量子世界/附錄/正弦和餘弦

正弦和餘弦

我們定義函式 $\cos(x)$ 要求

$\cos ''(x)=-\cos(x),\quad \cos(0)=1$  和  $\cos '(0)=0.$

如果你只使用這些資訊來繪製這個函式的影像，你會注意到，只要 $\cos(x)$ 為正，其斜率隨著 $x$ 的增加而減小（即，其圖形向下彎曲），只要 $\cos(x)$ 為負，其斜率隨著 $x$ 的增加而增加（即，其圖形向上彎曲）。

對第一個定義方程進行重複微分得到

$\cos ^{(n+2)}(x)=-\cos ^{(n)}(x)$

對於所有自然數 $n.$ 使用其餘定義方程，我們發現 $\cos ^{(k)}(0)$ 等於 1 對於 k = 0,4,8,12…, –1 對於 k = 2,6,10,14…, 和 0 對於奇數 k。這導致以下泰勒級數

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+\dots .$

函式 $\sin(x)$ 同樣透過要求

$\sin ''(x)=-\sin(x),\quad \sin(0)=0,\quad {\hbox{and}}\quad \sin '(0)=1.$

這導致以下泰勒級數

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+\dots .$