拓撲模/桶形空間

命題（從桶形 LCTVS 到 Hausdorff TVS 的連續線性函式的逐點極限是連續且線性的）:

令 $X$ 是在域 $\mathbb {K}$ 上的桶形 LCTVS，令 $Y$ 是在同一域上的區域性閉 Hausdorff TVS，並假設給定一個線性連續函式的網 $T_{\lambda }:X\to Y$ ($\lambda \in \Lambda$)。進一步假設 $T:X\to Y$ 是一個函式，使得

$\lim _{\lambda \in \Lambda }T_{\lambda }(x)=T(x)$.

那麼 $T$ 本身就是一個線性連續泛函。

證明：首先注意 $T$ 是線性的，因為無論何時 $\alpha \in \mathbb {K}$ 且 $v,w\in X$，我們有

$T(v+\alpha w)=\lim _{\lambda \in \Lambda }(T_{\lambda }(v)+\alpha T_{n}(w))=T(v)+\alpha T(w)$

由於 $Y$ 是一個 Hausdorff 空間，其中極限是明確定義的，並且由加法的連續性得出。然後注意到 $T$ 是連續的，因為對於所有 $v\in X$，集合 $\{T_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ 是有界的，因此 Banach—Steinhaus 定理 適用，並且族 $\{T_{\lambda }|\lambda \in \Lambda \}$ 是一致有界的。因此，假設 $V\subseteq Y$ 是原點的閉鄰域。透過一致有界性，選擇 $U\subseteq X$ 作為原點的開鄰域，使得

$\forall \lambda \in \Lambda :T_{n}(U)\subseteq V$.

我們得出結論，$T(U)\subseteq V$，因為 閉集包含它們的所有網極限。我們得出結論，因為 $Y$ 是區域性閉的，因此 $V$ 代表一個通用的鄰域。$\Box$