方式驗證。觀察到這個定理的證明不依賴於兩個數字的和實際上是否格式良好；這很好，因為我們還沒有證明將兩個數字相加會產生一個格式良好的數字。但這是真的，我們現在將證明它

定理 3 - 和的格式良好性

如果 $x$ 和 $y$ 格式良好，則 $x+y$ 格式良好。

我們需要所有

$x_{R}+y\not \leq x+y$
$x+y_{R}\not \leq x+y$
$x+y\not \leq x_{L}+y$
$x+y\not \leq x+y_{L}$ .

根據歸納法，我們可以假設 $x_{R}+y$ 等都是良好的形式，這意味著我們可以用 " $>$ " 不等式替換 " $\not \leq$ " 不等式，以得到

$x+y<x_{R}+y$
$x+y<x+y_{R}$
$x_{L}+y<x+y$
$x+y_{L}<x+y$ .

由於 $x,y$ 是良好的形式， $x<x_{R}$ 等等。因此定理 2A 應用於所有內容，證明完成。

定理 4 - 結合律

如果 $x,y,z$ 是任意三個數字，那麼 $x+(y+z)=(x+y)+z$ .

證明很簡單，不需要太多解釋。留作練習。

練習 3

證明定理 4。

減法

定義 4：負數和減法

如果 $x=\{X_{L}|X_{R}\}$ 那麼 $x$ 的負數記作 $-x=\{-X_{R}|-X_{L}\}$ .
$x-y=x+(-y)$ .

也就是說，減法是加負數，正如我們所期望的那樣。

練習 4

檢視第 2 天出現的所有數字。驗證，例如， $-{\frac {1}{2}}$ 確實是 ${\frac {1}{2}}$ 的負數。零的負數是多少？

我們需要確保一個良好形式的數字的負數也是良好形式的。為此，我們首先證明，如果 $a<b$ ，那麼 $-b<-a$ 對於任何（不一定良好形式的） $a,b$ 。

練習 X

證明，如果 $a<b$ ，那麼 $-b<-a$ 。

定理 5：良好形式的數字的負數是良好形式的

如果 $x$ 是良好形式的，那麼 $-x$ 也是良好形式的。

由於 $x$ 是良好形式的，我們知道 $x_{L}<x<x_{R}$ 。從練習 X 可以得出 $-x<-(x_{L})$ 和 $-(x_{R})<x$ 。因此，根據傳遞律 $-(x_{R})<-x<-(x_{L})$ 。但根據負數的定義，這與 $(-x)_{L}<-x<(-x)_{R}$ 相同，所以 $-x$ 是良好形式的。

插曲

現在我們有了加法和減法，我們可以更好地回答我們給超現實數字命名的名稱是否合適的問題。回想一下，在第 2 天之後，我們建立了七個超現實數字，我們稱之為

$-2,-1,-(1/2),0,(1/2),1,2$ .

我們還表明，在任何給定的一天建立的數字是在已經知道的相鄰數字之間以及上下兩端建立的。因此，我們可能預期在第 3 天之後，我們將有以下數字集

$-3,-2,-(3/2),-1,-(3/4),-(1/2),-(1/4),0,1/4,1/2,3/4,1,3/2,2,3$ 。事實證明是正確的。為了證明這一點，我們需要證明以下內容

在某一天建立的最大數字比前一天建立的最大數字多 1。
如果 $x$ 是在某一天建立的，那麼 $-x$ 也是在同一天建立的。這將表明數字關於 $0$ 對稱分佈。
如果 $a,b$ 是某一天上的相鄰數字，它們之間沒有更早或同一天建立的數字，那麼 $\{a|b\}$ 是它們之間的中點。這將證明，例如， $\{0|1\}$ 是 $1/2$ 而不是 1/3 或 0.999。