一般拓撲/網

定義（網）:

令 $X$ 為一個拓撲空間，令 $(\Lambda ,\leq )$ 為一個有向集。網 是一個族 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$.

定義（網收斂）:

令 $X$ 為一個拓撲空間，令 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 為一個網（當然，$\Lambda ,\leq )$ 是一個有向集），令 $x\in X$。序列 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 被稱為收斂 到 $x$ 當且僅當對於每個鄰域 $M\in N(x)$ 存在 $\eta =\eta (M)\in \Lambda$ 使得對於所有 $\lambda \geq \eta$ 我們有 $x_{\lambda }\in M$。為此我們寫 $\lim _{\lambda \in \Lambda }x_{\lambda }=x$.

就像濾子一樣，網是序列的模擬，它們被用來將原本只對“良好”空間成立的定理推廣到一般拓撲空間的設定中。缺點是，就像濾子一樣，涉及網的定理通常使用選擇公理。使用網還是濾子取決於個人喜好，以及選擇在給定情況下使用最少選擇公理的工具。

命題（閉包等價於包含所有網極限）:

設 $X$ 為一個拓撲空間。則集合 $A\subseteq X$ 是閉集當且僅當對於所有網 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 使得 $\forall \lambda \in \Lambda :x_{\lambda }\in A$ 且收斂到一點 $x\in X$，我們有 $x\in A$。

(在選擇公理的條件下。)

Proof: Suppose first that $A$ is closed, and that $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ is a convergent net in $A$ to a limit $x$. Suppose $x\notin A$. Then for all $M\subseteq N(x)$, we find $\eta \in \Lambda$ so that at least $x_{\eta }\in M$, which implies that $M\cap A\neq \emptyset$, and $x\in \partial A$ since $x\in M$, $x\notin A$. Since a set is closed if and only if it contains its boundary, we conclude that $x\in A$, a contradiction. Suppose then that $A$ contains the limit of all its convergent nets. Then let $x\in \partial A$, and note that $N(x)$ is a directed set, ordered by inclusion. For each $M\in N(x)$, choose $x_{M}\in A\cap M$ by definition of $\partial A$, and observe that $(x_{M})_{M\in N(X)}$ forms a net convergent to $x$. Thus, $x\in A$, and since $x$ was arbitrary, $\partial A\subseteq A$ and $A$ is closed. $\Box$

命題（用網收斂刻畫連續性）:

設 $X,Y$ 為拓撲空間， $f:X\to Y$ 為函式。則 $f$ 是連續的當且僅當對於所有在 $X$ 中收斂到某一點 $x_{\infty }\in X$ 的網 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$，網 $(f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$ 收斂到 $f(x_{\infty })$。

(在選擇公理的條件下。)

證明： 首先假設 $f:X\to Y$ 是連續的，並假設 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 收斂於 $x_{\infty }\in X$。然後令 $V$ 為 $f(x_{\infty })$ 的任何開鄰域，並設 $U:=f^{-1}(V)$，由於 $f$ 的連續性，它是開的。然後選取 $\mu \in \Lambda$ 使得對於所有 $\lambda \geq \mu$ 我們有 $x_{\lambda }\in U$；對於這樣的 $\lambda$ 我們將有 $f(x_{\lambda })\in V$，根據原像的定義。

假設現在$f:X\to Y$ 具有這樣的性質：如果$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 網收斂於$x_{\infty }$，那麼$(f(x_{\lambda }))_{\lambda \in \Lambda }$ 網收斂於$f(x_{\infty })$。然後假設$A\subseteq Y$ 是閉集。如果我們證明$f^{-1}(A)$ 是閉集，我們就證明了該定理。 我們只需要 證明$f^{-1}(A)$ 包含其所有網的極限。所以假設$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 是$f^{-1}(A)$ 中的一個網，它收斂於某個$x_{\infty }\in X$。那麼$f(x_{\infty })\in A$，因此$x_{\infty }\in f^{-1}(A)$，所以$f^{-1}(A)$ 確實是閉集。 $\Box$

定義（子網）:

令 $X$ 為一個拓撲空間，$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 為其中的一個網。$(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 的一個 **子網** 是一個網 $(y_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }$ ，以及一個 最終的 順序同態 $f:\Sigma \to \Lambda$ 使得 $\forall \sigma \in \Sigma :x_{f(\sigma )}=x_{\sigma }$.

命題（緊緻性等價於存在收斂子網）:

令 $X$ 為一個拓撲空間，令 $A\subseteq X$ 為一個子集。 $A$ 是緊緻的當且僅當對於 $A$ 中的所有網 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$，都存在 $x\in A$ 和 $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ 的一個子網 $(y_{\sigma })_{\sigma \in \Sigma }$ 使得 $\lim _{\sigma \in \Sigma }y_{\sigma }=x$.

(在選擇公理的條件下。)

Proof: Suppose first that $A$ is compact, and let $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ be a net in $A$. Suppose that $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ does not have a convergent subnet. Then for each $x\in A$, we find an open neighbourhood $U_{x}$ of $x$ and a $\lambda _{x}$ such that for all $\lambda \geq \lambda _{x}$, we have $x_{\lambda }\notin U_{x}$; for otherwise, if $x$ is a point so that for all open neighbourhoods $U_{x}$ and $\lambda \in \Lambda$ there exists $\mu \in \Lambda$ so that $x_{\mu }\in U_{x}$, then we note that the set of all $U_{x}$ (that is, the sets of all open neighbourhoods of $x$) forms a directed set when ordered inversely by inclusion (which shall henceforth be denoted by $\Gamma$). Note that we may take the product order on $\Lambda \times \Gamma$, and then we may define an order morphism $f:\Lambda \times \Gamma \to \Lambda$ by sending $(\lambda ,\gamma )\mapsto \lambda$. Consider the subset $S\subseteq \Lambda \times \Gamma$ so that $x_{\lambda }\in \gamma$. We define a subnet of $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ as thus: Define $(y_{(\lambda ,\gamma )})_{(\lambda ,\gamma )\in S}$ by $y_{(\lambda ,\gamma )}:=x_{\lambda }$, and the order morphism induced by $f$, which is final since for any $\lambda _{0}$, we find $\lambda \geq \lambda _{0}$ so that $x_{\lambda }\in \gamma _{0}$, when $(\lambda _{0},\gamma _{0})\in T$ is arbitrary. Now $(y_{(\lambda ,\gamma )})_{(\lambda ,\gamma )\in S}$ converges to $x$, a contradiction. But then we apply compactness to the $U_{x}$, so that we gain points $x_{1},\ldots ,x_{n}$ so that $U_{x_{1}}\cup \cdots \cup U_{x_{n}}$ covers $A$. Then we choose an upper bound $\lambda _{0}$ of $\lambda _{x_{1}},\ldots ,\lambda _{x_{n}}$ by successively choosing an upper bound of $\lambda _{1},\lambda _{2}$, then an upper bound of that upper bound and $\lambda _{3}$ and so on. Then for $\lambda \geq \lambda _{0}$, $x_{\lambda }$ is not contained in any of the $U_{x_{j}}$, so that in particular $x_{\lambda _{0}}\notin A$, a contradiction. Conversely, if every net contains a convergent subnet, let $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ be an open cover of $X$. Suppose that it doesn't admit any finite subcover, and consider the set of all finite subfamilies of $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ ordered by inclusion, which is a directed set. Then define a net indexed over that set by choosing, for each finite index set $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$, the element $x_{U_{\alpha _{1}},\ldots ,U_{\alpha _{n}}}\in X\setminus (U_{\alpha _{1}}\cup \cdots \cup U_{\alpha _{n}})$. By assumption, upon defining $\Lambda$ to be the set of all finite subfamilies of $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$, we find that $(x_{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }$ has a convergent subnet $(y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$. Let $y$ be the point to which this subnet converges, and since $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$ is a cover, pick $\alpha _{0}\in A$ so that $y\in U_{\alpha _{0}}$. Note that $(U_{\alpha _{0}})$ is a finite subfamily of $(U_{\alpha })_{\alpha \in A}$, so that by finality of the order homomorphism $f:\Gamma \to A$ we find $\gamma _{1}\in \Gamma$ so that $f(\gamma )$ contains $U_{\alpha _{0}}$. On the other hand, since $(y_{\gamma })_{\gamma \in \Gamma }$ converges to $y$, we find $\gamma _{2}\in \Gamma$ so that for $\gamma \geq \gamma _{2}$ we have $x_{\gamma }\in U_{\alpha _{0}}$. Finally, since $\Gamma$ is directed, let $\gamma _{3}$ be an upper bound for $\gamma _{1}$ and $\gamma _{2}$, then $f(\gamma _{3})$ contains $U_{\alpha _{0}}$, but then $y_{\gamma _{3}}=x_{f(\gamma _{3})}$ is not contained in $U_{\alpha _{0}}$, a contradiction. $\Box$

定義（序列）:

令 $X$ 為一個拓撲空間。一個 **序列** 是一個以自然數的定向集為指標的網。

為了表示序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 收斂到點 $x$，我們將使用有用的記號 $x_{n}\to x$.

定義（序閉）:

令 $X$ 為一個拓撲空間。子集 $A\subseteq X$ 被稱為 **序列閉** 當且僅當對於所有序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 在 $A$ 中收斂於 $X$，其極限都包含在 $A$ 中。

命題（可數可列空間中用序列刻畫閉集）:

令 $X$ 為一個可數可列拓撲空間。則子集 $A\subseteq X$ 是閉集當且僅當它是序列閉的。

（關於可數選擇公理的條件）

證明： 首先假設 $A$ 是閉集。那麼， $A$ 中任何收斂序列的極限都一定包含在 $A$ 中，因為序列是一種網，而且 網的極限對應命題在沒有選擇公理的情況下也是成立的。現在假設 $A$ 是序閉集。令 $x\in \partial A$； 我們要證明 $x\in A$。 為鄰域濾子 $N(x)$ 選擇一個可數基 $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$。 根據可數選擇公理，對每個 $n\in \mathbb {N}$ 選擇 $x_{n}\in U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\cap A$。 那麼序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 收斂到 $x$，因此 $x\in A$。 $\Box$

定義（序連續性）:

拓撲空間之間的函式 $f:X\to Y$ 被稱為序連續，當且僅當對於 $X$ 中的所有序列 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$，如果它們收斂於某個 $x\in X$，我們有 $f(x_{n})\to f(x)$。

命題（第一可數空間中連續性的序列判據）:

設 $X$ 為第一可數空間，$Y$ 為拓撲空間，$f:X\to Y$ 為函式。則 $f$ 連續當且僅當它在序列上連續。

（關於可數選擇公理的條件）

證明: 若 $f$ 連續，那麼當然 $f(x_{n})\to f(x)$ 只要 $x_{n}\to x$，因為 $f(x)$ 的鄰域 $V$ 會導致 $x$ 的鄰域 $f^{-1}(V)$，$x_{n}$ 將會落在其中，當 $n$ 足夠大時，然後由原像的定義 $f(x_{n})\in V$。

如果 $f$ 是逐點連續的，設 $A\subseteq Y$ 是閉集，並設 $B:=f^{-1}(A)$；我們要證明 $B$ 是閉集。設 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $A$ 中的一個序列。根據第一可數空間中序列閉包的刻畫，只需證明 $B$ 是序列閉合的。因此，設 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ 是 $B$ 中的一個序列，它收斂於某個 $x\in X$。那麼 $f(x_{n})\to f(x)$，因此 $f(x)\in A$，因此 $x\in B$。 $\Box$