量子世界/附錄/場

場

您會記得，函式是一個接受一個數字並返回一個數字的機器。一個場是一個接受一個點的三個座標或一個時空點的四個座標並返回一個標量、一個向量或一個張量（空間型別或 4 維時空型別）的函式。

梯度

想象一下三維空間中的曲線 ${\mathcal {C}}$ 。如果我們用某個引數 $\lambda ,$ 來標記這條曲線的點，那麼 ${\mathcal {C}}$ 可以用一個 3 向量函式 $\mathbf {r} (\lambda ).$ 我們感興趣的是標量場 $f(x,y,z)$ 的值在我們從 ${\mathcal {C}}$ 的一點 $\mathbf {r} (\lambda )$ 到 ${\mathcal {C}}$ 的一點 $\mathbf {r} (\lambda +d\lambda )$ 變化多少。 $f$ 變化多少將取決於 $\mathbf {r}$ 的座標 $(x,y,z)$ 變化多少，而這些座標本身是 $\lambda .$ 的函式。座標的變化顯然由下式給出

(^{*})\quad dx={\frac {dx}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dy={\frac {dy}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dz={\frac {dz}{d\lambda }}\,d\lambda ,

當 $f$ 的變化是由三個變化複合而成時，一個變化是由於 $x,$ 的變化，一個變化是由於 $y,$ 的變化，另一個變化是由於 $z$ 的變化。

(^{*}{}^{*})\quad df={\frac {df}{dx}}\,dx+{\frac {df}{dy}}\,dy+{\frac {df}{dz}}\,dz.

第一項告訴我們，當我們從 $(x,y,z)$ 移動到 $(x{+}dx,y,z),$ 時 $f$ 發生了多少變化；第二項告訴我們，當我們從 $(x,y,z)$ 移動到 $(x,y{+}dy,z),$ 時 $f$ 發生了多少變化；第三項告訴我們，當我們從 $(x,y,z)$ 移動到 $(x,y,z{+}dz).$ 時 $f$ 發生了多少變化。

我們是否應該新增在 $f$ 中發生的改變，這些改變是在我們從 $(x,y,z)$ 先移到 $(x{+}dx,y,z),$ 然後從 $(x{+}dx,y,z)$ 移到 $(x{+}dx,y{+}dy,z),$ 然後從 $(x{+}dx,y{+}dy,z)$ 移到 $(x{+}dx,y{+}dy,z{+}dz)$ ？讓我們計算一下。

{\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}={\frac {\partial \left[f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\right]}{\partial y}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\,dx.

如果我們取極限 $dx\rightarrow 0$ （正如我們在使用 $dx$ 時所想的那樣），最後一項會消失。因此，我們可以用 ${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}$ 來代替 ${\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}.$ 將(*)代入(**)，我們得到

df=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{d\lambda }}\right)d\lambda .

將括號內的表示式視為兩個向量的點積。

標量場 $f,$ 的梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}$ ，這是一個向量場，其分量為 ${\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}},$
向量 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }},$ ，它是 ${\mathcal {C}}.$ 上的切線。

如果我們將 $\lambda$ 視為沿 ${\mathcal {C}}$ 運動的物體在 $\mathbf {r} (\lambda ),$ 時的時刻，那麼 ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }}$ 的大小就是這個物體的速度。

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 是一個微分運算元，它接受一個函式 $f(\mathbf {r} )$ 並返回其梯度 ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}.$

$f$ 的梯度是另一個輸入-輸出裝置：輸入 $d\mathbf {r} ,$ ，得到差值

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =df=f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} )-f(\mathbf {r} ).

微分運算元 ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ 也常與點積和叉積結合使用。

旋度

向量場 $\mathbf {A}$ 的旋度定義為

{\displaystyle {\hbox{curl}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {\hat {y}} +\left({\frac

為了瞭解這個定義的用途，讓我們計算積分

\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}

在閉合曲線

{\mathcal {C}}.

上。(曲線上的積分稱為線積分，如果曲線是閉合的，則稱為迴路積分。) 這個積分被稱為

\mathbf {A}

沿著

{\mathcal {C}}

的環流（或圍繞由

{\mathcal {C}}

包圍的表面）。讓我們從一個具有頂點

A=(0,0,0),

B=(0,dy,0),

C=(0,dy,dz),

和

D=(0,0,dz).

的無限小矩形的邊界開始。

四條邊的貢獻分別為：

${\overline {AB}}:\quad A_{y}(0,dy/2,0)\,dy,$
${\overline {BC}}:\quad A_{z}(0,dy,dz/2)\,dz=\left[A_{z}(0,0,dz/2)+{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}dy\right]dz,$
${\overline {CD}}:\quad -A_{y}(0,dy/2,dz)\,dy=-\left[A_{y}(0,dy/2,0)+{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}dz\right]dy,$
${\overline {DA}}:\quad -A_{z}(0,0,dz/2)\,dz.$

它們加起來是

(^{*}{}^{*}{}^{*})\quad \left[{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right]dy\,dz=({\hbox{curl}}\,\mathbf {A} )_{x}\,dy\,dz.

我們將這個面積為 $dy\,dz$ （位於 $y$ - $z$ 平面上）的無窮小矩形表示成一個向量 $d\mathbf {\Sigma }$ ，其大小等於 $d\Sigma =dy\,dz,$ 並且垂直於該矩形。（有兩個可能的方向。右側所示的右手定則表明 $d\mathbf {\Sigma }$ 的方向與迴圈方向的關係。）這使我們能夠將（***）寫成一個標量（積） ${\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$ 。作為標量，它在座標軸或無窮小矩形的旋轉下是不變的。因此，如果我們用無窮小矩形覆蓋一個表面 $\Sigma$ 並將它們的迴圈加起來，我們就得到了 $\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

觀察到所有相鄰矩形的公共邊在相反方向上被積分了兩次。它們的貢獻相互抵消，只有邊界 $\partial \Sigma$ 的 $\Sigma$ 的貢獻保留了下來。

底線是： $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .$

這就是 _斯托克斯定理_。請注意，左側僅取決於 $\Sigma$ 的邊界 $\partial \Sigma$ 。因此，右側也是如此。向量場旋度的曲面積分的數值僅取決於該表面邊界上的向量場的值。

如果向量場 $\mathbf {A}$ 是標量場 $f,$ 的梯度，並且如果 ${\mathcal {C}}$ 是從 $\mathbf {A}$ 到 $\mathbf {b} ,$ 的曲線，那麼

\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {C}}df=f(\mathbf {b} )-f(\mathbf {A} ).

因此，梯度的線積分對於所有具有相同端點的曲線都是相同的。如果 $\mathbf {b} =\mathbf {A}$ ，則 ${\mathcal {C}}$ 是一個迴圈，並且 $\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ 為零。根據斯托克斯定理，梯度的旋度恆為零

\int _{\Sigma }\left({\hbox{curl}}\,{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right)\cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =0.

散度

向量場 $\mathbf {A}$ 的 *散度* 定義為

{\hbox{div}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} ={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}.

為了理解這個定義的用途，可以考慮一個無窮小體積元素 $d^{3}r$ ，其邊長分別為 $dx,dy,dz.$ 讓我們計算向量場 $\mathbf {A}$ 穿過 $d^{3}r.$ 表面的淨通量（向外）。有三對相對的表面。穿過垂直於 $x$ 軸的表面的淨通量為

A_{x}(x+dx,y,z)\,dy\,dz-A_{x}(x,y,z)\,dy\,dz={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}\,dx\,dy\,dz.

其他表面的淨通量也顯而易見。 $\mathbf {A}$ 穿過 $d^{3}r$ 的淨通量因此等於

\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\right]\,dx\,dy\,dz={\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.

如果我們將區域 $R$ 用無窮小的平行六面體填充並將其淨通量相加，我們得到 $\int _{R}{\hbox{div}}\,\mathbf {A} \,d^{3}r.$ 觀察到所有相鄰平行六面體的公共邊被積分了兩次，且符號相反 - 一個的通量等於另一個的通量。因此，它們的貢獻互相抵消，只有來自 $\partial R$ 的 $R$ 表面的貢獻得以保留。結論