抽象代數/域論主題

基本定義

令 $L/k$ 為一個域擴張; 即, $k$ 是域 $L$ 的一個子域. 那麼 $L$ 具有一個 k-代數結構; 特別地, 一個向量空間結構. 一個 超越元素 是一個非整元素; 換句話說, $x$ 關於 $k$ 是 超越的 當且僅當 $k[x]$ 是 (同構於) 單個變數的多項式環. 這種情況可以更抽象地描述如下. 給定一個元素 x 在一個擴張 $L/k$ 中, 以及一個不定元 $t$ , 我們有如下精確序列

0\to {\mathfrak {p}}\to k[t]\to k[x]\to 0

透過令 $x\mapsto t$ 以及 ${\mathfrak {p}}$ 為該對映的核。因此， $x$ 在 $k$ 上是超越的當且僅當 ${\mathfrak {p}}=0$ 。由於 $k[t]$ 是一個 PID，當不為零時， ${\mathfrak {p}}$ 由一個非零多項式生成，稱為 $x$ 的最小多項式，它必須是不可約的，因為 $k[x]$ 是一個整環，因此 ${\mathfrak {p}}$ 是素的。（注意，如果我們用 $k[t,s]$ 代替 $k[t]$ ，則它不再是 PID；因此核不再是主理想。因此，一般來說，如果一個子集 $S\subset L$ 滿足 $k[S]$ 是一個多項式環，其中 $S$ 的元素是變數，則稱 $S$ 是代數無關的；按照慣例，空集是代數無關的，正如它是線性無關的一樣。）最後，按照慣例，我們將積分域擴張稱為代數擴張。

當 $L$ 在 $k$ 上的維數是有限的，則該擴張稱為*有限擴張*。每個有限擴張都是代數的。事實上，如果 $x\in L$ 在 $k$ 上是超越的，那麼 $k[x]$ 是一個*多項式環*，因此是 $L$ 的無限維子空間，並且*L* 也必須是無限維的。

練習。

如果一個複數在

\mathbf {Q}

上是整的，則稱為代數數。所有代數數的集合是可數的。

如果一個域不存在非平凡的代數域擴張，則稱為*代數閉域*。（一個域始終是其自身的代數擴張，這是一個平凡的擴張。）更具體地說，如果一個多項式在該域上的所有根都在該域中，則該域是代數閉域。從選擇公理（實際上等價於選擇公理）可以得出，每個域都是某個代數閉域的子域。

可分擴張

如果一個域擴張 $L/k$ 作為*k*-代數是可分的，則稱該擴張是可分的；即，對於所有域擴張 $E/k$ ， $L\otimes _{k}F$ 是約化的。下面的定理確保這等價於經典定義。

定理。

如果一個域

L

在

k

上是可分的代數的，當且僅當每個不可約多項式都具有不同的根（即，

f

及其導數

f'

沒有公共根。）

在本節的剩餘部分， $p$ 表示域的特徵指數；（即，如果 $\operatorname {char} (k)=0$ 則 $p=1$ ，否則 $p=\operatorname {char} (k)$ 。）如果注入

x\mapsto x^{p}:k\to k

實際上是滿射（因此是自同構），則該域稱為 *完美域*。例如：特徵為零的域和有限域是完美的。因此，不完美的域相當罕見；它們出現在代數幾何中，這是一個在後面的章節中討論的主題。我們讓 $k_{p}$ 是 $k$ 與 $p^{e}$ 次根的並集（對於所有正整數 $e$ ）在 $k$ 中。 $k_{p}$ 然後被稱為 *完美閉包*，因為沒有嚴格小於 $k_{p}$ 的子域是完美的。

命題。

k

代數

A

是可分的當且僅當

A\otimes _{k}k_{p}

是約化的。

命題。

以下條件等價。

(i) 一個域是完美的。
(ii) 每個有限擴張都是可分的。
(iii) 每個擴張都是可分的。

證明。 假設 (ii) 為假；那麼必須有 $p>1$ 並且。最後，如果 (iii) 為假，那麼存在一個擴張 $L/k$ 使得 $L\otimes _{k}k_{p}$ 不是約化的。由於 $k_{p}$ 在 $k$ 上是代數的，它有一個有限擴張 $F$ 使得 $L\otimes _{k}F$ 不是約化的。這個 $F$ 使 (ii) 為假。 $\square$

特別是，完美域的任何擴張都是完美的。

可分擴張

令 $L/K$ 為域擴張， $p$ 為 $K$ 的特徵指數（即， $p=1$ 如果 $K$ 的特徵為零；否則， $p=\operatorname {char} k$ 。） $L$ 稱為在 $K$ 上是 *可分的*，如果 $L\otimes _{K}K^{p^{-1}}$ 是一個整環。一個極大的可分擴張 $k$ 稱為 *可分閉包*，記為 $k_{s}$ 。

如果一個域的可分閉包是代數封閉的，則稱該域是 *完備的*。如果一個域等於它的可分閉包，則稱該域是 *純不可分的*。（讀者會注意到，到目前為止的術語相當混亂；但這已經成為歷史。）

引理。

一個代數擴張是可分的當且僅當任何元素的極小多項式沒有重根。

證明。我們可以假設這個擴張是有限的。 $\square$

命題。

一個域是完備的當且僅當（i）它的特徵為零或（ii）

x\mapsto x^{p}

是

K

的一個自同構。

證明。 首先假設 $p=0$ 。令 $f$ 為一個不可約多項式。如果 $f$ 和 $f'$ 有一個共同的根，那麼，由於 $f$ 是不可約的， $f$ 必須整除 $f'$ ，因此 $f'=0$ ，因為 $\deg f'<\deg f$ 。另一方面，如果 $f(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n}t^{n}$ ，那麼

f'(t)=a_{1}+2a_{2}t+...+na_{n}t^{n-1}\neq 0

.

因此，特徵為 p 的域是完備的。 $\square$

推論。

有限域是完備的。

命題。

令

L/K

為一個有限擴張。那麼

L

關於

K

是可分的，當且僅當

L

關於

F

是可分的，並且

F

關於

K

是可分的。

命題。

每個有限域擴張都可以分解為一個可分擴張和一個純不可分擴張。更準確地說，

練習。

(克拉克 p. 33) 令

k

為特徵為 2 的域，

F=k(x,y)

，

u\in F

為

t^{2}+t+x

的根，

S=F(u)

且

K=S({\sqrt {uy}})

。則 (i)

K/S

是純不可分的，且

S/F

是可分的。(ii) K/F 沒有非平凡的純不可分子擴域。

定理 (本原元)。

令

L=K[x_{1},...,x_{n}]

是一個有限擴張，其中

x_{2},...,x_{n}

（但不一定是

x_{1}

）在

K

上是可分的。則

L=K[z]

對於某個

z\in L

成立。

證明。只需證明 $n=2$ 的情況（TODO: 為什麼？）。令 $\mu _{i}$ 是 $x_{i}$ 的極小多項式。 $\square$

定理。

令

L/K

是一個有限生成的域擴張。則以下等價。

$L$ 在 $K$ 上是可分的。
$L$ 在 $K$ 上有一個分離超越基。
$L\otimes _{K}K^{p^{-r}}$ 是一個整環。

超越擴張

定理 (未定義：Lüroth) (Lüroth)。

任何

F(X)

的子域

E

，它包含

F

但不等於

F

，是

F

的純粹超越擴張。

令 $L\supset K$ 是一個度數為 $n<\infty$ 的域擴張。一個元素 $x\in L$ 定義一個 $K$ -線性對映

x_{L}:L\to L,y\mapsto xy

.

我們定義

$\operatorname {Tr} _{L/K}(x)=\operatorname {Tr} (x_{L}).$
$\operatorname {Nm} _{L/K}(x)=\operatorname {det} (x_{L}).$

命題。

令

L\supset K\supset F

是有限域擴張。那麼

(i) $\operatorname {Tr} _{L/F}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{K/F}.$
(ii) $\operatorname {Nm} _{L/F}=\operatorname {Nm} _{L/K}\circ \operatorname {Nm} _{K/F}.$

定理 A.8 (希爾伯特 90).

如果

L/K

是一個有限的伽羅瓦擴張，則

\operatorname {H} ^{1}(\operatorname {Gal} (L/K),L^{\times })=0

.

推論。

令

L/K

是一個迴圈擴張，且

\sigma

生成

\operatorname {Gal} (L/K)

。如果

a\in L

使得

\operatorname {Nm} _{L/K}(a)=1

，則

a={\sigma (b) \over b}

對於某個

b

成立。

A. 定理 一個域擴張 $L/K$ 是代數的當且僅當它是其有限子擴張的直接極限。

一個域擴張 $K/F$ 被稱為伽羅瓦擴張，如果

K^{\operatorname {Aut} (K/F)}=F.

這裡，我們使用的不變性符號是

K^{G}=\{x\in K|\sigma (x)=x,\forall \sigma \in G\}

(特別地，當 $K/F$ 是一個有限擴張時， $K/F$ 是一個伽羅瓦擴張當且僅當 $|\operatorname {Aut} (K/F)|=[K:F]$ .) 當 $K/F$ 是伽羅瓦時，我們設 $\operatorname {Gal} (K/F)=\operatorname {Aut} (K/F)$ ，並稱 $\operatorname {Gal} (K/F)$ 為 $K/F$ 的伽羅瓦群。

A. 定理 一個域擴張 $K/F$ 是伽羅瓦擴張當且僅當它是正規的且可分的。

整閉域

如果一個整環 $A$ 等於它在分式域中的整閉包，則稱該整環為整閉域。

命題。

GCD 域和賦值域是整閉域。

證明。假設 $r/s$ 關於 $A$ 是整的；即，

(r/s)^{n}+a_{n-1}(r/s)^{n-1}+...+a_{1}(r/s)+a_{0}=0

.

我們可以假設 $(r,s)=1$ 。由此得到

r^{n}=-a_{n-1}rs+...+a_{1}rs^{n-1}+a_{0}s^{n}

.

因此 $s|r^{n}$ 。由於根據引理 A.8， $(r^{n},s)=1$ ，我們有 $s$ 是 $A$ 中的單位元，因此 $r/s\in A$ 。賦值域的情況非常相似。 $\square$

命題。

"整閉" 是一個區域性性質。

命題。

設

A

是一個整環。以下等價。

投影 $A$ -模的每個有限生成子模都是投影的。
$A$ 的每個有限生成非零理想都是可逆的。
對於每個素理想 ${\mathfrak {p}}\triangleleft A$ ， $A_{\mathfrak {p}}$ 是賦值域。
$A$ 的每個超環都是 $A$ 的區域性化的交集。
$A$ 的每個超環都是整閉的。

滿足命題中任何/所有等價條件的整環稱為Prüfer 環。Noether Prüfer 環稱為Dedekind 環。

命題 A.10。

設

A

為一個整閉整環，且

L

為

A_{(0)}

的一個有限擴張。則

x\in L

關於

A

是整的當且僅當它在

K[X]

中的極小多項式屬於

A[X]

。

一個 *戴德金整環* 是一個它的真理想可以分解成素理想乘積的整環。

A. 定理 任何既是戴德金整環又是唯一分解整環的環都是主理想整環。
證明：設 ${\mathfrak {p}}$ 為一個素理想。我們可以假設 ${\mathfrak {p}}$ 是非零的；因此，它包含一個非零元素 $x$ 。我們可以假設 $x$ 是不可約的；因此，根據唯一分解性，它是素的。如果 ${\mathfrak {p}}$ 是素理想，那麼我們有 $(x)={\mathfrak {p}}$ 。因此，每個素理想都是主理想。 $\square$

定理設 A 為一個整環。則 A 是戴德金整環當且僅當：

(i) A 是整閉的。
(ii) A 是諾特環，且
(iii) 每個素理想都是極大理想。

A. 定理 設 A 為一個戴德金整環，其分數域為 K。設 L 為 K 的一個有限度數域擴張，並用 S 表示 R 在 L 中的整閉包。則 S 本身也是一個戴德金整環。

A 引理 設 $A$ 為一個整環。則 $A$ 是戴德金整環當且僅當 $A$ 的每個區域性化都是離散賦值環。

引理 設 $A$ 為一個諾特環。則每個理想包含一個非零素理想的乘積。
Proof: Let $S$ be the set of all ideals that do not contain a product of nonzero prime ideals. If the lemma is false, $S$ is nonempty. Since $A$ is noetherian, $S$ has a maximal element ${\mathfrak {i}}$ . Note that ${\mathfrak {i}}$ is not prime; thus, there are $a,b$ such that $ab\in {\mathfrak {i}}$ but $a\not \in {\mathfrak {a}}$ and $b\not \in {\mathfrak {i}}$ . Now, $({\mathfrak {i}}+(a))({\mathfrak {i}}+(b))\subset {\mathfrak {i}}$ . Since both ${\mathfrak {i}}+(a)$ and ${\mathfrak {i}}+(b)$ are strictly larger than ${\mathfrak {i}}$ , which is maximal in $S$ , ${\mathfrak {i}}+(a)$ and ${\mathfrak {i}}+(b)$ are both not in $S$ and both contain products of prime ideals. Hence, ${\mathfrak {i}}$ contains a product of prime ideals. $\square$