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複數

用於計數的自然數。透過從自然數中減去自然數，我們可以建立整數，它們不是自然數。透過將整數除以整數（非零），我們可以建立有理數，它們不是整數。透過對正有理數開平方根，我們可以建立實數，它們是無理數。透過對負數開平方根，我們可以建立複數，它們是虛數.

任何虛數都是一個實數乘以$-1,$ 的正平方根，我們用符號$i=\,_{+}\!{\sqrt {-1}}.$ 表示。

每個複數$z$ 都是一個實數$a$（$z$ 的實部）和一個虛數$ib.$ 的總和。有點令人困惑的是，$z$ 的虛部 是實數 $b.$

因為實數可以被視覺化為一條線上的點，所以它們也被稱為（或被認為構成）實數軸。因為複數可以被視覺化為平面上點，所以它們也被稱為（或被認為構成）複平面。這個平面包含兩條軸，一條水平（由實數構成的實軸）和一條垂直（由虛數構成的虛軸）。

不要被“實”和“虛”這些奇特的標籤誤導。沒有一個數字是真實的，就像蘋果是真實的。實數與虛數在普通意義上一樣虛假，虛數與實數在數學意義上一樣真實。如果你還不熟悉複數，那是因為你在計數或測量中不需要它們。你需要它們來計算測量結果的機率。

此圖說明了複數的加法，以及其他內容。

$z_{1}+z_{2}=(a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2}).$

如您所見，新增兩個複數的方式與新增兩個向量 $(a,b)$ 和 $(c,d)$ 在一個平面上的方式相同。

我們可能使用極座標來指定複數的絕對值或模$r=|z|$ 和複數輻角或相位 $\alpha$，它是一個以弧度為單位測量的角度。這些座標之間的關係如下

$a=r\cos \alpha ,\qquad b=r\sin \alpha ,\qquad r=\,_{+}\!{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

(請記住勾股定理?)

$\alpha ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{if }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{if }}a<0{\mbox{ and }}b\geq 0\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi &{\mbox{if }}a<0{\mbox{ and }}b<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}a=0{\mbox{ and }}b>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}a=0{\mbox{ and }}b<0\end{cases}}\qquad {\hbox{or}}\quad \alpha ={\begin{cases}+\arccos({\frac {a}{r}})&{\mbox{if }}b\geq 0\\-\arccos({\frac {a}{r}})&{\mbox{if }}b<0\end{cases}}$

要了解如何進行復數乘法，你只需要知道$i^{2}=-1$

$z_{1}z_{2}=(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}).$

然而，複數乘法還有更簡單的方法。代入$\cos$ 和 $\sin ,$

$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+\cdots$

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+\dots ,$

將上述表示式代入 $\cos \alpha +i\sin \alpha$ 並重新排列項，得到

$\sum _{k=0}^{\infty }{(ix)^{k} \over k!}=1+ix+{(ix)^{2} \over 2!}+{(ix)^{3} \over 3!}+{(ix)^{4} \over 4!}+{(ix)^{5} \over 5!}+{(ix)^{6} \over 6!}+{(ix)^{7} \over 7!}+\cdots$

但這個就是 指數函式 $e^{y}$ 當 $y=ix$ 時的冪級數/泰勒級數！ 因此，根據 尤拉公式

$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha ,$

這將兩個複數的乘法簡化為其絕對值的乘法和相位的加法

$(z_{1})\,(z_{2})=r_{1}e^{i\alpha _{1}}\,r_{2}e^{i\alpha _{2}}=(r_{1}r_{2})\,e^{i(\alpha _{1}+\alpha _{2})}.$

一個非常有用的定義是 複共軛 $z^{*}=a-ib$ $z=a+ib.$ 除了其他用途外，它還允許我們透過計算乘積來計算絕對平方 $|z|^{2}$

$zz^{*}=(a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2}.$

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1. 證明

$\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}\quad {\hbox{and}}\quad \sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.$

2. 可以說，五個最重要的數字是 $0,1,i,\pi ,e.$ 寫下一個包含這幾個數字的方程式，每個數字只出現一次。 (答案？)