超現實數與遊戲/開始

第 0 天

我們從超現實數的定義開始

公理 1 每個超現實數對應於兩個先前建立的超現實數的集合，稱為左集合和右集合。 左集合中的任何成員都不可能大於或等於右集合中的任何成員。

我們將使用小寫字母來表示超現實數，使用大寫字母來表示超現實數的集合。如果 $x$ 是一個超現實數，那麼 $X_{L}$ 和 $X_{R}$ 分別是它的左集合和右集合，我們將其表示為 $x:=\{X_{L}|X_{R}\}$

因此，超現實數是從兩個先前建立的集合派生出來的。到目前為止，我們還沒有任何可以用來建立新超現實數的超現實數，也沒有“大於或等於”的定義來確保我們建立的超現實數滿足公理 1 的第二部分。但我們已經有了足夠的條件來開始建立超現實數，因為我們可以從取 $X_{L}$ 和 $X_{R}$ 都是空集 $\varnothing$ 開始，它不包含任何超現實數。因此，我們可以建立 $\{\varnothing |\varnothing \}$，我們可以證明它確實是一個超現實數。

左集合中的任何成員都不大於或等於左集合中的任何成員，這是真的嗎？是的，它是。這是微不足道的，因為左集合 $\varnothing$ 根本沒有成員，這足以證明 $\{\varnothing |\varnothing \}$ 是一個格式良好的超現實數。甚至還沒有必要知道“小於或等於”的含義。

我們將第一個超現實數稱為“0”，原因將在後面解釋：$0:=\{\varnothing |\varnothing \}$。不要將零符號 0 與空集符號 $\varnothing$ 混淆。

第 1 天

現在我們已經建立了一個超現實數，我們可以將其用作新超現實數的左或右集。有三種可能性：$\{0|\varnothing \}$，$\{\varnothing |0\}$，和$\{0|0\}$。我們必須檢查這些物件是否格式良好。對於第一個，我們需要證明$\varnothing$中的任何成員都不小於或等於$\{0\}$（$\{0|\varnothing \}$的右集）中的任何成員，這再次是微不足道的。

練習 1 證明$\{\varnothing |0\}$是一個格式良好的超現實數。

練習 2 如果$x$是一個超現實數，證明$\{\varnothing |x\}$和$\{x|\varnothing \}$也是超現實數。

從練習 2 可以清楚地看到，我們可以建立無限數量的超現實數。但讓我們回到我們正在討論的三個物件。$\{0|0\}$是一個超現實數嗎？如果是，那麼$\{0\}$（$\{0|0\}$的右集）中的任何成員都不小於或等於$\{0\}$（左集）。換句話說，$\{0|0\}$是一個超現實數，如果零不小於或等於它本身。我們預計零是小於或等於它本身（使$\{0|0\}$不是一個超現實數），但這必須得到證明。現在，最後，我們需要“小於或等於”的定義。

公理 2 給定兩個超現實數 $x$ 和 $y$，我們說 $y$ 小於或等於 $x$ $(y\leq x)$ 當且僅當 $x$ 大於或等於 $y$。我們說 $x$ 大於或等於 $y$ $(x\geq y)$ 當且僅當 $X_{R}$ 中沒有成員小於或等於 $y$，並且 $x$ 小於或等於 $Y_{L}$ 中的任何成員。

再次，我們發現一個概念定義在它自身的基礎上，但我們也會發現這足以獲得我們需要的結論。現在，$0\leq 0$ 嗎？根據定義 2，如果 $0_{R}$ 中沒有成員小於或等於 0，並且 0 小於或等於 $0_{L}$ 中的任何成員，那麼這將是正確的。但 $0_{R}$ 和 $0_{L}$ 都是空集，因此這個說法是正確的。因此，$0\leq 0$，正如我們所期望的那樣，因此 $\{0|0\}$ 不是超現實數。它不滿足公理 1 的第 2 點。我們稱這類物件為偽數，並且結構不完整。這個偽數被稱為 *，在博弈論中非常重要。我們將在後面的章節中再次遇到它。當然，偽數可以在其左右集合中包含其他偽數。

因此，在第一天結束時，我們總共有三個超現實數：0，以及兩個新的 $\{\varnothing |0\}$ 和 $\{0|\varnothing \}$。我們將給這兩個新數命名

• $-1:=\{\varnothing |0\}$
• $1:=\{0|\varnothing \}$

在我們進入第二天之前，讓我們定義一些關於超現實數的二元關係。

定義 1：二元關係 符號 含義 $x\leq y$ $x$ "小於或等於" $y$，如公理 2 中定義 $x\geq y$ $x$ "大於或等於" $y$，如公理 2 中定義 $x\not \leq y$ $x\leq y$ 為假 $x\not \geq y$ $x\geq y$ 為假 $x=y$ $x\leq y$ 且 $y\leq x$ $x<y$ $x\leq y$ 但 $y\not \leq x$ $x>y$ $x\geq y$ 但 $y\not \geq x$ $x\neq y$ $x=y$ 是假的 $x\not <y$ $x<y$ 是假的 $x\not >y$ $x>y$ 是假的

練習 3 證明 0=0。

我們對不等式的定義可以做更多的事情，不僅僅是確定一個物件是否是一個格式良好的超實數。我們還可以對先前建立的一組數字進行適當的排序，也就是說，按升序對它們進行排序。讓我們取我們已經建立的三個超實數；我們將證明 $-1<0<1$。根據“<”的定義，我們需要首先證明 $1\leq 0$，然後證明 $0\not \leq 1$。

對於第一步，我們需要證明 $0_{R}$ 中沒有成員大於或等於 1（因為 $0_{R}=\varnothing$，這顯然是正確的），並且 0 小於或等於 $1$ 左側集合中的任何成員（同樣，因為 1 的左側集合是空的）。這完成了證明的第一步。對於第二步，我們需要證明

• 1 的右側集合中至少有一個成員大於或等於 0 或
• 1 小於或等於 0 的左側集合中至少一個成員。

但是，你在練習 3 中展示了 0 屬於右集 {1}，並且大於或等於 0。這證明了證明的第二部分；我們現在知道 $0\leq 1$ 以及 $1\not \leq 0$。換句話說，$0<1$。

練習 4 證明 $-1<0$。

練習 5 證明 $-1<1$。你不能使用不等式的傳遞律，因為我們還沒有證明它適用於超實數。

注意，我們現在已經為前三個超實數建立了不等式的傳遞律。也就是說，對於任何三個在第一天或之前建立的超實數 $x,y,z$，只要 $x<y$ 並且 $y<z$，我們也有 $x<z$。這個事實很重要。在接下來的日子裡，我們將用它來證明傳遞律適用於任何三個超實數。

第二天

現在我們有了三個超實數，我們可以建立大量新的物件。為了完整起見，超實數的不同集合是
$\varnothing ,\{-1\},\{0\},\{1\},\{-1,0\},\{-1,1\},\{0,1\},$ 以及 $\{-1,0,1\}$。也就是說，有八個不同的集合，每個集合都可能構成超實數的左集或右集，因此可能存在 64 個物件需要調查。我們之前已經見過一些物件，例如 $\{\varnothing |\varnothing \}$，而另一些則會發現不符合公理 1 的標準，還有一些即使其構成集合不同，也會發現彼此相等。在我們消除重複項和根本不是超實數的物件後，我們將只剩下四個新的超實數。

由於我們從公理 1 中知道，右集中的任何成員都不能小於或等於左集中的任何成員，並且我們已經將 -1、0 和 1 排列在第一天，因此我們可以消除一些物件。例如，$\{0,1|-1\}$ 是不行的，因為 -1 小於 0。類似地，$\{1|1\}$ 可以被丟棄，因為 $1\leq 1$。

練習 6 在消除這種型別的非良構物件以及我們在之前日子中遇到的數字後，還有多少個物件需要調查？

這仍然相當多，但我們可以進一步縮減它們。例如，我們可以證明$\{-1,0|\varnothing \}=1$； 我們用通常的方法來做到這一點，即證明$\{-1,0|\varnothing \}\leq 1$ 和 $1\leq \{-1,0|\varnothing \}$.

為了使這成立，我們需要

• (a) $1_{R}$ 中沒有成員小於或等於$\{-1,0|\varnothing \}\leq 1$，以及
• (b) $1$ 小於或等於$\{-1,0|\varnothing \}$ 中的任何成員，以及
• (c) $\{-1,0|\varnothing \}_{R}$ 中沒有成員小於或等於$1$，以及
• (d) $\{-1,0|\varnothing \}$ 小於或等於$1_{L}$ 中的任何成員。

要點 (a) 和 (c) 顯然為真，因為所討論的右側集為空集。要點 (b) 為真，因為我們第一天已經證明了$0<1$。要點 (d) 歸結為證明$\{-1,0|\varnothing \}\not \leq 0$。如果以下情況成立，則該情況為真

• (e) $0_{R}$ 中的一些成員大於或等於$\{-1,0|\varnothing \}$，或者
• (f) $0$ 小於或等於$\{-1,0|\varnothing \}_{L}$ 中的某個成員。

我們看到要點 (f) 為真，因為$0\leq 0$，這驗證了 (d)，並完成了證明。

這是迄今為止最長的證明。如果你能理解它，做得很好。如果不能，請慢慢地理解它; 特別是要確保你理解點 (e) 和 (f) 是如何從二元關係 $\not \leq$ 中得出的。你可能已經注意到，$\{-1,0|\varnothing \}$ 左邊的集合中 -1 這個元素在證明中根本沒有發揮作用。只有左邊集合中的最大元素起作用。這在一般情況下都是成立的，我們很快就會證明這一點。

我們第一次看到兩個超實數，儘管它們的構成集不相同，但它們卻相等。

定義 2 - 恆等 對於兩個數 $x,y$ $x\equiv y$ 當且僅當 $X_{L}$ 包含與 $Y_{L}$ 完全相同的元素，並且 $X_{R}$ 包含與 $Y_{R}$ 完全相同的元素。 $x\doteq y$ 當且僅當 $x=y$ 但 $x\not \equiv y$

但是我們不會再進一步研究這個概念。 $\{0|1\}\equiv \{0|1\}$，無論右邊的 $0$ 是否與左邊的相同。

我們現在將證明兩個非常有用的一般定理

定理 1 - 傳遞律 如果 $x,y,$ 和 $z$ 是超實數，使得 $x\leq y$ 並且 $y\leq z$，那麼 $x\leq z$。

證明是透過反證法。根據假設，以下必須為真

• (a) 沒有 $y_{R}\leq x$，並且
• (b) $y\leq$ 沒有 $x_{L}$，並且
• (c) 不存在 $z_{R}\leq y$，且
• (d) $z\leq$ 不存在 $y_{L}$.

請注意，我們使用諸如“不存在 $y_{R}\leq x$”這樣的短語來表示“在集合 $Y_{R}$ 中不存在元素 $y_{R}$ 使得 $y_{R}\leq x$”。

因為我們假設 $x\not \leq z$，以下情況之一必須為真

• (e) 存在 $x_{L}\geq z$，或者
• (f) $x\geq$ 存在 $z_{R}$.

如果 (e) 成立，則有 $y\leq z,z\leq x',$ 且 $y\not \leq x'$.
如果 (f) 成立，則有 $z'\leq x,x\leq y$，且 $z'\not \leq y$.

將 (e) 與 (b) 結合，將 (f) 與 (d) 結合，我們得到，要麼

• $x_{L}\leq y\leq z$ 但 $x_{L}\not \leq z$
• $x\leq y\leq z_{R}$ 但 $x\not \leq z_{R}$.

這看起來完全沒有幫助；我們又回到了試圖為另一組三個數字證明傳遞定律。幸運的是，有一個方法可以擺脫這種困境。觀察我們擁有的三個數字比我們開始的三個數字*更簡單*。其中一個是在前面建立的。定義 $d(q)$ 表示超現實數 $q$ 被建立的那一天。所以我們有天數之和 $d(x_{L})+d(y)+d(z)<d(x)+d(y)+d(z)$，另一個選擇也是如此。（這些目前是普通整數，不是超現實數）。這三個新的“壞”數字將產生另一組天數之和更低的壞數字，而這些數字將產生更低的數字。最終，我們將回歸到天數之和小於或等於 2 的點。

練習 7 證明 $\{-1,0,1\}$ 是唯一三個不同的超現實數，它們的天數之和等於 2。

但是，對於這三個數字，傳遞定律是成立的。因此，我們永遠不可能讓傳遞定律失效。這完成了證明。這個歸納證明與我們之前見過的證明性質不同，但從現在起我們將遇到的許多證明將依賴於類似的推理。慢慢地完成證明，直到它的含義清楚。

練習 8 以下傳遞定律也都是有效的 (a) 如果 $x=y$ 並且 $y=z$，則 $x=z$。 (b) 如果 $x<y$ 並且 $y<z$，則 $x<z$。 (c) 如果 $x<y$ 並且 $y\leq z$，則 $x<z$。 (d) 如果 $x\leq y$ 並且 $y<z$，則 $x<z$。 證明 (a) 和 (b)，並說明為什麼 (c) 和 (d) 由它們得出。

對於 $\geq$ 和 $>$ 的對應傳遞定律也成立；證明非常相似。

定理 2 如果 $x$ 是一個超實數，且其左側 $X_{L}$ 非空，那麼 $x_{L}<x$ 如果 $x$ 是一個超實數，且其右側 $X_{R}$ 非空，那麼 $x<x_{R}$

我們證明前半部分；後半部分可以透過對稱性得出。我們需要

• (a) $x_{L}\leq x$，以及
• (b) $x_{L}\neq x$.

但 (b) 必須成立。一個超實數不能包含自身（或其任何較年輕的表示）在其左側集合中，因為左側集合中的所有元素都是 *先前* 建立的（公理 1）。因此，我們只需要

• (c) 沒有 $x_{R}\not \leq x_{L}$，以及
• (d) $x\leq$ 沒有 $x_{LL}$

其中 $x_{LL}$ 是 $x_{L}$ 左側集合的成員。觀察到，如果 $x_{L}$ 的左側集合為空，則上述結論直接成立。如果 $x_{LL}\leq x_{L}$，則上述結論也根據定理 1 成立，而這又將根據 $x_{LLL}\leq x_{LL}$ 等等成立。最終，透過歸納法，我們將得到一些 $x_{LL...L}$，其左側集合為空；我們無法早於第 0 天。這證明了定理。

定理 3 如果 $x=\{X_{L}|X_{R}\}$ 是一個超現實數，並且 $a$ 是另一個超現實數，使得 $a$ 小於 $X_{L}$ 中的至少一個成員，那麼 $\{a,X_{L}|X_{R}\}=\{X_{L}|X_{R}\}$. 類似地，如果 $b$ 是一個超現實數，使得 $b$ 大於 $X_{R}$ 中的至少一個成員，那麼 $\{X_{L}|X_{R},b\}=\{X_{L}|X_{R}\}$.

像往常一樣，我們將透過證明 $\{a,X_{L}|X_{R}\}\leq \{X_{L}|X_{R}\}$ 來證明定理的前半部分，並且證明 $\{X_{L}|X_{R}\}\not \geq \{a,X_{L}|X_{R}\}$。 後半部分將再次透過對稱性得到證明。 令 $w$ 為 $X_{L}$ 中大於 $a$ 的數，我們知道這個數根據假設一定存在。 我們還將使用 ${\hat {x}}$ 作為 $\{a,X_{L}|X_{R}\}$ 的簡寫。 我們需要（自己驗證！）：

• (a) 沒有 $x_{R}\leq x$
• (b) ${\hat {x}}\leq$ 沒有 $x_{L}$
• (c) 沒有 $x_{R}\leq {\hat {x}}$
• (d) $x\leq$ 沒有 $x_{L}$
• (e) $a\leq x$.

要點 (a) 和 (d) 直接由定理 2 推出。要點 (e) 由觀察得出 $a\leq w$，根據定義；定理 2 表明 $w<x$，使用傳遞律得到 $a<x$。對於 (c)，觀察到定理 2 說明 $x<x_{R}$，完全不提及 $X_{L}$，因此 $a$ 在 ${\hat {X}}_{L}$ 中的存在不會改變任何結果。因此 (c) 為真。要點 (b) 將根據定理 2 為真，如果 $a$ 在 ${\hat {X}}_{L}$ 中的存在不會使其失效。假設它確實使定理 2 失效。那麼我們需要 $a\not <x$，因為其他任何可能的 $x_{L}$ 選擇都無法實現。但根據構造 $a<w<x$，矛盾，因此 (b) 必須為真。這完成了證明。

定理 3 的重要含義是，我們可以自由地丟棄任何左集的成員，除了最大的那個。我們也可以丟棄任何右集的成員，除了最小的那個。由這些集合形成的超實數將保持不變。實際上，我們可以從超實數中移除所有內容，除了其左集的最大成員和右集的最小成員。根據這一觀察，我們可以將當天建立的超實數集合簡化為以下這些

• $\{\varnothing |-1\}$
• $\{\varnothing |1\}$
• $\{-1|\varnothing \}$
• $\{-1|0\}$
• $\{-1|1\}$
• $\{0|1\}$
• $\{1|\varnothing \}$

一路走來，我們終於到達了這裡。為了證明像 $\{-1,0|1\}$ 這樣的超現實數，我們需要定理 3。為了得到它，我們需要定理 1，傳遞律，以及定理 2，它告訴我們一個超現實數位於它的左集合和右集合之間。我相信你會同意，這些定理本身就非常寶貴，不僅僅是為了得到定理 3，而且這段漫長的討論也是值得的。

剩下的七個超現實數，與我們最初的 64 種可能性相比，已經減少了很多，但事實證明，剩下的三個數實際上等於我們之前見過的數。事實上，它們等於零。

練習 9 證明 $\{\varnothing |1\}$, $\{-1|\varnothing \}$, 和 $\{-1|1\}$ 都等於 0。

剩下的四個數字不是我們之前見過的其他數字的別名。讓我們給他們起一些名字

• $\{\varnothing |-1\}:=-2$
• $\{-1|0\}:=-{\frac {1}{2}}$
• $\{0|1\}:={\frac {1}{2}}$
• $\{1|\varnothing \}:=2$

我們可以透過證明這種排序成立來證明這些數字中的任何一個都不是其他數字的別名（並且我們已經為新數字選擇了好的名字）
$-2<-1<-{\frac {1}{2}}<0<{\frac {1}{2}}<1<2$.

我們先證明 $0<{\frac {1}{2}}$。如果是這樣，那麼

• (a) $\left({\frac {1}{2}}\right)_{R}$ 中的任何元素都不小於零，並且
• (b) ${\frac {1}{2}}$ 不小於 $0_{L}$ 中的任何元素，並且
• (c) $0_{R}$ 中的一些成員不小於 ${\frac {1}{2}}$，或者
• (d) $0$ 小於或等於 $\left({\frac {1}{2}}\right)_{L}={0}$ 的某個元素）。

請注意這裡的括號；我們需要 (a) 和 (b)，以及 (c) 或 (d) 中的至少一個。

(a) 為真，因為 $\left({\frac {1}{2}}\right)_{R}=\{1\}$，(b) 為真，因為 $0_{L}=\varnothing$，(c) 為假，因為 $0_{R}=\varnothing$，(d) 為真，因為 $0\leq 0$。因此，我們有 (a)、(b) 和 (c)、(d) 中的一個，不等式得證。

練習 10 證明 ${\frac {1}{2}}<1$

證明 $-1<-{\frac {1}{2}}<0$ 與上面非常類似。

練習 11 證明 $1<2$。證明 $-2<-1$ 將透過對稱性得出。

現在我們已經有了所有這些，傳遞律確保我們不會遇到 2 變成小於 -1 之類的討厭的意外情況。但是，當我們進入以後的日子，我們如何保證所有超現實數將繼續被排列成一個有序的行？如果出現一個超現實數，它不能用我們的二元關係與其他超現實數比較，或者滿足看似矛盾的關係，比如 $x>y,y>x$ 會怎麼樣？下一節將表明這樣的情況不可能發生。

所有超現實數都相關

定理 4 - 超現實數總是可比較的 對於任何兩個良好的超現實數，以下情況中必有一個成立 $x<y$ $x=y$ $y<x$

我們分兩步證明這一點。首先，我們證明如果其中一個成立，那麼另外兩個就不成立。然後，我們證明如果任何兩個不成立，那麼第三個就必須成立。有六種情況需要考慮

情況 1 - 令 $x<y$ 為真。那麼，我們必須證明 $x\neq y$ 以及 $y\not <x$。換句話說，我們知道

• (a) 沒有 $y_{R}\leq x$，並且
• (b) $y\leq$ 沒有 $x_{L}$，並且
• (c) ( 存在某個 $x_{R}\leq y$ 或
• (d) $x\leq$ 一些 $y_{L}$ )。

並且我們想要證明

• (e) ($x\not \leq y$ ，或者
• (f) $y\not \leq x$ )，並且
• (g) ($y\not \leq x$ ，或者
• (h) $x\leq y$ )。

專案 (f) 和 (g) 是相同的，但由於它們來自不同的二元關係，為了完整性，我們列出了它們。我們知道 (h) 是正確的，因為 $x<y$ 並且 (e) 由於同樣的原因是錯誤的。我們需要證明 (f) 是正確的

• (i) (一些 $x_{R}\leq y$ ，或者
• (j) $x\leq$ 一些 $y_{L}$ 。

但是 (i) 是給定的，因為我們已經知道 (c)。因此情況 1 是有效的。

情況 2- 取 $y<x$ 為真。那麼我們必須證明 $y\neq x$ 並且 $x\not <y$ 。證明與情況 1 相同；我們只需要交換 $x$ 和 $y$ 。

情況 3- 取 $x=y$ 為真。那麼我們必須證明 $x\not <y$ 並且 $y\not <x$ 。我們知道

• (a) 沒有 $y_{R}\leq x$，並且
• (b) $y\leq$ 沒有 $x_{L}$，並且
• (c) 沒有 $x_{R}\leq y$ ，並且
• (d) $x\leq$ 沒有 $y_{L}$。

我們要證明

• (e) ($x\not \leq y$ ，或者
• (f) $y\leq x$)，以及
• (g) ($y\not \leq x$ ，或者
• (h) $x\leq y$ )。

觀察到我們需要 (e,f) 中的一個和 (g,h) 中的一個。但是，根據定義 1，我們有 (f) 和 (h) 因為 $x=y$。因此，情況 3 是有效的。

這三種情況表明，最多隻有一個關係成立。由於我們沒有使用 $x,y$ 是良構的事實，那麼這對偽數也必須是正確的。現在我們證明至少有一個不等式成立。

情況 4- 取 $x<y$ 和 $x=y$ 為假，並證明 $y<x$。我們知道

• (a) ($x\not \leq y$，或
• (b) $y\leq x$)，以及
• (c) ($x\not \leq y$ 或
• (d) $y\not \leq x$).

我們要證明

• (e) $y\leq x$，以及
• (f) $x\not \leq y$。

練習 12 如果 $a,b$ 是超實數，使得 $a\not <b$ 且 $a\neq b$，證明 $a\not \leq b$。

這將問題簡化為證明 $y\leq x$，已知 $x\not \leq y$。我們知道

• (g) 某些 $y_{R}\leq x$，或
• (h) $y\leq$ 某些 $x_{L}$，

並且我們想要證明

• (i) 沒有 $x_{R}\leq$，並且
• (j) $x\leq$ 沒有 $y_{L}$。

透過反證法：假設存在一些 $x_{R}\leq y$。 那麼根據定理2，(g) 變成 $x_{R}\leq y\leq y_{R}\leq x$，但我們已經從定理2 中知道 $x_{R}\not \leq x$。 點 (h) 變成 $x_{R}\leq y\leq x_{L}$，但這會使 $x$ 成為公理1 中的錯誤數字。

現在假設 $x\leq$ 某些 $y_{L}$。 然後 (g) 和 (h) 會給出相同型別的矛盾；作為練習來證明這一點。

練習13 如果 $x\leq y_{L}$，證明 $y_{R}\leq x$ 和 $y\leq x_{L}$ 是錯誤的。

這完成了案例4 的證明。

案例5- 設 $y<x$ 和 $x=y$ 是錯誤的，並證明 $x<y$。

這由案例4 對稱得出；我們只需要在證明中用 $x$ 代替 $y$。

案例6- 設 $y<x$ 和 $x<y$ 是錯誤的，並證明 $x=y$。

我們知道

• (a) ($x\not \leq y$ 或
• (b) $y\geq x$) 以及
• (c) ($y\not \leq$ 或
• (d) $x\geq y$),

但是，根據練習 12，（a）和（b）是相同的情況（前提是數字是格式良好的，這些數字是格式良好的），並且（c）和（d）是等價的。因此，（a,b,c,d）簡化為

• (e) $y\geq x$ 以及
• (f) $x\geq y$.

這就是等式的定義，因此情況 6 得證。

這三種情況表明至少有一種關係成立。由於證明需要數字是格式良好的這一事實，因此仍然有可能某些偽數字可能與某些超現實數字不可比；它們既不是大於、小於還是等於。

第 3 天及以後

現在我們有七個不同的超現實數字，這些數字是在第 2 天或更早的時候建立的。從這些數字中可以形成 128 個不同的子集，並且超現實數字有 16,384 種可能性。但是我們可以立即快速減少這個數字，因為我們已經證明了我們最多需要左集合和右集合中的一個成員。因此，唯一不同的可能性是 7 個左集合為空的物體，7 個右集合為空的物體，1 個左右集合都為空的物體（我們的朋友零！），以及 49 個左右集合各有一個成員的物體。總共是 64 個，仍然很多。在後面的日子裡，除非我們找到一種方法來確定在任何一天建立的哪些物體實際上對應於不同的格式良好的超現實數字，否則數字將呈天文數字增長。

由於我們之前已經證明一個數字位於其左集合和右集合之間，所以我們至少可以丟棄所有 $\{x|y\}$ 物體，其中 $x\geq y$.

練習 14 如果總共有 n 個超現實數字已知，證明從這些數字中可以構建 $n(n-1)/2$ 個格式良好的超現實數字，這些數字的左集合和右集合只有一個成員。提示：證明對於 $n=1$ 和 $n=2$ 成立，然後進行歸納。

因此，在 $\{x|y\}$ 形式的 49 種可能性中，有 21 種是格式良好的，你在練習 2 中已經證明了像 $\{\varnothing |x\}$ 和 $\{x|\varnothing \}$ 這樣的物體也是格式良好的超現實數字。這留下了 16,384 種可能性中的 36 個格式良好的超現實數字。減去我們之前從早期已經知道的七個，還剩下 29 個。但是，這些數字中大多數只是最初七個數字的不同表示。我們如何在不一一檢查的情況下消除這些數字呢？

假設我們有一組 $n$ 個超現實數字 {x_1, x_2, ..., x_n}，這些數字按升序排序，即
$x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}$.

顯然，$\{\varnothing |x_{1}\}$ 是一個新的超現實數，不在集合中，因為它比任何一個數都小，而 $\{x_{n}|\varnothing \}$ 不在集合中，因為它比任何一個數都大。而由於 $x_{i}<\{x_{i}|x_{i+1}\}<x_{i+1}$，新的超現實數出現在舊集合中相鄰數字之間。我們將證明這些是唯一建立的新數字。

定理 5 - 簡單性定理 給定任何數字 $y$，其左右集合不為空，如果 $x$ 是最老的數字，使得 $Y_{L}<x<Y_{R}$，那麼 $x=y$。

首先觀察到所有$X_{L}<$ 一些 $Y_{L}$，因為如果不是，就會有一些$x_{L}$，比 $x$ 年齡大，介於 $Y_{L}$ 和 $Y_{R}$ 之間，我們應該使用它而不是 $x$。類似地，所有 $X_{R}>$ 一些 $Y_{R}$。現在要證明 $x=y$，我們只需要所有

• (a) 沒有 $y_{R}\leq x$
• (b) $y\leq$ 沒有 $x_{L}$
• (c) 沒有 $x_{R}\leq y$
• (d) $x\leq$ 沒有 $y_{L}$。

點 (a) 和 (d) 是透過構造給出的，(b) 來自傳遞規則，並觀察到 $x_{L}<$ 一些 $y_{L}<y$。點 (c) 透過類似的推理得出。最後要證明的是，在 $Y_{L}$ 和 $Y_{R}$ 之間只有一個最古老的數字。

練習 15 證明在 $Y_{L}$ 和 $Y_{R}$ 之間只有一個最古老的數字。

這完成了證明。

現在我們知道，所有由兩個非相鄰數字形成的數字都已在之前建立。剩下的就是處理像 $\{-2|\varnothing \}$ 這樣的數字，其中左側或右側集合為空，但它們不是建立的最大的或最小的數字。

定理 6 如果 $y=\{Y_{L}|\varnothing \}$ 並且 $x$ 是大於 $Y_{L}$ 的最老的數字，那麼 $x=y$。 如果 $z=\{\varnothing |Z_{R}\}$ 並且 $w$ 是小於 $Z_{R}$ 的最老的數字，那麼 $w=z$。

我們證明第一部分，第二部分將以類似的方式得出。我們需要全部

• (a) 沒有 $y_{R}\leq x$
• (b) $y\leq$ 沒有 $x_{L}$
• (c) 沒有 $x_{R}\leq y$
• (d) $x\leq$ 沒有 $y_{L}$。

我們再次從問題的構建中得到 (a) 和 (d)。由於 $x_{R}$ 將比 $x$ 年長，並且大於 $Y_{L}$，與假設相矛盾，我們知道 $X_{R}=\varnothing$ 並且 (c) 從空虛中得出。最後 (b) 必須為真，否則， $Y_{L}<y<x_{L}$，我們將有一些比 $x$ 年長但大於 $Y_{L}$ 的數字。證明只有一個大於 $Y_{L}$ 的最老數字的證明，與練習 15 非常相似。

定理 5 和 6 共同表明，任何一天建立的唯一新數字是

$\{\varnothing |x_{1}\},\{x_{1}|x_{2}\},\{x_{2}|x_{3}\},...,\{x_{n-1}|x_{n}\},\{x_{n}|\varnothing \}$，我們已經知道它們在排序中的位置。因此，無需贅述，以下是第三天結束時已知的全部數字

$-3,-2,-{\dfrac {3}{2}},-1,-{\dfrac {3}{4}},-{\dfrac {1}{2}},-{\dfrac {1}{4}},0,{\dfrac {1}{4}},{\dfrac {1}{2}},{\dfrac {3}{4}},1,{\dfrac {3}{2}},2,3$.

開端的結束

在最初的幾天裡，我們已經走過了漫長的道路。從無到有，我們構建了第一個數字 $0$，並由此構建了總共十五個不同的數字。在此過程中，我們獲得了有用的結果，例如傳遞律，以及數字位於其組成集合之間的這一事實。我們還確定了在任何一天建立的數字以及哪些數字只是舊數字的新表示。在下一章中，我們將繼續討論超實數的基本算術。