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四維向量

三維向量是三個實數的集合，在旋轉下像座標$x,y,z.$一樣變換。四維向量是四個實數的集合，在洛倫茲變換下像${\vec {x}}=(ct,x,y,z).$的座標一樣變換。

您會記得兩個三維向量的標量積在（空間）座標軸的旋轉下是不變的；畢竟，這就是我們稱之為標量的原因。類似地，兩個四維向量${\vec {a}}=(a_{t},\mathbf {a} )=(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3})$和${\vec {b}}=(b_{t},\mathbf {b} )=(b_{0},b_{1},b_{2},b_{3}),$的標量積，由下式定義

$({\vec {a}},{\vec {b}})=a_{0}b_{0}-a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3},$

在洛倫茲變換（以及座標原點的平移和空間軸的旋轉）下是不變的。為了證明這一點，我們考慮兩個四維向量${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$的和，並計算

$({\vec {c}},{\vec {c}})=({\vec {a}}+{\vec {b}},{\vec {a}}+{\vec {b}})=({\vec {a}},{\vec {a}})+({\vec {b}},{\vec {b}})+2({\vec {a}},{\vec {b}}).$

產品$({\vec {a}},{\vec {a}}),$ $({\vec {b}},{\vec {b}}),$ 和 $({\vec {c}},{\vec {c}})$ 是不變的 4 標量。但是，如果它們在洛倫茲變換下是不變的，那麼標量積 $({\vec {a}},{\vec {b}}).$ 也是不變的。

除了 ${\vec {x}},$ 之外，一個重要的 4 向量是4 速度 ${\vec {u}}={\frac {d{\vec {x}}}{ds}},$，它與世界線 ${\vec {x}}(s).$ 相切。 ${\vec {u}}$ 是一個 4 向量，因為 ${\vec {x}}$ 是一個 4 向量，並且因為 $ds$ 是一個標量（確切地說，是一個 4 標量）。

4 向量 ${\vec {a}}$ 的範數或“大小”定義為 ${\sqrt {|({\vec {a}},{\vec {a}})|}}.$ 可以很容易地證明 ${\vec {u}}$ 的範數等於 $c$（練習！）。

因此，如果我們使用自然單位，則 4 速度是一個單位向量。