量子世界/附錄/不定積分

不定積分

我們如何將無限多個無窮小的面積加起來？如果我們知道一個函式$F(x)$，其中$f(x)$ 是其一階導數，那麼這將是基本的。 如果$f(x)={\frac {dF}{dx}}$，那麼$dF(x)=f(x)\,dx$ 並且

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}dF(x)=F(b)-F(a).$

我們所要做的就是將$dF$ 的無窮小量加起來，隨著$x$ 從 $a$ 增加到 $b,$ $F(x)$ 增加，這僅僅是 $F(b)$ 和 $F(a).$ 之間的差。

一個函式 $F(x)$，其一階導數為 $f(x)$，稱為 $f(x)$ 的 *積分* 或 *反導數*。由於 $f(x)$ 的積分僅確定到一個常數，因此它也被稱為 $f(x)$ 的 *不定積分*。需要注意的是，當 $f(x)$ 為負時，其圖形與 $x$ 軸之間的面積計為負值。

如果我們不知道被積函式 $f(x)$ 的任何反導數，我們如何計算積分 $I=\int _{a}^{b}dx\,f(x)$？通常我們查閱積分表。自己動手則需要相當的技巧。舉例來說，讓我們來求解高斯積分

$I=\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,e^{-x^{2}/2}.$

對於這個積分，有人發現了以下技巧。（問題是不同的積分通常需要不同的技巧。）從 $I$ 的平方開始

$I^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-x^{2}/2}\int _{-\infty }^{+\infty }\!dy\,e^{-y^{2}/2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\!\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,dy\,e^{-(x^{2}+y^{2})/2}.$

這是一個關於 $x{-}y$ 平面的積分。我們不必將此平面分割成微小的矩形 $dx\,dy,$，可以將其分割成半徑為 $r$、寬度為微分的同心圓環 $dr.$。由於這樣的圓環的面積為 $2\pi r\,dr,$ 因此我們有

$I^{2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!dr\,r\,e^{-r^{2}/2}.$

現在只需要進行一次積分。接下來我們利用這樣一個事實： ${\frac {d\,r^{2}}{dr}}=2r,$ 因此 $dr\,r=d(r^{2}/2),$ 並且我們引入變數 $w=r^{2}/2$

$I^{2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!d\left({r^{2}/2}\right)e^{-r^{2}/2}=2\pi \int _{0}^{+\infty }\!dw\,e^{-w}.$

由於我們知道 $e^{-w}$ 的反導數是 $-e^{-w},$ 我們也知道

$\int _{0}^{+\infty }\!dw\,e^{-w}=(-e^{-\infty })-(-e^{-0})=0+1=1.$

所以 $I^{2}=2\pi$ 並且

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-x^{2}/2}={\sqrt {2\pi }}.$

信不信由你，理論物理學文獻中很大一部分都涉及到這種基本高斯積分的變體和擴充套件。

一個變體是透過將 ${\sqrt {a}}\,x$ 代入 $x$ 來獲得的

$\int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,e^{-ax^{2}/2}={\sqrt {2\pi /a}}.$

另一個變體是透過將該方程兩邊都視為關於 $a$ 的函式，並對其進行關於 $a.$ 微分而獲得的

$\int _{-\infty }^{+\infty }dx\,e^{-ax^{2}/2}x^{2}={\sqrt {2\pi /a^{3}}}.$