程式設計的科學/滑坡

在 CME 的第 X 章中，SPT 指出導數（在給定點處）可以被視為曲線的切線的斜率（在該點處）。讓我們使用我們的軟體來檢查斜率。

考慮形式為

   $y=(x-h)^{2}+v$

h 變數如果 h 為正則會引起拋物線的向右移動，如果 h 為負則會引起拋物線的向左移動。v 變數如果為正則會引起向上移動，如果為負則會引起向下移動。因此，這些曲線在點 $(h,v)$ 處觸底。對於 $h=3$ 和 $v=1$，我們得到

   $y=(x-3)^{2}+1$
   $y=(x-3)(x-3)+1$
   $y=x^{2}-3x-3x+9+1$
   $y=x^{2}-6x+10$
   

繪製拋物線得到

從圖中我們可以看到，當 $x=3$ 時，曲線觸底，該點的切線應該是水平的，斜率為零。在該點的右側，斜率向左上升，因此該區域的導數應該為正。在底部點的左側，斜率向左上升，因此該區域的導數應該為負。

為了確認我們的直覺，我們將拋物線編碼為項的總和

   var y = term(1,:x,2) minus term(6,:x,1) plus term(10,:x,0);

並取導數

   var y' = y . diff(:x);

讓我們看看 y 及其在 $x=2,3,4$ 處的導數

   sway> y . value(2)
   INTEGER: 2
   sway> y . value(3)
   INTEGER: 1
   sway> y . value(4)
   INTEGER: 2

   sway> y' . value(2)
   INTEGER: -2
   sway> y' . value(3)
   INTEGER: 0
   sway> y' . value(4)
   INTEGER: 2

正如我們所料。

解決問題

讓我們從程式設計中休息一下，使用我們得到的軟體來解決 CME 中給出的某些問題。