這個量子世界/嚴重疾病/玻爾

玻爾

1913年，尼爾斯·玻爾假設軌道原子電子的角動量$L$是量子化的：“允許”的值是$\hbar$的整數倍。

$L=n\hbar$ 其中$n=1,2,3,\dots$

為什麼量子化角動量，而不是任何其他量？

• 給定頻率的輻射能量以普朗克常數的倍數量子化。
• 普朗克常數的單位與角動量相同。

玻爾的假設不僅解釋了原子的穩定性，還解釋了原子發射和吸收電磁輻射的原因是離散的。此外，它使他能夠以驚人的精確度計算原子氫的光譜——原子氫能夠發射和吸收光的頻率（可見光以及紅外線和紫外線）。下圖顯示了原子氫的可見發射光譜，其中包含巴爾默系的四條線。

原子氫的可見發射光譜，包含巴爾默系的四條線。

除了他的量子化假設外，玻爾在這一點上的推理仍然完全是經典的。讓我們假設與玻爾一樣，電子的軌道是半徑為$r.$的圓。然後電子的速度由$v=r\,d\beta /dt,$給出，其加速度的大小由$a=dv/dt=v\,d\beta /dt.$給出。消除$d\beta /dt$得到$a=v^{2}/r.$ 在釐米-克-秒單位制中，庫侖力的大小簡化為$F=e^{2}/r^{2},$ 其中$e$是電子和質子電荷的大小。透過牛頓的$F=ma$，最後兩個方程得到$m_{e}v^{2}=e^{2}/r,$ 其中$m_{e}$是電子的質量。如果我們將質子視為靜止，則對於電子的動能，我們得到$T=m_{e}v^{2}/2=e^{2}/2r$。

如果將電子在無窮遠處的勢能設為 0，那麼它在距離質子 $r$ 處的勢能 $V$ 等於將其從 $r$ 移到無窮遠所需的功的負值。

$V=-\int _{r}^{\infty }F(r')\,dr'=-\int _{r}^{\infty }\!{e^{2} \over (r')^{2}}\,dr'=+\left[{e^{2} \over r'}\right]_{r}^{\infty }=0-{e^{2} \over r}.$

因此，電子的總能量為

$E=T+V=e^{2}/2r-e^{2}/r=-e^{2}/2r.$

我們希望用電子的角動量 $L=m_{e}vr.$ 來表示它。記住 $m_{e}v^{2}=e^{2}/r,$，因此 $rm_{e}^{2}v^{2}=m_{e}e^{2},$，並將分子 $e^{2}\,$ 乘以 $m_{e}e^{2}$，分母 $2r$ 乘以 $rm_{e}^{2}v^{2},$ 我們得到

$E=-{e^{2} \over 2r}=-{m_{e}e^{4} \over 2m_{e}^{2}v^{2}r^{2}}=-{m_{e}e^{4} \over 2L^{2}}.$

現在，玻爾與經典物理學產生了分歧：他簡單地用 $n\hbar$ 替換了 $L$。角動量的“允許”值定義了一系列原子能量的允許值。

$E_{n}=-{1 \over n^{2}}\left({m_{e}e^{4} \over 2\hbar ^{2}}\right),\quad n=1,2,3,\dots$

因此，原子只能以等於差值的絕對值的數量發射或吸收能量

$\Delta E_{nm}=E_{n}-E_{m}=\left({1 \over n^{2}}-{1 \over m^{2}}\right)\,{\hbox{Ry}},$

一個裡德伯常數 (Ry) 等於 $m_{e}e^{4}/2\hbar ^{2}=13.6056923(12)\,{\hbox{eV.}}$ 這也是原子氫的電離能 $\Delta E_{1\infty }$——將電子從質子中完全移除所需的能量。 玻爾的預測值與測量值非常吻合。

使用上述原子能量的兩個表示式並求解$r,$，我們得到$r=n^{2}\hbar ^{2}/m_{e}e^{2}.$ 對於基態$(n=1)$，這是氫原子的玻爾半徑，等於$\hbar ^{2}/m_{e}e^{2}=5.291772108(18)\times 10^{-11}m.$ 成熟的理論得出了相同的數字，但將其解釋為如果測量電子與質子的距離，則最有可能找到電子的質子距離。