數學永恆定理/多項式因式定理

多項式因式定理是一個將多項式的因式和零點聯絡起來的定理。^[1]它是多項式餘數定理的應用。它指出，一個多項式$f(x)$有一個因式$(x-a)$當且僅當$f(a)=0$。這裡，$a$也稱為多項式的根。^[2]

證明

陳述

如果$P(x)$是一個正次的多項式，並且如果$P(a)=0$，那麼$(x-a)$是$P(x)$的因式。

證明

根據多項式餘數定理，$P(x)$除以$(x-a)$的餘數等於$P(a)$。由於$P(a)=0$，所以多項式$P(a)$可以被$(x-a)$整除

∴ $(x-a)$是$P(x)$的因式。[證明完畢]

因式定理的逆定理

命題： 如果 $(x-a)$ 是多項式 $P(x),$ 的一個因式，則 $P(a)=0$

因式分解

示例 1

問題： 將多項式 $P(x)=18x^{3}+15x^{2}-x-2$ 分解成因式。

解： 這裡，$P(x)$ 的常數項是 $-2$，$-2$ 的因式集合為 $F$₁$=${±1, ±2}

這裡，$P(x)$ 的首項係數是 $18$，$18$ 的因式集合為 $F$₂$=${±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}

現在考慮 $P(a)$，其中 $a={\frac {r}{s}},r\in F$₁$,s\in F$₂

當：

$a=1,P(1)=18+15-1-2\neq 0$

$a=-1,P(-1)=-18+15+1-2\neq 0$

$a=-{\frac {1}{2}},P(-{\frac {1}{2}})=18(-{\frac {1}{8}})+15(-{\frac {1}{4}})+{\frac {1}{2}}-2=0$

因此，$(x+{\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}(2x+1)$ 是 $P(x)$ 的一個因式。

現在，$P(x)=18x^{3}+15x^{2}-x-2$ $=18x^{3}+9x^{2}+6x^{2}+3x-4x-2$ $=9x^{2}(2x+1)+3x(2x+1)-2(2x+1)$ $=(2x+1)(9x^{2}+3x-2)$ $=(2x+1)(9x^{2}+6x-3x-2)$ $=(2x+1)(3x(3x+2)-1(3x+2))$ $=(2x+1)(3x+2)(3x-1)$

∴$P(x)=(2x+1)(3x+2)(3x-1)$

例 2

問題 : 將多項式 $P(x)=-3x^{2}-2xy+8y^{2}+11x-8y-6$ 分解成因式。

解： 僅考慮 $x$ 和常數項，我們得到 $-3x^{2}+11x-6$.

$-3x^{2}+11x-6\equiv (-3x+2)(x-3)..(i)$

同理，只考慮$y$ 和常數項，我們得到 $8y^{2}-8y-6$.

$8y^{2}-8y-6\equiv (4y+2)(2y-3)..(ii)$

結合以上 (i) 和 (ii) 的因式，可以找到給定多項式的因式。但常數項 $+2,-3$ 必須在兩個等式中保持一致，就像 $x$ 和 $y$ 的係數一樣。

∴$P(x)=(-3x+4y+2)(x+2y-3)$