量子世界/附錄/場

場

您會記得，函式是一個接受數字並返回數字的機器。場是一個接受一個點的三個座標或一個時空點的四個座標並返回一個標量、一個向量或一個張量（空間型別或 4 維時空型別）的函式。

梯度

想象一條曲線 ${\mathcal {C}}$ 在 3 維空間中。如果我們用某個引數 $\lambda ,$ 來標記這條曲線的點，那麼 ${\mathcal {C}}$ 可以用 3 向量函式 $\mathbf {r} (\lambda ).$ 我們感興趣的是標量場 $f(x,y,z)$ 的值在我們從 $\mathbf {r} (\lambda )$ 點移動到 $\mathbf {r} (\lambda +d\lambda )$ 點時變化了多少。 ${\mathcal {C}}$ $f$ 變化多少將取決於座標 $(x,y,z)$ 變化了多少，這些座標本身又是 $\lambda .$ 座標的變化顯然由下式給出

(^{*})\quad dx={\frac {dx}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dy={\frac {dy}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dz={\frac {dz}{d\lambda }}\,d\lambda ,

當 $f$ 發生變化時，它是由三種變化疊加而成的，分別是由 $x,$ 的變化引起的，由 $y,$ 的變化引起的，以及由 $z$ 的變化引起的。

(^{*}{}^{*})\quad df={\frac {df}{dx}}\,dx+{\frac {df}{dy}}\,dy+{\frac {df}{dz}}\,dz.

第一項告訴我們當我們從 $(x,y,z)$ 移動到 $(x{+}dx,y,z),$ 時， $f$ 的變化量；第二項告訴我們當我們從 $(x,y,z)$ 移動到 $(x,y{+}dy,z),$ 時， $f$ 的變化量；第三項告訴我們當我們從 $(x,y,z)$ 移動到 $(x,y,z{+}dz).$ 時， $f$ 的變化量。

我們是否應該在 $f$ 中新增從 $(x,y,z)$ 到 $(x{+}dx,y,z),$ 然後從 $(x{+}dx,y,z)$ 到 $(x{+}dx,y{+}dy,z),$ 然後從 $(x{+}dx,y{+}dy,z)$ 到 $(x{+}dx,y{+}dy,z{+}dz)$ 發生的改變？讓我們計算一下。

{\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}={\frac {\partial \left[f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\right]}{\partial y}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\,dx.

如果我們取極限 $dx\rightarrow 0$ （就像我們每次使用 $dx$ 時所做的那樣），最後一項會消失。因此，我們可以使用 ${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}$ 來代替 ${\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}.$ 將 (*) 代入 (**)，我們得到

df=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{d\lambda }}\right)d\lambda .

將括號中的表示式視為兩個向量的點積

標量場 $f,$ 的梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}$ 是一個向量場，其分量為 ${\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}},$
向量 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }},$ 是 ${\mathcal {C}}.$ 上的切線。

如果我們將 $\lambda$ 視為一個物體沿 ${\mathcal {C}}$ 運動時所處的時刻，該時刻物體位於 $\mathbf {r} (\lambda ),$ 那麼 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }}$ 的大小是這個物體的速度。

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 是一個微分運算元，它接受一個函式 $f(\mathbf {r} )$ 並返回它的梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}.$

$f$ 的梯度是另一種輸入輸出裝置：輸入 $d\mathbf {r} ,$ 輸出差值

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =df=f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} )-f(\mathbf {r} ).

微分運算元 ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 也與點積和叉積一起使用。

旋度

向量場 $\mathbf {A}$ 的旋度定義為

{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {\hat {y}} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {\hat {z}} .

為了瞭解這個定義的用處，讓我們計算一下積分 $\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 在閉合曲線 ${\mathcal {C}}.$ 上。 (曲線上的積分被稱為 *線積分*，如果曲線是閉合的，則被稱為 *迴路積分*。) 這個積分被稱為 $\mathbf {A}$ 沿著 ${\mathcal {C}}$ 的 *環流* (或圍繞 ${\mathcal {C}}$ 所包圍的表面)。讓我們從一個具有角點 $A=(0,0,0),$ $B=(0,dy,0),$ $C=(0,dy,dz),$ 和 $D=(0,0,dz).$ 的無限小矩形的邊界開始。

四條邊的貢獻分別為：

${\overline {AB}}:\quad A_{y}(0,dy/2,0)\,dy,$
${\overline {BC}}:\quad A_{z}(0,dy,dz/2)\,dz=\left[A_{z}(0,0,dz/2)+{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}dy\right]dz,$
${\overline {CD}}:\quad -A_{y}(0,dy/2,dz)\,dy=-\left[A_{y}(0,dy/2,0)+{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}dz\right]dy,$
${\overline {DA}}:\quad -A_{z}(0,0,dz/2)\,dz.$

這些加起來為

(^{*}{}^{*}{}^{*})\quad \left[{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right]dy\,dz=({\hbox{curl}}\,\mathbf {A} )_{x}\,dy\,dz.

讓我們用一個向量表示這個面積為 $dy\,dz$ （位於 $y$ - $z$ 平面）的無窮小矩形，其大小等於 $d\Sigma =dy\,dz,$ 並且垂直於矩形。（有兩個可能的方向。右邊所示的右手法則表明 $d\mathbf {\Sigma }$ 的方向與迴圈方向的關係。）這使我們能夠將（***）寫成一個標量（乘積） ${\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$ 作為標量，它在座標軸的旋轉或無窮小矩形的旋轉下是不變的。因此，如果我們用無窮小矩形覆蓋一個曲面 $\Sigma$ 並將它們的迴圈加起來，我們就得到 $\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

觀察到，所有相鄰矩形的公共邊都被相反方向積分了兩次。它們的貢獻相互抵消，只有來自 $\Sigma$ 邊界 $\partial \Sigma$ 的貢獻得以保留。

結論是： $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

這就是斯托克斯定理。注意，等式左邊僅僅取決於邊界 $\partial \Sigma$ 的 $\Sigma .$ 因此，等式右邊也是如此。向量場旋度的曲面積分的值僅僅取決於向量場在曲面邊界上的取值。

如果向量場 $\mathbf {A}$ 是標量場 $f,$ 的梯度，並且如果 ${\mathcal {C}}$ 是從 $\mathbf {A}$ 到 $\mathbf {b} ,$ 的曲線，那麼

\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {C}}df=f(\mathbf {b} )-f(\mathbf {A} ).

因此，梯度的線積分對於所有具有相同端點的曲線都是相同的。如果 $\mathbf {b} =\mathbf {A}$ 那麼 ${\mathcal {C}}$ 是一個迴路，並且 $\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 等於零。根據斯托克斯定理，梯度的旋度恆等於零

\int _{\Sigma }\left({\hbox{curl}}\,{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right)\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =0.

散度

向量場 $\mathbf {A}$ 的散度定義如下

{\hbox{div}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.

為了瞭解這個定義的用處，考慮一個無窮小的體積元 $d^{3}r$ ，其邊長為 $dx,dy,dz.$ 讓我們計算向量場 $\mathbf {A}$ 透過 $d^{3}r.$ 表面的淨（向外）通量。有三對相對的表面。透過垂直於 $x$ 軸的表面的淨通量為

A_{x}(x+dx,y,z)\,dy\,dz-A_{x}(x,y,z)\,dy\,dz={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz.

顯然，透過其餘表面的淨通量是什麼。 $\mathbf {A}$ 從 $d^{3}r$ 中流出的淨通量因此等於

\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right]\,dx\,dy\,dz={\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.

如果我們用無窮小的長方體填充一個區域 $R$ 並將它們的淨向外通量加起來，我們得到 $\int _{R}{\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.$ 觀察到所有相鄰長方體的公共邊被積分了兩次，符號相反——一個長方體流出的通量等於另一個長方體流入的通量。因此，它們的貢獻相互抵消，只有表面 $\partial R$ 的 $R$ 的貢獻仍然存在。最終結果是