提爾·歐倫施皮格爾的趣味系列

本華夏公益教科書探討了巴爾末系振動頻率比與理查德·施特勞斯(* 1864; † 1949)的交響詩提爾·歐倫施皮格爾的滑稽惡作劇的開場主題的音調頻率比之間的驚人相似性。

毫無疑問，不僅需要卓越的音樂才能才能實現這種作曲上的轉移，理查德·施特勞斯還擁有必要的天賦和創造力，才能從基本的物理材料中創作出如此高水平的作品。它是基於先前在德語華夏公益教科書中發表的適當文章，並透過www.DeepL.com/Translator（免費版本）廣泛翻譯。

簡介

提爾·歐倫施皮格爾據說是一位遊歷的狡猾無賴，生活在14世紀，他裝傻充愣，對他的同胞們玩了許多惡作劇。

巴爾末系，以瑞士數學家和物理學家約翰·雅各布·巴爾末(* 1825; † 1898)命名，描述了氫原子光譜中的一系列譜線，這些譜線可以用特定的電磁輻射頻率或波長來描述，其中五條譜線位於可見光範圍內。這些譜線最初是在陽光中發現的，因為氫元素是恆星的主要成分，而且由於陽光的亮度很高，因此可以很好地研究陽光。後來，氫譜線也在明亮恆星的光線下被探測到，例如夜空中最亮的恆星——大犬座α星（天狼星），位於大犬座。

在作曲的時候，作曲家理查德·施特勞斯和數學家兼作曲家漢斯·索默（* 1837; † 1922，實際上是名叫索默的漢斯·辛肯）在魏瑪成為朋友，他對光學非常瞭解。^[1] 因此，理查德·施特勞斯很可能透過他這位像父親一樣的朋友漢斯·索默瞭解了當時最新的物理發現，以及巴爾末光學系。他利用這些資訊，也許是以一種頑皮的方式，將五條可見光譜線的頻率轉換為音調頻率，從而獲得了其交響詩提爾·歐倫施皮格爾的滑稽惡作劇開場主題中的五個音符c - f - g - gis - a。

巴爾末系

透過新增能量可以激發氣體中的原子或分子。在這個過程中，原子殼層中的電子被激發到更高的離散能級。透過自發發射，電子最終會隨機落回到較低的能級，在這個過程中釋放的能量以光子的形式發射出來，光子的振盪頻率 $\nu$ 可以透過光速 $c$ 來表達，其固定值為 299792458 米/秒

\nu ={\frac {c}{\lambda }}

這裡 $\lambda$ 是原子發射的光粒子的波長，每個波長對應於特定的飽和顏色。白光具有連續光譜，包含幾乎所有可見波長。

.

如果原子被光激發，與能級匹配的波長的光子在這個過程中會被破壞（吸收），在相應的吸收光譜中可以在相關波長處看到一條暗線。如果氣體被激發形成等離子體，光子只會以與能級匹配的波長產生（發射），這些光子可以在發射光譜中看到明亮的線條。

這些線條在光學光譜儀螢幕上的位置取決於所用玻璃稜鏡的折射角或所用衍射光柵的特性，這些特性取決於所檢查光的波長。因此，所實現的折射角由所用光學裝置中的幾何佈置決定。

使用光學稜鏡獲得氫發射光譜：左側具有被激發發光的氫的光源透過一個會聚透鏡成像到狹縫中。狹縫透過一個準直透鏡成像到無窮遠，這些光束穿過一個三角形稜鏡。該稜鏡根據波長將入射光分成不同的方向（色散）；紅色光比紫色光偏轉更弱。使用另一個透鏡，將狹縫成像到螢幕上（右下角），在那裡可以看到譜線。

這些波長也可以從恆星（最重要的是我們的太陽）的光的吸收光譜中得知，因為它們在很大程度上是由氫組成，並且具有很高的能量轉換率。英國醫生、物理學家和化學家威廉·海德·沃拉斯頓（* 1766; † 1828）是第一個在 1802 年描述太陽光譜中的這些暗線的人。德國光學儀器製造商和物理學家約瑟夫·夫朗和費（* 1787; † 1826）也在 1814 年獨立地描述了這些暗線，並對其進行了系統性研究。

當激發態電子在氫原子中從較高能級 $E_{m}$ 躍遷到第二低能級 $E_{2}$ 時，就會產生巴爾末系的波長 $\lambda _{m,2}$ 。這個系列的光譜線以瑞士數學家和物理學家 **約翰·雅各布·巴爾末**（* 1825； † 1898）的名字命名，他能夠透過他憑經驗發現的廣義 **巴爾末公式** 對波長 $\lambda _{m,n}$ 提出數學規律，並發表在 **1884 年** 的《巴塞爾自然科學學會會刊》上：^[2]

\lambda _{m,n}=A\left({\frac {m^{2}}{m^{2}-n^{2}}}\right)

其中

m>n

且

n\geq 1

這裡 $A=\lambda _{\infty ,n}\approx 364.506820{\text{ nanometres}}$ 是紫外線中的一個常數波長。巴爾末稱之為氫的 **基本數**，其值分別為 3645.6 埃和 364.56 奈米，由於當時的測量精度略高。

然而，當時的科學家還不知道能級的存在，因此對這種現象的缺乏解釋感到震驚。約翰·雅各布·巴爾末在他的出版物中寫道：

特別引人入勝的是前四條氫譜線的波長之間的數值關係。這些波長之間的關係可以用很小的數字非常精確地表達出來。

計算出的波長和觀測到的波長之間的差異非常小，以至於這種一致性令人驚訝。

從這些比較可以看出，[...] 這個公式也適用於第五條[...]氫譜線。

巴爾末繫系數 $k_{m,2}$ ，它是從 $n=2$ 的括號表示式中得到的，也被約翰·雅各布·巴爾末給出。

k_{m,2}={\frac {m^{2}}{m^{2}-4}}

這些係數 $k_{m,2}$ 和相應的波長 $\lambda _{m,2}$ ，加上對巴爾末系前五條譜線的附加定義 $r_{3}:=1$ ，其中 $3\leq m\leq 7$

m	$k_{m,2}$ 的有理值	$k_{m,2}$ 的十進位制值	比例 $r_{m}=r_{m-1}\cdot {\frac {k_{m-1,2}}{k_{m,2}}}$	倒數的十進位制值 ${\frac {1}{r_{m}}}$	波長 $\lambda _{m,2}=A\cdot k_{m,2}=A{\frac {k_{3,2}}{r_{m}}}$ 以奈米為單位
3	${\frac {9}{5}}$	$1.8$	$1$	$1$	656.112
4	${\frac {16}{12}}={\frac {4}{3}}$	$1.{\overline {3}}$	${\frac {27}{20}}$	$0.{\overline {740}}$	486.009
5	${\frac {25}{21}}$	$1.{\overline {190476}}$	${\frac {189}{125}}$	$0.{\overline {661375}}$	433.937
6	${\frac {36}{32}}={\frac {9}{8}}$	$1.125$	${\frac {8}{5}}$	$0.625$	410.070
7	${\frac {49}{45}}$	$1.0{\overline {8}}$	${\frac {81}{49}}$	$0.{\overline {604938271}}$	396.907

巴爾末系五個最長波長可見光譜線的強度 $H_{\alpha }$ , $H_{\beta }$ , $H_{\gamma }$ , $H_{\delta }$ 和 $H_{\epsilon }$ ，關於光波長 $\lambda$ ..

在他的出版物中，巴爾末除其他外，還給出了由 **安德斯·喬納斯·埃格斯特朗** (* 1814; † 1874) 在他 1862 年關於太陽光譜的工作中透過實驗確定的可見氫線的波長:^[3]

m	波長 $\lambda _{m,2}$ 以奈米為單位	命名	命名遵循夫琅和費	顏色名稱	氫譜線的頻率 $\nu _{m,2}$ 以赫茲為單位
3	656.2	$H_{\alpha }$	C 線	紅色	$4.569\cdot 10^{14}$
4	486.1	$H_{\beta }$	F 線	藍綠色	$6.168\cdot 10^{14}$
5	434.0	$H_{\gamma }$	靠近 G	藍色	$6.909\cdot 10^{14}$
6	410.1	$H_{\delta }$	h 線	紫色	$7.311\cdot 10^{14}$
7	396.8	$H_{\epsilon }$	靠近 $H_{I}$	紫色	$7.553\cdot 10^{14}$

或者，也可以用裡德伯常數 $R_{\infty }={\frac {4}{A}}\approx 1.09737316\cdot 10^{7}\,\mathrm {m^{-1}}$ 計算頻率 $\nu _{m,n}$

\nu _{m,n}=c\cdot R_{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)

其中

m>n

且

n\geq 1

頻率 $\nu _{A,2}$ ，在巴爾末系中 $n=2$ ，當氫的基態為 $m\rightarrow \infty$ 時，可以計算如下

\nu _{A,2}=\nu _{\infty ,2}=c\cdot R_{\infty }{\frac {1}{4}}\approx 8.224605\cdot 10^{14}\,{\text{Hertz}}

組成

提爾·艾烏倫斯比格爾的快樂惡作劇

2001 年，美國海軍樂隊演奏了《提爾·艾烏倫斯比格爾的快樂惡作劇》。

《提爾·艾烏倫斯比格爾的快樂惡作劇》是在德國作曲家理查德·施特勞斯（* 1864 年；† 1949 年）發現巴爾末系九年後創作的。它是為大型管絃樂隊創作的音調詩，演奏時長 15 分鐘，寫於 **1893 年至 1894 年之間**，當時理查德·施特勞斯在希臘和埃及度過了幾個月，從肺炎的後期影響中恢復過來，他的歌劇《貢特拉姆》也已完成。

最初，理查德·施特勞斯似乎計劃讓這首作品直接從著名的、令人印象深刻的六段提爾·艾烏倫斯比格爾主題開始。只有在修改過程中，理查德·施特勞斯才在作品開頭加上了五小節的前奏。在創作過程中，提爾·艾烏倫斯比格爾主題只在結尾再次出現。

前奏最終由作曲家用“曾經有一個滑稽的傻瓜...”和“悠閒地”這兩個詞命名，緊隨其後的提爾·艾烏倫斯比格爾主題用“名叫提爾·艾烏倫斯比格爾”和“逐漸變得更加活潑”這兩個詞命名。 ^[4]。

作品的開頭用 F 大調記譜，提爾·艾烏倫斯比格爾主題的五個音符為 c - f - g - gis - a。它們被重複了兩次。

交響詩《提爾·艾烏倫斯比格爾的快樂惡作劇》的編號為 28，它於 1895 年 11 月 5 日在科隆首演，由德國作曲家弗朗茨·武爾納（* 1832 年；† 1902 年）指揮。

查拉圖斯特拉如是說

在此背景下，值得注意的是理查德·施特勞斯創作的帶有作品編號 30 的交響詩 **查拉圖斯特拉如是說**，其在不久後創作完成，同樣也包含著十分明顯的物理數字關係的參考，並使用了包含五個音符的開場主題。

序曲 **日出** 中所使用的開場主題同樣也源自物理數字序列，即 **自然音列**，其中第一個、第二個、第三個、第四個和第五個音符，其頻率比為 1:1、2:1、3:2、4:3 和 5:4，與基音之間存在著至關重要的關係。

施特勞斯再次使用 C 音作為基本音符，在高音 C 和低音 C 上以八度音程持續演奏，最初由低音提琴、管風琴踏板和低音大管演奏四個小節，隨後四支 **C 號小號** 加入，並以其獨特的升序主題演奏。對於他的小號主題，理查德·施特勞斯使用了自然音階中的接下來的四個音符：c'、g'、c 和 e，最終聽到的是一個由幾乎整個樂團演奏的明亮的 C 大調和絃，隨後第三音發生變化，立即變為 C 小調。在定音鼓短暫的三連音間奏之後，演奏了兩個四度 G 和 C，小號主題再次出現，並以 C 小調和 C 大調的倒置和絃序列演奏。就像在交響詩 **蒂爾·厄倫斯皮格爾的快樂惡作劇** 中一樣，該主題第三次出現，然後進一步發展，這次所形成的 C 大調和絃可以被解讀為緊隨其後的 F 大調的屬和絃。四個小節之後，序曲以所有樂器演奏的強奏 C 大調結束。

在管絃樂曲的後續部分，理查德·施特勞斯還在 **病癒者** 部分中使用了與天文相關的數字 12，引入了 **十二音列**。^[5]

**十二音動機** 位於交響詩 **查拉圖斯特拉如是說** 中 “Der Genesende” 部分的開頭，由大提琴、低音提琴和長號演奏。前三個音符 e - h - e' 對應於序曲中出現的第一個小號主題的三個自然音，首先向上一個五度，然後向上一個四度。從 e' 音符到最後一個音符 c' 的十二個音符都在一個八度音程內，並代表一個十二音列，因為它們都有不同的音高：e' - es' - b - ges - g - h - d' - cis' - gis - f - a - c'。e 升，從倒數第二個小節延伸到最後一個小節，是緊隨其後的 f 音的同音異名。
交響詩 **查拉圖斯特拉如是說** 中 “Der Genesende” 部分開頭的 **十二音動機**。

在名為 **夜遊者** 歌曲的作品的最後一部分，他使用了十二聲的午夜鐘聲。數字 12 不僅與夜晚被劃分為 12 個 **夜間** 時辰密切相關，還與夜間可見的黃道十二宮有關，這 12 個 **夜間** 星宮由 7 顆 **變化** 的恆星穿過，木星從地球上看一年繞這些星宮執行一次。

這首交響詩於 1896 年 11 月底由理查德·施特勞斯在法蘭克福首演。

只有少數其他物理數字序列適合用於音樂主題的音高。此外，值得注意的是，理查德·施特勞斯既不是十二音音樂的先驅者，也不是其支持者，因此他仍然使用十二音音樂的事實可以被視為象徵性的，並且毫無疑問也帶有幾分調皮的意味。

三首根據奧托·尤利烏斯·比爾鮑姆詩歌創作的歌曲

巧合的是，作品 **三首根據奧托·尤利烏斯·比爾鮑姆詩歌創作的歌曲** 中的三首詩歌 **黃昏夢**、 **跳動的心** 和 **夜行**，創作於 1895 年，作品編號為 29，創作於這兩首交響詩之間，同樣也與太陽、月亮、星星等天體以及人們在自然中對它們的觀察有關。

第一首： **黃昏夢** (F 升大調 / B 大調 / F 升大調，非常安靜，2/4 拍)
- ... 在暮色中，太陽消失，星辰閃耀，
- ... 在柔和的藍色光線中。
- ... 在柔和的藍色光線中。
第二首： **跳動的心** (G 大調，活潑歡快，快板活潑，2/4 拍)
- ... 你金色的太陽在天堂！ (以輝煌的 C 大調)
第三首： **夜歌** (c 小調，適度緩慢，3/4 拍)
- 月亮散發出銀色的光...
- ... 純淨如同太陽的愛。

關係

音程

巴爾末系中人眼可見的前五個氫譜線的光頻率 ( $3\leq m\leq 7$ ) ( $n=2$ ) 與交響詩 **蒂爾·厄倫斯皮格爾的快樂惡作劇** 中第一個主題的五個音符的頻率比基本一致，該主題之後立即重複了兩次。

音符名稱	音符頻率 $f_{m}$ 以赫茲為單位	頻率比與下一個音符相比	m	氫譜線頻率 $\nu _{m,2}$ 以赫茲為單位	頻率比與下一條譜線相比	波長 $\lambda _{m,2}$ 以奈米為單位
c	261.6	1.335	3	$4.569\cdot 10^{14}$	1.350	656.1
f	349.2	1.122	4	$6.168\cdot 10^{14}$	1.120	486.0
g	392.0	1.059	5	$6.909\cdot 10^{14}$	1.058	433.9
gis	415.3	1.059	6	$7.311\cdot 10^{14}$	1.033	410.1
a	440.0		7	$7.553\cdot 10^{14}$		396.9

因此，第二列中給出的音符頻率是指以 440 赫茲為標準音高的 A 音。最後一列中給出的波長几乎與巴爾末在 1884 年發表的可見光範圍內氫譜線的五個波長完全一致（見上文）。

如果光頻率 $\nu _{m,2}$ 乘以平均轉換系數 $u_{440}=5.713\cdot 10^{-13}$ ，則對應的聲音訊率 $f_{m}=u_{440}\cdot \nu _{m,2}$ 以及理查德·施特勞斯升序主題的音樂音程。

調音音高

需要說明的是，這個換算因子可以任意選擇，但必須固定下來。在合奏音樂中，樂器的調音一直以來都需要進行調整，以確保所有樂器都能一起發出和諧的聲音。為此，人們還使用調音音或一個**標準音高**，其音高是固定的。法國學者**約瑟夫·索弗爾**（* 1653 年；† 1716 年）以及後來的德國物理學家和天文學家**恩斯特·克拉德尼**（* 1756 年；† 1827 年）提議使用一秒鐘作為**物理調音**的基本時間單位，用於確定 C 音。這意味著 C 音是一個一秒鐘的單位。也就是說，C0 的頻率正好是 1 赫茲，而這個基音向上所有八度音的頻率始終是前一音的兩倍。這將導致以下序列：

音符名稱	因子	音調頻率 $f$ 單位為赫茲
C0	$2^{0}$	1
C1	$2^{1}$	2
C2	$2^{2}$	4
C3	$2^{3}$	8
C4	$2^{4}$	16
C5	$2^{5}$	32
C6	$2^{6}$	64
C7	$2^{7}$	128
C8	$2^{8}$	256
C9	$2^{9}$	512

如果要為電磁波頻率到聲波頻率的轉換尋找一個參考音高，對於物理學家來說，很顯然會以這個物理調音的 C 音為基準。

從音樂的角度來看，這個序列中的前五個音調只具有理論意義，實際上人類無法感知它們的聲音。A 音比它下方直接的 C 音高一個大六度（或九個半音），或者比它上方直接的 C 音低一個小三度（或三個半音）。如果將這個序列中 C8 和 C9 之間最後一個八度音的 A 音作為標準音高，它在等音律（十二個連續的半音間隔都具有相同的頻率比率 ${2}^{\frac {1}{12}}\approx 1.059463$ ）的情況下，它具有以下頻率：

f_{A}=f_{C8}\cdot {2}^{\frac {9}{12}}=f_{C9}\cdot {2}^{-{\frac {3}{12}}}\approx 430.539{\text{ Hertz}}\approx 431{\text{ Hertz}}

當標準音高 A 音的頻率為 430.539 赫茲時，提爾·歐倫斯比格主題的五個音符的音高如下：

音符名稱	音調頻率 $f_{m}$ 單位為赫茲	m
c	256.000	3
f	341.719	4
g	383.567	5
gis	406.375	6
a	430.539	7

這導致了一個稍小的平均因子 $u_{431}=5.591\cdot 10^{-13}$ ，作為理查德·施特勞斯升序主題的光頻和聲頻之間的比例常數 $f_{m}=u_{431}\cdot \nu _{m,2}$ 。

例如，這些音調在 19 世紀早期的 1829 年 **巴黎調音** 中使用。然而，隨著時間的推移，出於實際原因，參考音高越來越高——絃樂器在弦被拉得更緊時聲音更飽滿、更響亮，儘管它們的自然頻率更高。理查德·施特勞斯意識到了其中涉及的問題，並在去世前幾年對音樂會音高的提高發表瞭如下評論：^[6]。

我們管絃樂隊的音調越來越高，讓人難以忍受。一個可憐的女歌手是不可能把我在最高音區寫的 A 大調花腔唱成 H 大調的，這真是驢子才能做到的事。

讓我們回到 **巴黎 A** 吧，以免我們可憐的歌手們把他們為數不多的幾根嗓子都喊啞了！

巧合還是不巧合

問題是，這些物理和音樂事實是巧合，還是說它們不能是巧合。由於明顯沒有可靠的證據證明是巧合，因此這個問題無法回答。

至少，必須指出，這將是一個極其非凡的巧合。僅從 12 個音符中選出 4 個音符，就有 ${12}^{4}=20736$ 種可能性來讓這四個音符在任何初始音符之後緊隨其後。因此，從這個音符庫中隨機選擇這五個音符中恰好包含這五個音符的機率略小於 0.00005。其他主題的音符少於或多於五個，音域更廣，或者起始音符不同，這進一步顯著地增加了可能性，並相應地降低了巧合發生的機率。

在巴爾末系被發現並被專業圈子討論僅僅幾年後，該主題包含的五個音符 c - f - g - gis - a，與許多其他實際創作的主題不同，它甚至不是五聲音階，而是包含了半音，這個主題僅僅是偶然和巧合創作出來的機率更小。

最後，必須考慮到，這個主題用 F 大調記譜，以 C 音符開始，該音符在 18 世紀和 19 世紀通常用當時定義的秒的時間單位來純物理地確定其音高。

在規模龐大的《國際音樂資料彙編》(RISM) 中，在一百萬份以上的音樂文獻中，沒有其他例子以僅包含這五個音符的主題開頭。在 1893 年之前，只有兩個其他例子以 C 大調創作

卡爾·切爾尼 (* 1791; † 1857)：C 大調鋼琴練習（6/8 拍），作品 599，編號 38^[7]
匿名：C 大調蘭德勒舞曲（3/4 拍）^[8]

根據這些考慮，這個主題在此時完全由偶然創造出來的機率當然不為零，但相當低。

量子物理學背景

當光譜線被發現，甚至在1884年約翰·雅各布·巴爾默憑經驗發現了數學規律並用巴爾默公式描述它們時，這種離散光譜線出現的物理和理論原因仍然完全未知。直到20世紀上半葉，量子力學才使人們能夠非常精確地描述原子的結構以及帶電物質粒子（例如電子）與光粒子（光子）之間的相互作用。

電磁光場與其他粒子的反應方式是，具有能量 $E=h\cdot \nu$ 的量子要麼被捕獲，要麼被髮射。常數 $h$ 是普朗克作用量子，而 $\nu$ 是電磁波的頻率。

光的粒子性是在1899年到1905年期間，由德國研究人員馬克斯·普朗克（* 1858；† 1947）從熱輻射定律得出，並由他的年輕同事阿爾伯特·愛因斯坦（* 1879；† 1955）在關於光的產生和轉化的一個啟發性觀點的出版物中從光電效應（或光電效應）中得到強化。1918年，馬克斯·普朗克因發現能量量子獲得諾貝爾物理學獎；1921年，阿爾伯特·愛因斯坦因發現光電效應定律獲得諾貝爾物理學獎。從那時起，波粒二象性的流行詞就貫穿了關於如何理解微觀事物物理學的艱難討論。是的，即使是音樂的聲波也有微小的顆粒：聲子，其能量根據普朗克-愛因斯坦公式與頻率成正比。

即使是具有靜止質量的粒子，例如電子，也可以理解為物質波。物質波這個術語，以法國物理學家路易·德布羅意（* 1892；† 1987）命名，建立了波長 $\lambda$ 和頻率 $\nu$ 之間的關係，適用於具有能量 $E$ 和動量 $p$ 的物質波。

\lambda ={\frac {h}{p}}

\nu ={\frac {E}{h}}

他因發現電子的波動性於1929年獲得諾貝爾物理學獎。

當馬克斯·普朗克引入作用量子時，他並不知道該常數的普遍意義。它明確而根本地將空間和時間的尺度與質量、能量和動量的尺度聯絡起來。在現代國際單位制中，力學只知道一個任意量，即秒。米和千克是透過光速 $c$ （自1983年起）和普朗克常數 $h$ （自2019年起）的確定固定值從秒推導而來。後者被1967年的一項法令釘死在銫原子量子躍遷的9 192 631 770個週期上。

氫原子

給出的公式涉及自由飛行的粒子的物質波。稍後，一位傑出的理論家構建了更一般的波動方程，這些方程具有吸引或排斥粒子的力。為這種新的波動力學的主要例子讓路！

氫原子中的電子和質子之間的鍵，當存在滿足1926年奧地利物理學家埃爾溫·薛定諤（* 1887；† 1961）提出的著名薛定諤方程的空間集中駐波時，才以相對穩定的，即靜止的形式出現。與弦和管風琴管等大型機械物體一樣，它們各種振動或駐波形式的可能頻率與小整數密切相關。自畢達哥拉斯以來，我們就知道音調的諧波音程不過是在其比率為兩個整數的頻率。它們很容易作為振動物體的固有頻率出現。

氫原子的自然頻率遵循 $n=1,2,3,...$ 的公式 $\nu _{n}={\frac {\nu _{1}}{n^{2}}}$ ，其中 $\nu _{1}$ 是出現頻率最高的頻率。原子的結合能相對於遊離的電子和質子對以負值衡量。結果是 $E_{n}=-h\cdot \nu _{n}$ 。再次，普朗克常數 $h$ 參與進來。主量子數為 1 的最低能量 $E_{1}=-13.6{\text{ eV}}$ （eV 代表能量單位電子伏特）屬於沒有節點的球形駐波。激發能量 $E_{n}$ 具有對稱的空間結構，具有節點面，將波形劃分為多個“瓣”或“波腹”。圖片右側展示了主量子數 n 從 1 到 4 的示例。您可以看到恆定幅度區域和恆定相位顏色。

量子力學解釋了氫原子如何發光。它從狀態 $E_{m}$ 躍遷到較低狀態 $E_{n}$ ，其中 $m>n$ 。能量 $\Delta E=E_{m}-E_{n}$ 因此轉移到一個光子，其頻率位於光譜序列中，可以使用以下里德伯公式確定

\Delta E=h\cdot \nu _{m,n}=|E_{1}|\left({\frac {1}{n^{2}}}-{\frac {1}{m^{2}}}\right)

物理學方法之一是微擾計算，根據該計算，即使是經典的電振盪也會導致氫原子的受激量子躍遷，並且頻率與實驗確定的光譜完全一致。但要解釋光量子自發發射，需要對光場進行徹底的粒子化處理：量子場論。用它的計算方法，可以正確地得出原子的激發態並不完全穩定。光子可以從真空中出現並與電子的適當狀態耦合。

我們應該感謝奧地利物理學家沃爾夫岡·泡利（* 1900；† 1958）對氫光譜做出的深刻解釋，他與丹麥物理學家尼爾斯·玻爾（* 1885；† 1962）、德國物理學家維爾納·海森堡（* 1901；† 1976）、上述的埃爾溫·薛定諤等人為量子力學的科學革命做出了重要貢獻。尼爾斯·玻爾因其對原子結構和輻射的研究而於 1922 年獲得諾貝爾物理學獎。維爾納·海森堡因創立量子力學而於 1932 年獲得諾貝爾物理學獎，其應用導致了氫的同素異形體的發現，等等。

1926 年，沃爾夫岡·泡利透過一組自包含的對稱運算元成功地對氫模型進行了代數表述。^[9] 他能夠完全不使用麻煩的薛定諤微分方程就能推匯出光譜。電子和質子之間庫侖吸引力的特殊形式允許高度對稱性。

自那時起，對稱群在物理學中扮演著越來越重要的角色。這些群通常與一系列完整的量子數聯絡在一起，在自然界中得到體現。對稱和和諧顯然密切相關。德國理論物理學家**阿諾德·索末菲**（* 1868 年；† 1951 年）於 1919 年 9 月在慕尼黑在其著作《原子結構與光譜線》的前言中寫道：

自從光譜分析被發現以來，任何有見識的人都不會懷疑，如果人們學會了理解光譜的語言，那麼原子問題就會得到解決。然而，60 年的光譜學實踐積累了海量的材料，其多樣性在最初似乎是無法解開的。幾乎是七年的 X 射線光譜學，透過從根本上把握原子問題並照亮原子的內部，為澄清問題做出了更大的貢獻。**我們今天從光譜語言中聽到的是原子真正的天球音樂，是整數比例的和諧共鳴，是在所有多樣性中不斷增長的秩序和和諧。**光譜線理論將永遠銘記**玻爾**的名字。但另一個名字也將與它永遠聯絡在一起，那就是**普朗克**的名字。所有關於光譜線和原子物理學的整數定律最終都源於量子理論。它是自然界演奏**光譜音樂**的神秘**工具**，按照其**節奏**來調控原子和核的結構。

音樂理論背景

聽覺感知

人耳是一個非凡的測量儀器，對聲波的振幅和頻率具有*對數*敏感性。這意味著對我們來說，當振幅乘以相同的因子時，響度會以相同的增量增加 - 而不是當新增相同的數量時。同樣，當頻率以相同的因子增加時，音高對我們來說也會以相同的步長增加。因子 2 被特別清楚地感知，即作為一個八度。在八度的間隔內，旋律聽起來如此相似，以至於音符被賦予相同的名稱，並輔以短橫線或數字，如果你想指示八度的位置。

許多人熟悉我們用來描述振幅比率的對數度量。因子 10 被定義為 20 分貝。定義。振幅因子 $q$ 可以透過十進位制對數 $\operatorname {lg}$ 或 $\log _{10}$ 或任何底的對數 $\log$ 轉換為**分貝 (dB) 單位**的等級 $Q$

Q\,{\text{in dB}}=20\,{\text{dB}}\cdot \log _{10}\;q=20\,{\text{dB}}\cdot {\frac {\log \;q}{\log \;10}}

相同的原理適用於頻率或感知音高。因子 2 被定義為 1200 釐。在平均律中，每個十二個半音 - 或每個小二度 - 按照音樂理論的定義大小為 100 釐。十二個大小相同的半音直接位於彼此之上構成一個八度，因此八度的大小為 1200 釐。給定頻率比 $q$ 下的音高差 $c$ 可以用以下公式透過任何底的對數 $\log$ 或二元對數 $\operatorname {ld}$ 或 $\log _{2}$ 分別計算**釐 (C) 單位**的音高差

c\,{\text{in Cent}}=1200\,{\text{C}}\cdot \log _{2}\;{q}=1200\,{\text{C}}\cdot {\frac {\log \;{q}}{\log \;{2}}}

音程

兩個以整數振動比率相互關聯的音調被感知為和諧的。在基音和八度音程的情況下，這一點尤其明顯，其中頻率比率分別為 1:1 和 1:2。這兩個整數越大，感知到的和諧度和因此的諧波感知的效果越小。對於訓練有素的耳朵來說，這種效果在純五度音程（頻率比率 2:3）和純四度音程（頻率比率 3:4）中仍然可以很好地聽到。沒有固定音高的樂器，如絃樂或長號，以及聲樂合奏，也可以純淨地演奏大三度和小三度（頻率比率 4:5 和 5:6）或小六度和大六度（頻率比率 5:8 和 3:5）。特別是在大三和絃和小三和絃的情況下，它們是由三個音符組成，相隔一個大三度、小三度或五度，使用純音程會產生特別和諧的聲音。

下表顯示了純音調中從基音到八度音程的音樂音程的頻率比率，以及與畢達哥拉斯音調中的四度、五度和八度音程的關係。

音程	頻率比平均律	頻率比畢達哥拉斯音調（十進位制值）	頻率比在平均律中（十進位制值）	畢達哥拉斯音調與平均律之間的偏差平均律以音分計
基音	1:1	1.0000	1.0000	0
小二度	15:16	0.9375	0.9439	12
大二度	8:9	0.8889	0.8909	4
小三度	5:6	0.8333	0.8409	16
大三度	4:5	0.8000	0.7937	-14
四度	3:4	0.7500	0.7492	-2
三全音	25:36	0.6944	0.7071	31
五度	2:3	0.6667	0.6674	2
小六度	5:8	0.6250	0.6300	14
大六度	3:5	0.6000	0.5946	-16
小七度	9:16	0.5625	0.5612	-4
大七度	8:15	0.5333	0.5297	-12
八度	1:2	0.5000	0.5000	0

因此，三全音是四度音程和五度音程之間的音程。您可以在沒有聽到這個雙音的情況下，從 25:36 的大數值比率中讀出：一個不和諧的聲音。在平均律中，這兩個音調具有以下無理頻率比率（也不是一個悅耳的聲音）

2^{-{\frac {6}{12}}}=2^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}

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最後一列中以音分為單位的正偏差意味著純音調的音高高於平均律的音調，負偏差意味著純音調的音高低於平均律的音調。

值得注意的是，在上表中給出的全部整數比率中，在只有一位數字的數字中，只有 7 沒有出現，這突出了它在一些中世紀作者看來是一個特殊的數字。

下表比較了相應的音樂純音程與巴爾末系中的頻率比率。

音程	頻率比在畢達哥拉斯音調中	頻率比在巴爾末系中	巴爾末系和畢達哥拉斯音調中頻率比率的比率	畢達哥拉斯音調與巴爾末系和平均律以百分比計	畢達哥拉斯音調與巴爾末系和平均律以音分計
基音	1:1	1:1	1:1	0	0
四度	3:4	20:27	80:81	-1.6	-20
五度	2:3	125:189	375:378	-1.3	-16
小六度	5:8	5:8	1:1	0	0
大六度	3:5	49:81	245:243	0.8	14

巴爾末系音調在單絃琴上的位置。上方是氫原子的五條譜線及其巴爾末公式係數的光譜。下方是單絃琴，具有五條相應的弦長，所有弦具有相同的張力和厚度，透過縮短弦長，波長更短，因此頻率更高。常數 $A$ 來自巴爾末公式，代表 $m=\infty$ 的波長。

最後，一個表比較了巴爾末系中相應的音樂音程與平均律中的頻率比率。

音程	頻率比巴爾末系	頻率比在平均律中	畢達哥拉斯音調與巴爾末系和平均律以百分比計	畢達哥拉斯音調與巴爾末系和平均律以音分計
基音	1:1	1.0000	0.0	0
四度	20:27	0.7492	-1.1	20
五度	125:189	0.6674	0.9	16
小六度	5:8	0.6300	0.8	14
大六度	49:81	0.5946	-1.7	-30

巴爾末系音符在吉他指板上的位置。上方是氫原子的五條譜線，具有相應的波長比率的光譜。下方是吉他的指板，具有平均律中半音音階的品格。提爾·歐倫斯比格的主題可以在所有六根弦上以不同的音高演奏。

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漢斯·索默

作曲家兼自然科學家漢斯·索默可能是透過光學物理巴爾末系的聲學音樂變體將這些事實傳達給了理查德·施特勞斯。不難理解他非常瞭解光學和物理學方面的發現。

漢斯·索默，被稱作漢斯·索默的 **奧托·古斯塔夫·津肯** (* 1809 年；† 1940 年) 的兒子，實際上叫做 **漢斯·弗里德里希·奧古斯特·津肯**。奧托·古斯塔夫·津肯的父親是布倫瑞克公國法院醫師 **尤利烏斯·利奧波德·西奧多·弗里德里希·津肯** (* 1770 年；† 1856 年)，他又是司法官 **卡爾·弗里德里希·威廉·津肯** (* 1729 年；† 1806 年) 和他的妻子 **索菲·施萊格** 的兒子。這段婚姻已經離婚，雙方都再婚了。索菲·施萊格於 1782 年嫁給了 **約翰·克里斯托夫·索默** (* 1741 年；† 1802 年)，他是布倫瑞克解剖外科研究所的法院顧問和解剖學教授，他的姓氏從此被她的津肯家族後代使用。

漢斯·索默的父親在他兩歲半時去世。他的寡母 **南尼·朗根海姆** (* 1813 年；† 1902 年) 於 1845 年嫁給了企業家、光學家和攝影先驅 **彼得·威廉·弗里德里希·馮·福格特蘭德** (* 1812 年；† 1878 年)。他的父親是光學家 **約翰·弗里德里希·福格特蘭德** (* 1779 年；† 1859 年)，他自 1808 年起經營著 **J. F. 福格特蘭德，光學和精密機械儀器工作室** 公司，並且是光學家兼發明家 **約翰·克里斯托夫·福格特蘭德** (* 1732 年；† 1797 年) 的後代。

漢斯和安東妮·索默育有兩個兒子，奧托和理查德。

漢斯·索默受過數學家訓練，他還在哥廷根師從物理學家 **威廉·愛德華·韋伯** (* 1804 年；† 1891 年)。早在 1866 年，他就成為布倫瑞克理工學院 **卡羅琳學院** 的數學教授。12 年後，他被任命為校長，他參與了該學院遷入 **公爵卡羅爾·威廉·技術學院**，現在是布倫瑞克工業大學。他一直在布倫瑞克進行研究，直到 1884 年，特別是在應用光學領域。

作為應用光學領域的先驅之一，他還幫助他的繼父彼得·威廉·弗里德里希·馮·福格特蘭德，他與他的父親約翰·弗里德里希·福格特蘭德一起，從 1849 年起作為企業家在布倫瑞克經營著 **福格特蘭德父子** 光學工作室。^[10]。

1858 年，漢斯·索默在哥廷根發表了他的就職論文，以獲得哲學博士學位，論文題目為 **《關於折射率的測定》**。在這篇論文中，他還詳細討論了稜鏡的折射，藉助稜鏡，可以將白光按光譜分解，以便識別和測量譜線，例如。^[11]。

1870 年，漢斯·索默在布倫瑞克出版了一本名為 **《關於透鏡系統的屈光學》** 的書籍，其中他也討論了折射效應。^[12]

漢斯·索默和理查德·施特勞斯於 1903 年共同創辦了 **音樂表演權機構** (AFMA)，被認為是後來 **音樂表演和機械複製權協會** (GEMA) 的第一個前身組織。

2019 年，理查德·施特勞斯和漢斯·索默之間的信件以書籍的形式出版。^[13]

結語

如果沒有19世紀的眾多研究成果和重大發現，量子理論的發展將非常困難。如果沒有對量子力學的更深入理解，可能就不會有半導體，而半導體今天幾乎存在於每個家庭。明確地談到光發射，應該注意到，透過對半導體中許多不同離散能級的瞭解，今天可以生產出發出單色光的發光二極體，它們在從紅外到紫外的寬光譜範圍內幾乎可以發出任何波長的光。如今，發光二極體作為節能光源被應用於照明技術以及幾乎所有螢幕中。

到目前為止，還沒有關於這裡提出的跨學科假設的任何書面資料，該假設認為光學物理巴爾末系的整數比可能激發了向聲學音樂主題的轉變。然而，這個故事是由一代代物理學家口頭流傳下來的。本文作者在20世紀80年代中期，在柏林工業大學格爾德·科普爾曼教授（* 1929年9月5日；† 1992年9月21日）的課程中聽到了這個故事。本文作者感謝他的博士生導師海因茨·尼德里希教授對他的同事格爾德·科普爾曼的精彩而翔實的訃告。^[14]

Einzelnachweise

↑ 另見：漢斯·索默致理查德·施特勞斯的信件，魏瑪，1893年4月14日，收錄於克里斯蒂安·科斯特（編輯）：與漢斯·索默、赫爾曼·巴爾和維利·萊文的信件，施特勞斯音樂出版社，2020年，ISBN 9783795718060
↑ 約翰·雅各布·巴爾末：關於氫光譜線的一則筆記，發表於：巴塞爾自然科學協會的論文集，第7卷，第548至560頁，H. 格奧爾格出版社，1884年
↑ 安德斯·喬納斯·埃格斯特朗：論太陽光譜中的夫琅和費線，物理學年鑑，第193卷，第10期，1862年，第290至302頁
↑ 提爾·烏連斯皮格爾的滑稽把戲，作品第28號，經典探險
↑ 例如，在“康復者”部分開頭，首先是大提琴、低音提琴和大號以marcato的指示演奏，然後是圓號和中提琴，最後是雙簧管和第二小提琴。
↑ 來自：理查德·施特勞斯 1942年10月7日從瑞士蘇黎世附近的巴登維雷納霍夫-奧克斯酒店寄出的信件
↑ 切爾尼，卡爾<1791-1857>，C大調練習曲，國際音樂資料索引（RISM）
↑ 匿名，C大調蘭德勒，國際音樂資料索引（RISM）
↑ 沃爾夫岡·泡利：從新的量子力學角度看氫光譜，物理學雜誌，第36卷，第5期，1926年3月27日，第336至665頁，尤利烏斯·斯普林格，柏林
↑ 伯恩哈德·布勞內克和雷因馬爾·瓦格納：漢斯·津克-索默（1837-1922）/物理學家和作曲家，音樂與戲劇雜誌，2012年9月，瑞士物理學會
↑ 漢斯·索默：關於折射率的確定，谷歌圖書
↑ 漢斯·索默：關於透鏡系統的屈光學研究，谷歌圖書
↑ 克里斯蒂安·科斯特：理查德·施特勞斯與漢斯·索默、赫爾曼·巴爾和維利·萊文的書信往來，第23至178頁，施特勞斯出版社，美因茨，2019年
↑ 海因茨·尼德里希：紀念格爾德·科普爾曼，物理學通訊，第48卷，1992年，第12期

專案摘要

目標受眾：音樂家和自然科學家
學習目標：光和聲音訊率的數字比率。
圖書贊助/聯絡人：User:Bautsch
目前是否需要合著者？是的，非常需要。可以直接在文字中更正明顯的錯誤；內容請透過討論進行。
合著者指南：類似維基百科。

[1] 另見：漢斯·索默致理查德·施特勞斯的信件，魏瑪，1893年4月14日，收錄於克里斯蒂安·科斯特（編輯）：與漢斯·索默、赫爾曼·巴爾和維利·萊文的信件，施特勞斯音樂出版社，2020年，ISBN 9783795718060

[2] 約翰·雅各布·巴爾末：關於氫光譜線的一則筆記，發表於：巴塞爾自然科學協會的論文集，第7卷，第548至560頁，H. 格奧爾格出版社，1884年

[3] 安德斯·喬納斯·埃格斯特朗：論太陽光譜中的夫琅和費線，物理學年鑑，第193卷，第10期，1862年，第290至302頁

[4] 提爾·烏連斯皮格爾的滑稽把戲，作品第28號，經典探險

[5] 例如，在“康復者”部分開頭，首先是大提琴、低音提琴和大號以marcato的指示演奏，然後是圓號和中提琴，最後是雙簧管和第二小提琴。

[6] 來自：理查德·施特勞斯 1942年10月7日從瑞士蘇黎世附近的巴登維雷納霍夫-奧克斯酒店寄出的信件

[7] 切爾尼，卡爾<1791-1857>，C大調練習曲，國際音樂資料索引（RISM）

[8] 匿名，C大調蘭德勒，國際音樂資料索引（RISM）

[9] 沃爾夫岡·泡利：從新的量子力學角度看氫光譜，物理學雜誌，第36卷，第5期，1926年3月27日，第336至665頁，尤利烏斯·斯普林格，柏林

[10] 伯恩哈德·布勞內克和雷因馬爾·瓦格納：漢斯·津克-索默（1837-1922）/物理學家和作曲家，音樂與戲劇雜誌，2012年9月，瑞士物理學會

[11] 漢斯·索默：關於折射率的確定，谷歌圖書

[12] 漢斯·索默：關於透鏡系統的屈光學研究，谷歌圖書

[13] 克里斯蒂安·科斯特：理查德·施特勞斯與漢斯·索默、赫爾曼·巴爾和維利·萊文的書信往來，第23至178頁，施特勞斯出版社，美因茨，2019年

[14] 海因茨·尼德里希：紀念格爾德·科普爾曼，物理學通訊，第48卷，1992年，第12期

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簡介