量子世界/嚴重疾病/玻爾

玻爾

1913年，尼爾斯·玻爾假設軌道原子電子的角動量$L$是量子化的：“允許”值是$\hbar$的整數倍。

$L=n\hbar$，其中$n=1,2,3,\dots$

為什麼要量化角動量，而不是其他任何量？

• 給定頻率的輻射能量是普朗克常數的倍數。
• 普朗克常數的單位與角動量相同。

玻爾的假設不僅解釋了原子的穩定性，還解釋了原子發射和吸收電磁輻射的原因。此外，它使他能夠以驚人的精度計算出原子氫的光譜——它能夠發射和吸收光的頻率（可見光、紅外光和紫外光）。下圖顯示了原子氫的可見發射光譜，其中包含巴爾末系的四條線。

原子氫的可見發射光譜，包含巴爾末系的四條線。

除了量子化假設外，玻爾的推理在這一點上仍然完全是經典的。讓我們假設，與玻爾一樣，電子的軌道是一個半徑為$r.$ 的圓。那麼，電子的速度由$v=r\,d\beta /dt,$ 給出，其加速度大小由$a=dv/dt=v\,d\beta /dt.$ 給出。消除$d\beta /dt$ 得$a=v^{2}/r.$ 在釐米-克-秒制中，庫侖力的大小為$F=e^{2}/r^{2},$ 其中$e$ 是電子和質子的電荷大小。透過牛頓的$F=ma$，最後兩個方程得到$m_{e}v^{2}=e^{2}/r,$ 其中$m_{e}$ 是電子的質量。如果我們假設質子靜止，那麼我們得到電子的動能為$T=m_{e}v^{2}/2=e^{2}/2r$。

如果電子在無窮遠處的勢能設定為 0，那麼它在距離質子$r$ 處的勢能$V$ 是將它從$r$ 移動到無窮遠處所需的功的負值，

$V=-\int _{r}^{\infty }F(r')\,dr'=-\int _{r}^{\infty }\!{e^{2} \over (r')^{2}}\,dr'=+\left[{e^{2} \over r'}\right]_{r}^{\infty }=0-{e^{2} \over r}.$

因此，電子的總能量為

$E=T+V=e^{2}/2r-e^{2}/r=-e^{2}/2r.$

我們想用電子的角動量 $L=m_{e}vr.$ 來表示它。記住 $m_{e}v^{2}=e^{2}/r,$ 因此 $rm_{e}^{2}v^{2}=m_{e}e^{2},$，並將分子 $e^{2}\,$ 乘以 $m_{e}e^{2}$，分母 $2r$ 乘以 $rm_{e}^{2}v^{2},$ 我們得到

$E=-{e^{2} \over 2r}=-{m_{e}e^{4} \over 2m_{e}^{2}v^{2}r^{2}}=-{m_{e}e^{4} \over 2L^{2}}.$

現在，玻爾提出了與經典物理學不同的理論：他用 $n\hbar$ 代替了 $L$。角動量的“允許”值定義了一系列原子的能量允許值

$E_{n}=-{1 \over n^{2}}\left({m_{e}e^{4} \over 2\hbar ^{2}}\right),\quad n=1,2,3,\dots$

因此，原子只能以等於差值的絕對值的能量量發射或吸收能量

$\Delta E_{nm}=E_{n}-E_{m}=\left({1 \over n^{2}}-{1 \over m^{2}}\right)\,{\hbox{Ry}},$

一個 裡德伯 (Ry) 等於 $m_{e}e^{4}/2\hbar ^{2}=13.6056923(12)\,{\hbox{eV.}}$。這也是 電離能 $\Delta E_{1\infty }$ — 將電子從質子中完全移除所需的能量。玻爾預測的值與測量值非常吻合。

使用上述兩個原子能量表達式並求解 $r,$，我們得到 $r=n^{2}\hbar ^{2}/m_{e}e^{2}.$ 對於基態 $(n=1)$，這是 氫原子玻爾半徑，等於 $\hbar ^{2}/m_{e}e^{2}=5.291772108(18)\times 10^{-11}m.$ 成熟的理論得到了相同的數字，但將其解釋為在測量電子到質子的距離時，最有可能找到電子的質子距離。