程式設計科學/鏈條幫的工作

有時候，正如 CME 第九章中的 SPT 指出，你會發現自己苦苦思索如何區分像這樣的複雜事物

   $y=3(x^{2}+17)^{2}$

解決方法是透過抽象細節來使表示式更簡單。令 *a* 為多項式

    $a=x^{2}+17$
   

我們可以用項的總和來表示它

現在，*y* 可以改寫為

 $y=3a^{2}$

為了找到 *y* 對 *x* 的導數，我們使用 *鏈式法則*

   ${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{da}}*{\frac {da}{dx}}$

換句話說，*y* 對 *x* 的微分等於（重寫後的）*y* 對（新的）*a* 的微分乘以（新的）*a* 對 *x* 的微分。

在程式設計中，我們有

   var a = term(1,:x,2) plus term(17,:x,0);
   var y = term(3,:a,2);

   var dy/dx = y . diff(:a) times  a . diff(:x);

看看 *dy/dx* 代表什麼，我們有

   sway> a . toString();
   STRING: x^2 + 17
   sway> y . toString();
   STRING: 3x^2
   sway> dy/dx . toString();
   STRING: 6a * 2x

用手進行最終的代入（$a=x^{2}+17$），我們得到了 *dx/dy* 的最終答案

    dy/dx = 6 * (x^2 + 17) * 2x
          = (6x^2 + 102) * 2x
          = 12x^3 + 204x

鏈式法則的實現

如果能自動完成鏈式法則的代入步驟，那將是一件好事，但這樣做需要一些工作，無論是概念上還是程式設計上。我們首先擴充套件項變數抽象的概念。回想一下，最初，我們將項變數硬編碼為 *x*。接下來，我們允許 *term* 建構函式的呼叫者傳入獨立變數作為 Sway 符號。抽象的下一步是允許項變數本身成為一個項（或項的總和或其他任何東西）。如果我們這樣做，那麼項的 *diff* 方法將變成鏈式法則

   function diff(wrtv)
       {
       term(a * n,iv,n - 1) times iv . diff(wrtv);
       }

顯然，獨立變數 *iv* 不再是一個符號，而必須是一個具有 *diff* 方法的物件。因此，為了表示形式為

   $ax^{b}$

的項，我們需要使用物件來表示變數 *x*。這種變數物件的建構函式將類似於 term 和 plus 建構函式。也就是說，它必須具有 *value*、*toString* 和 *diff* 方法

   function variable(name)
       {
       function value(x) { x; }
       function toString() { "" + name; }
       function diff(wrtv)
           {
           if (wrtv == name)
               {
               constant(1);
               }
           else
               {
               constant(0);
               }
           }
       this;
       }

尋找簡單變數導數的規則是：如果與之相關的變數與獨立變數匹配，則結果為 1。如果不是，則結果為 0。我們將使用常量來表示數字 0 和 1；這樣，我們系統中的每一項，包括數字，都具有 *toString*、*value* 和 *diff* 方法。

為了簡化我們的生活，我們可以將以下邏輯新增到 *term* 建構函式的主體中。如果傳入一個符號作為獨立變數，我們將將其轉換為一個 *variable* 物件。 這樣，我們就可以像以前一樣傳入符號。以下是一個新的 term 建構函式的模擬

   function term(a,iv,n)
       {
       function value(x) { ... }
       function toString() { ... }
       function diff(wrtv)
           {
           if (n == 0)
               {
               constant(0);
               }
           else
               {
               term(a * n,iv,n - 1) times iv . diff(wrtv);
               }
           }
       
       if (iv is :SYMBOL, iv = variable(iv));
       this;
       }

我們還需要修改 term 的 *toString* 方法來呼叫 *iv'* 的視覺化。以下是新的非簡化版本

   function toString()
       {
       "" + a + iv . toString() + "^" + n;
       }

讓我們測試一下修改後的系統

   var t = term(4,:x,3);
   var t' = t . diff(:x);

   sway> t . toString();
   STRING: 4x^3
   sway> t . iv;
   OBJECT: <OBJECT 1958>
   sway> t' . toString();
   STRING: 12x^2

對於簡單變數來說，它似乎工作正常。現在讓我們試試我們原來的問題

   $y=3(x^{2}+17)^{2}$

首先，我們製作我們的多項式

   var a = term(1,:x,2) plus term(17,:x,0);
   var y = term(3,a,2);                     // not :a 

現在，我們視覺化它

   sway> y . toString();
   STRING: 31x^2 + 17x^0^2

糟糕！我們做錯了什麼？我們需要將 *iv* 的視覺化括起來

   function toString()
       {
       "" + a + "(" + iv . toString() + ")" +  "^" + n;
       }

用 term 的新視覺化重新制作 *a* 和 *y* 會得到

   var a = term(1,:x,2) plus term(17,:x,0);
   var y = term(3,a,2);

   sway> y . toString();
   STRING: 3(1x^2 + 17x^0)^2

如果你使用簡化的 *toString* 方法來表示項，你應該得到

   3(x^2 + 17)^2

正是我們想要的！現在讓我們對 *y* 求導（你需要啟動你的 *times* 建構函式）

   var y' = y . diff();

   sway> y' . toString();
   STRING: 6(x^2 + 17) * 2x

不錯！

我們還有兩個小問題。第一個是上面結果不是最簡單的形式。不幸的是，生成最簡單的形式是一個相當複雜的過程（因為不總是清楚哪種形式是最簡單的）。所以我們將在此止步，並感到滿意。

另一個小問題出現在我們視覺化 *a* 的時候

   sway> a . toString();
   STRING: (x)^2 + 17

我們對括號有點過了。顯然，當獨立變數是一個複雜物件時，我們想要使用括號。然而，當它是一個簡單變數時，我們應該避免使用括號。這項任務留作練習。

問題

1. 解釋為什麼項的 *diff* 方法不再需要測試與之相關的變數是否與獨立變數匹配。

2. 實現 *one* 函式。

3. 修改項的簡化 *toString* 方法，使其僅在獨立變數是複雜的，且係數或指數不等於 1 時才打印括號。*提示*：建立一個 *term* 方法，如果 *iv'* 的視覺化是複雜的，則在 *iv'* 的視覺化周圍新增括號，如果它不是複雜的，則只需返回 *iv'* 的視覺化。在適當的地方從 *toString* 呼叫此方法。

4. CME 第 100 頁，1，8 使用 Sway

5. CME 第 100 頁，2，3，5，8 使用紙筆