量子世界/附錄/相對論/洛倫茲

反對 $K>0$ 的論據

在一個假設的世界中，$K>0$，我們可以定義 $k\equiv 1/{\sqrt {K}}$ （一個具有速度維度的普適常數），我們可以將 $u=v+w/(1-Kvw)$ 轉化為以下形式

$u={v+w \over 1-vw/k^{2}}.$

If we plug in $v=w=k/2,$ then instead of the Galilean $u=v+w=k$ we have $u={4 \over 3}k>k.$ Worse, if we plug in $v=w=k,$ we obtain $u=\infty$: if object $O$ travels with speed $k$ relative to ${\mathcal {F}}_{2},$ and if ${\mathcal {F}}_{2}$ travels with speed $k$ relative to ${\mathcal {F}}_{1}$ (in the same direction), then $O$ travels with an infinite speed relative to ${\mathcal {F}}_{1}$! And if $O$ travels with $2k$ relative to ${\mathcal {F}}_{2}$ and ${\mathcal {F}}_{2}$ travels with $2k$ relative to ${\mathcal {F}}_{1},$ $O$'s speed relative to ${\mathcal {F}}_{1}$ is negative: $u=-{4 \over 3}k.$

如果我們使用 $K=k=1,$ 的單位，則與無窮小路徑段相關的固有時間不變數與該路徑段的慣性分量之間的關係為

$ds^{2}=dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$

這是 3 標量 $dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},$ 的四維版本，該標量在空間旋轉下是不變的。因此，如果 $K$ 為正，則慣性系之間的變換是時空中的旋轉。我想你現在明白了為什麼在這個假設的世界中，兩個正速度的組合可以是一個負速度。

讓我們透過從 $x'$ 和 $t'$ 軸相對於 $x$ 和 $t$ 軸是旋轉的假設推匯出組合定理（對於 $k{=}1$）來確認這一結論。

沿著虛線運動的物體 $O$ 相對於 ${\mathcal {F}}',$ 的速度為 $w=\cot(\alpha +ta)$，而 ${\mathcal {F}}'$ 相對於 ${\mathcal {F}}$ 的速度為 $v=\tan \alpha ,$ 同時 $O$ 相對於 ${\mathcal {F}}$ 的速度為 $u=\cot \beta .$ 利用三角關係

$\tan(\alpha +\beta )={\tan \alpha +\tan \beta \over 1-\tan \alpha \tan \beta },$

我們可以得出結論， ${1 \over w}={v+1/u \over 1-v/u}.$ 解出 $u,$ 得到 $u={v+w \over 1-vw}.$

我們如何排除 $K>0$ 的先驗可能性？正如本書中所述，物質的穩定性——更準確地說，存在穩定的物體，這些物體 (i) 具有空間範圍（它們“佔據”空間），以及 (ii) 由有限數量沒有空間範圍的物體（它們不“佔據”空間）構成——取決於相對位置的存在，這些位置是 (a) 或多或少模糊的，以及 (b) 與時間無關的。此類相對位置由機率分佈描述，這些分佈 (a) 在空間上是 *非均勻* 的，以及 (b) 在時間上是 *均勻* 的。因此，它們的客觀存在需要時空的時間維度與空間維度之間存在客觀差異。這排除了 $K>0.$ 的可能性。

為什麼？如果 $K<0,$ 並且我們使用自然單位，其中 $c=1,$ 我們有

$ds^{2}=+\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.$

從物理學的角度來看，$dt$ 前面的正號和 $dx,$ $dy,$ 和 $dz$ 前面的負號之間的唯一客觀差異是時空中的時間和空間維度。如果 $K$ 為正，即使這種差異也不存在。

反對零 K 的論據

那麼，什麼論據反對 $K=0$ 的可能性呢？

回顧自由穩定粒子的傳播子

$\langle B|A\rangle =\int {\mathcal {DC}}e^{-ibs[{\mathcal {C}}]}.$

如果 $K$ 為零，那麼我們將有 $ds^{2}=dt^{2}.$ 慣性時間和固有時之間將沒有區別，所有從 $A$ 到 $B$ 的時空路徑都將對傳播子 $\langle B|A\rangle ,$ 貢獻相同的振幅 $e^{-ib(t_{B}-t_{A})}$，結果將是無望的發散。更糟糕的是，$\langle B|A\rangle$ 將與 $A$ 和 $B.$ 之間的距離無關。為了獲得定義明確的有限機率，必須發生抵消（“相消干涉”），這排除了 $K=0.$

實際的洛倫茲變換

因此，在現實世界中，洛倫茲變換的形式為

$t'={t-wx/c^{2} \over {\sqrt {1-w^{2}/c^{2}}}},\quad x'={x-wt \over {\sqrt {1-w^{2}/c^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z.$

讓我們用自然單位（$c=1$）以圖表方式對其進行探索。令 $t'=0,$ 我們得到 $t=wx.$ 這告訴我們 $x'$ 軸相對於未帶撇號的座標系的斜率是 $w=\tan \alpha .$ 令 $x'=0,$ 我們得到 $t=x/w.$ 這告訴我們 $t'$ 軸的斜率是 $1/w.$ 因此，帶撇號的座標軸以相同角度但以*相反*的方向旋轉；如果 $t'$ 軸相對於 $t$ 軸順時針旋轉，那麼 $x'$ 軸相對於 $x$ 軸逆時針旋轉。

如果我們考慮運動中時鐘的同步，我們將得出相同的結論。假設三個時鐘（1、2、3）相對於 ${\mathcal {F}}.$ 以相同的速率 $w=\tan \alpha$ 運動。為了同步它們，我們必須從一個時鐘向另一個時鐘傳送訊號。什麼型別的訊號？如果我們希望我們的同步過程獨立於我們使用的語言（即獨立於參考系），那麼我們必須使用以不變速率 $c.$ 傳播的訊號。

以下是它的工作原理

光訊號從時鐘 2（事件 $A$) 傳送，並被時鐘 1 和 3 反射（事件 $B$ 和 $C,$ 分別）。時鐘之間的距離經過調整，使得反射訊號同時到達時鐘 2（事件 $D$）。這確保了時鐘 1 和 2 之間的距離等於時鐘 2 和 3 之間的距離，無論它們在哪個慣性系中進行比較。在 ${\mathcal {F}}',$ 時鐘靜止，來自 $A$ 的訊號在分別到達第一個和第三個時鐘時已經傳播了相同的距離。由於它們還以相同的速度 $c,$ 傳播，因此它們已經傳播了相同的時間。因此，時鐘必須同步，以便 $B$ 和 $C$ 是同時發生的。我們可以使用時鐘 1 的世界線作為 $t'$ 軸，並且過 $B$ 和 $C$ 的直線作為 $x'$ 軸。很容易看到，上圖中的三個角度 $ta$ 是相等的。根據這一點以及從 $B$ 到 $D$ 的訊號的斜率等於 1（考慮到 $c{=}1$），兩個角度 $\alpha$ 相等。

因此，同時性取決於我們用來描述物理情況的語言——慣性系。如果兩個事件 $E_{1},E_{2}$ 在一個參考系中是同時發生的，那麼在其他參考系中，$E_{1}$ 發生在 $E_{2}$ 之後，也存在參考系，$E_{1}$ 發生在 $E_{2}.$

我們在空間和時間軸上放置單位點在哪裡？ ${\mathcal {F}}'$ 時間軸的單位點座標為 $t'=1,x'=0$ 且滿足 $t^{2}-x^{2}=1,$ 這可從 (\ref{ds2}) 的版本 $(t')^{2}-(x')^{2}=t^{2}-x^{2}$ 中得出。 $x'$ 軸的單位點座標為 $t'=0,x'=1$ 且滿足 $x^{2}-t^{2}=1.$ 空間和時間軸單位點的軌跡是由這些方程定義的雙曲線。