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指數函式

我們定義函式 $\exp(x)$，要求

$\exp '(x)=\exp(x)$  和  $\exp(0)=1.$

該函式的值處處等於其斜率。對第一個定義方程進行多次微分，我們發現

$\exp ^{(n)}(x)=\exp ^{(n-1)}(x)=\cdots =\exp(x).$

第二個定義方程現在告訴我們，對於所有 $k.$，$\exp ^{(k)}(0)=1$。結果是一個特別簡單的泰勒級數

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{x^{k} \over k!}=1+x+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6}+{x^{4} \over 24}+\cdots$

讓我們檢查一個良好的函式是否滿足方程

$f(a)\,f(b)=f(a+b)$

當且僅當

$f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0).$

我們將透過將 $f$展開為 $a$ 和 $b$ 的冪來完成，並比較係數。我們有

$f(a)\,f(b)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)}{i!\,k!}}\,a^{i}\,b^{k},$

並使用二項式展開

$(a+b)^{i}=\sum _{l=0}^{i}{\frac {i!}{(i-l)!\,l!}}\,a^{i-l}\,b^{l},$

我們也有

$f(a+b)=\sum _{i=0}^{\infty }{f^{(i)}(0) \over i!}(a+b)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{l=0}^{i}{\frac {f^{(i)}(0)}{(i-l)!\,l!}}\,a^{i-l}\,b^{l}=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(i+k)}(0)}{i!\,k!}}\,a^{i}\,b^{k}.$

瞧。

函式 $\exp(x)$ 顯然滿足 $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)$，因此 $f(a)\,f(b)=f(a+b).$

函式 $f(x)=\exp(ux).$ 也是如此。

此外，$f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)$ 意味著 $f^{(n)}(0)=[f'(0)]^{n}.$

我們由此得出

• 滿足 $f(a)\,f(b)=f(a+b)$ 的函式形成了一個單引數族，引數是實數 $f'(0),$ 並且

• 單引數函式族 $\exp(ux)$ 滿足 $f(a)\,f(b)=f(a+b)$，引數是實數 $u.$

但是 $f(x)=v^{x}$ 也定義了一個單引數函式族，它滿足 $f(a)\,f(b)=f(a+b)$，引數為正數 $v.$

結論：對於任何實數 $u$，都存在一個正數 $v$（反之亦然），使得 $v^{x}=\exp(ux).$

其中最重要的數字之一是 $e,$ 定義為數字 $v$，其中 $u=1,$ 也就是說：$e^{x}=\exp(x)$

$e=\exp(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=1+1+{1 \over 2}+{1 \over 6}+\dots =2.7182818284590452353602874713526\dots$

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自然對數 $\ln(x)$ 定義為 $\exp(x),$ 的逆函式，所以 $\exp[\ln(x)]=\ln[\exp(x)]=x.$ 證明

${d\ln f(x) \over dx}={1 \over f(x)}{df \over dx}.$

提示：對 $\exp\{\ln[f(x)]\}.$ 求導。