此量子世界/附錄/泰勒級數

泰勒級數

一個行為良好的函式可以展開成一個冪級數。這意味著對於所有非負整數 $k$ 都有實數 $a_{k}$ 使得

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots$

讓我們使用 $(x^{n})'=n\,x^{n-1}$ 計算前四個導數

$f'(x)=a_{1}+2\,a_{2}x+3\,a_{3}x^{2}+4\,a_{4}x^{3}+5\,a_{5}x^{4}+\cdots$

$f''(x)=2\,a_{2}+2\cdot 3\,a_{3}x+3\cdot 4\,a_{4}x^{2}+4\cdot 5\,a_{5}x^{3}+\cdots$

$f'''(x)=2\cdot 3\,a_{3}+2\cdot 3\cdot 4\,a_{4}x+3\cdot 4\cdot 5\,a_{5}x^{2}+\cdots$

$f''''(x)=2\cdot 3\cdot 4\,a_{4}+2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\,a_{5}x+\cdots$

將 $x$ 設定為零，我們得到

$f(0)=a_{0},\quad f'(0)=a_{1},\quad f''(0)=2\,a_{2},\quad f'''(0)=2\times 3\,a_{3},\quad f''''(0)=2\times 3\times 4\,a_{4}.$

我們用 $f^{(n)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $n$ 階導數。我們也用 $f^{(0)}(x)=f(x)$ 來表示 — 將 $f(x)$ 視為 $f(x)$ 的“零階導數”。因此，我們得到一般結果 $f^{(k)}(0)=k!\,a_{k},$ 其中階乘 $k!$ 定義為當 $k=0$ 或 $k=1$ 時等於 1，當 $k>1.$ 時等於所有自然數 $n\leq k$ 的乘積。用 $f(x)$ 在 $x=0$ 處的導數來表示係數 $a_{k}$，我們得到

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(0) \over k!}x^{k}=f(0)+f'(0)x+f''(0){x^{2} \over 2!}+f'''(0){x^{3} \over 3!}+\cdots$

這就是 $f(x)$ 的泰勒級數。

一個非凡的結果：如果你知道一個良好函式$f(x)$ 的值，以及它所有導數在 *單個點* $x=0$ 的值，那麼你就可以知道 $f(x)$ 在 *所有* 點 $x.$ 此外，$x=0,$ 並沒有什麼特殊之處，所以 $f(x)$ 也由它的值和它在任何其他點 $x_{0}$ 的導數值決定。

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(x_{0}) \over k!}(x-x_{0})^{k}.$