傳統算盤與珠算/根式/立方根

理論

設 $x$ 為我們要求立方根的數字，例如： $x=456.7890123$。讓我們將它的數字以小數點為中心，分成三組，如下所示：

$$x=456.7890123=456.789\cdot 012\cdot 300\cdot 000$$

或者換句話說，讓我們定義整數序列 $\alpha _{i}$

$$\alpha _{1}=456,\alpha _{2}=789,\alpha _{3}=012,\alpha _{4}=300,\alpha _{5}=000\cdots$$

並從 $x_{0}=0$ 遞迴地構建序列 $x_{i}$

$$x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$$

並設 $y_{i}$ 為 $x_{i}$ 的立方根的整數部分

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt[{3}]{x}}_{i}\rfloor$$

即 $y_{i}$ 是最大的整數，其立方不超過 $x_{i}$。最後，我們稱餘數為差異

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}\geq 0$$

對於我們的示例，我們有

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	456	456	7	113
2	789	456789	77	256
3	012	456789012	770	256012
4	300	456789012300	7701	78119199
5	000	456789012300000	77014	6949021256
⋯

我們可以看到，根據構造，$x_{i}$ 隨著 $10^{3i}$ （每一步增加三位數字）而增長，實際上，序列 $x_{i}10^{3-3i}$，即 0, 400, 456, 456.789, 456.789012 等等，趨近於 $x$ ($x_{i}10^{3-3i}\to x$)。相比之下，$y_{i}$ ，作為 $x_{i}$ 的立方根的整數部分，僅隨著 $10^{i}$ （每一步增加一位數字）而增長。由於 $y_{i}$ 是平方不超過 $x_{i}$ 的最大整數，我們有 $r_{i}=xi-y_{i}^{3}\geq 0$ 如上，但是

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{3}=x_{i}-y_{i}^{3}-3y_{i}^{2}-3y_{i}-1<0$$

根據 $y_{i}$ 的定義，或

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{3}<3y_{i}^{2}+3y_{i}+1$$

乘以 $10^{3-3i}$

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}<(3y_{i}^{2}+3yi+1)\cdot 10^{3-3i}$$

但由於  $y_{i}$ 僅以 $10^{i}$ 的速度增長，第二項隨著 $10^{-i}$ 趨於零。 

$$x_{i}\cdot 10^{3-3i}-(y_{i}\cdot 10^{1-i})^{3}\to 0$$

並且 $x_{i}\cdot 10^{3-3i}\to x$，因此我們有

$$y_{i}\cdot 10^{1-i}\to y={\sqrt[{3}]{x}}$$

對於其他數字，上述因子為：$10^{3k-3i}$ 和 $10^{k-i}$，其中 $k$ 是小數點左側三位數字組的個數，如果後面跟著 000 組，則為負數（例如，$k=0$ 對於 $x=0.00456$，$k=-2$ 對於 $x=0.000000456$ 等）。

這是傳統手動開立方方法的基礎。

步驟

我們從 $i=0,x_{0}=0,y_{0}=0,r_{0}=0$ 開始。

第一位數字

$b$	$b^{3}$
1	1
2	8
3	27
4	64
5	125
6	216
7	343
8	512
9	729

對於 $i=1,x_{1}=\alpha _{1}$。很容易找到 $y_{1}$，使得它的平方不超過 $x_{1}$，可以使用以下易於記憶的立方表。在本例中，為 $y_{1}=7$

其餘數字

對於 $i>1$，我們有 $x_{i}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}$，如上所述，我們嘗試以這種方式構建 $y_{i}$

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

其中 $b$ 是一個從 0 到 9 的一位整數。要得到 $b$，我們必須從 0 到 9 中選擇最大的數字，使得

$$x_{i}-y_{i}^{3}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{3}\geq 0$$

或

$$x_{i}-(a+b)^{3}\geq 0$$

如果我們寫 $a=10y_{i-1}$。展開二項式，我們有

$$x_{i}-a^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}=1000x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{3}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}\geq 0$$

或

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

上述表示式的左側可以簡單地看作是前一個餘數，並在其後附加了下一個三位數的組。如果我們對 $b$ 的每個值計算右側項，並與左側項比較，我們有

$a=10y_{i-1}=70$

$b$	$(3a^{2}+3ab+b^{2})b$	$1000r_{i-1}+\alpha _{i}$
0	0	≤ 113789
1	14911	≤ 113789
2	30248	≤ 113789
3	46017	≤ 113789
4	62224	≤ 113789
5	78875	≤ 113789
6	95976	≤ 113789
7	113533	≤ 113789	⬅
8	131552	> 113789
9	150039	> 113789

很明顯，根的下一個數字是 7，但我們如何在一般情況下進行操作，而無需系統地探索每種可能性 ($b=0,1,\cdots ,9$)?

Knott 在這裡區分了兩種不同的方法

• 準備除數
• 準備被除數

準備除數

這對應於上面的表示式

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(3a^{2}+3ab+b^{2})b$$

這通常是使用紙筆的策略，當然也可以在算盤上實現。在上面的表示式中，如果我們將左側視為被除數，並將括號視為除數，則 $b$ 是除法的第一個數字

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2}+3ab+b^{2})$$

但由於我們還不知道 b，我們只使用除數的主要部分來近似它

$$b=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(3a^{2})=(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/(300y_{i-1}^{2})$$

這給了我們一個關於 $b$ 值的猜測，但我們需要

1. 驗證所獲得的值是否正確，或者在適當的情況下，根據需要向上或向下修正它。
2. 獲得下一個餘數以準備計算根的下一個數字。

您可以在 Tone nikki 部落格 中看到一個例子，也可以參考下面的 現代方法。

準備被除數

從

$$1000r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (3a2+3ab+b2)b=3a\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

我們透過將 $1000r_{i-1}+\alpha _{i}$（附加到先前餘數的下一個三位陣列）除以 $3a$ 來準備被除數

$$(1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a\geq \left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)b$$

像往常一樣，我們不知道 $b$，我們也無法計算出右邊的括號，但我們可以透過將括號近似為其主要部分 $a$，並將其用作試除數來獲得關於 $b$ 的線索。

$$\left(a+b+{\frac {b}{3a^{2}}}\right)\approx a$$

因此

$$b\approx (1000r_{i-1}+\alpha _{i})/3a^{2}$$

之後，我們還需要

1. 驗證所獲得的值是否正確，或者在適當的情況下，根據需要向上或向下修正它。
2. 透過計算 $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$ 來獲得下一個餘數，為獲得根的下一位數字做準備。

請注意

• 除數 3 包含在準備好的被除數中，這會導致非有限小數。
• 除以 $a$ 不僅加劇了上述問題，而且使準備好的被除數特定於當前步驟，因為 $a$ 的值隨著結果的不同數字的計算而變化。

這種情況在計算平方根時沒有發生，因此，獲得立方根的過程要複雜得多，需要一個複雜的準備-恢復被除數的迴圈，根據 Knott 的說法，可以用以下方案來表示

• a) 除以 $a$。
• b) 除以 3。
• c) 獲得 $b$ 作為上述結果除以 $a$ 的第一位數字。
• d) 減去 $b(a+b)$（相當於在 $1000r_{i-1}+\alpha _{i}-3a^{2}b-3ab^{2}-b^{3}$ 中減去 $3a^{2}b$ 和 $3ab^{2}$）。
• e) 乘以 3。
• f) 乘以 $a$。
• g) 減去 $b^{3}$。

在我們這個例子中（$x=456.7890123$），使用傳統除法和傳統除法排列方式（如 Knott 所做），先計算前兩位

456.7890123 的立方根

算盤	評論
ABCDEFG
456789	將數字輸入，使第一組與 B 對齊
-343	-7^3=343
113789	第一個餘數
7113789	在 A 中輸入 7 作為第一個根數位，並在後面新增第二組數字
7113789	a) 將 B-F 除以 7
7162554	b) 將 B-F 除以 3
7541835	c) 將 B 除以 A（一位數）
7751835	d) 從 CD 中減去 7*7=49
77 2835	e) 將 CDEF 乘以 3。將 3✕283 加到 CDEFG 中
77  854	f) 將 CDEF 乘以 7。將 7✕85 加到 CDEFG 中
77  599
-343	g) 從 CDEFG 中減去 7^3=343
77  256	新的餘數
...	目前獲得的根：7.7

注意

• ^1 a) 無需將除以 7 的計算擴充套件到當前的三位陣列之外。G 中的 4 是一個除法的餘數，意味著 4/7。
• ^2 b) 除以 3 也是如此。它一直計算到 F 列，然後將餘數（1）暫時加到 G 列。該列中的值（5）是一個奇怪的混合體，意味著 1/3 和 4/7。這並不重要，它將在步驟 e) 和 f) 中被重新吸收。

現代方法

算盤小組 的成員修改了 Knott 描述的技術，使其適應現代算盤的使用。據稱，這樣做更快，但代價是佔用空間更大，需要更多杆的算盤來儲存中間資料。結果可以直接替代被開方數的簡單性也消失了。

您還可以在日本博主 Tone Nikki（とね日記） 中找到針對平方根和立方根的現代方法的彙編（作者姓名似乎無法獲得）。

立方根示例

以下示例均使用傳統除法和傳統除法排列方式完成。被除數準備-恢復迴圈的組成部分用 a)、b) 等標記，如上所述。

157464 的立方根

算盤	評論
ABCDEFG	157464 的立方根
157464	將數字輸入，使第一組與 B 對齊
-125	從 BCD 中減去 5^3=125
32464	第一個餘數：32
5 32464	在 A 中輸入 5 作為第一個根數位，並在後面新增第二組數字
5 32464	a) 將 C-F 除以 5（G 將是除法的餘數）
5 64924	b) 將 C-F 除以 3
5216404	c) 將 B 除以 5
5416404	d) 從 CD 中減去 4x4=16
54  404	e) 將 40x3 乘以 EFG（新增到 G 中的餘數）
54  124	f) 將 12x5 乘以 EFG
54   64	g) 從 FG 中減去 4^3=64
54	餘數為 0；完成！根是 54

顯然，如果餘數為 0 且沒有更多（非空）組要新增，那麼這個數就是一個完全立方數，我們就完成了。根是 54。

830584 的立方根

算盤	評論
ABCDEFG	830584 的立方根
830584	將數字輸入，使第一組與 B 對齊
-729	從 BCD 中減去 9^3=729
101584	101：第一個餘數
9101584	在 A 中輸入 9 作為第一個根數位，並在後面新增第二組數字
9101584	a) 將 C-F 除以 9（G 將是除法的餘數）
9112871	b) 將 C-F 除以 3
9376232	c) 將 B 除以 9（A）
9416232	d) 從 CD 中減去 4x4=16
94  232	e) 將 23x3 乘以 EFG（新增到 G 中的餘數）
94   71	f) 將 07x9 乘以 EFG
94   64	g) 從 FG 中減去 4^3= 64
94	餘數為 0；完成！根是 94

根是 94。

666 的立方根

算盤	評論
ABCDEFG	666 的立方根
666	將 666 輸入 BCD
+	(單位杆)
-512	從 BCD 中減去 8^3=512
154	第一個餘數
8154	在 A 中輸入 8 作為第一個根數位
8154000	新增 000 作為新的一組
8154000	a) 將 B-F 除以 8（A）
8192500	b) 將 B-F 除以 3
8641662	c) 將 B 除以 8（A）
8781662	d) 從 CD 中減去 BxB=49
8732662	e) 將 C-F 乘以 3 並放到 C-G 中
87 9800	f) 將 C-F 乘以 8（A）並放到 C-G 中
87 7840	g) 從 EFG 中減去 B^3=343
87 7497	目前獲得的根為 8.7，餘數為 7.497

現在我們繼續使用 簡化運算。我們需要將餘數 (7497) 除以當前根的平方的三倍 ($3\cdot 87^{2}=22707$)

算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
87 7497
87 7497------	對 87 求平方
+49	7^2
+112	2*7*8
+64	8^2
87 7497  7569	乘以 3（加倍）
+14
+10
+12
+18
87 7497 22707	將 7497/22707 除，得到兩位數
...
8733	根為 8.733（與 ${\sqrt[{3}]{666}}=8.7328917$ 相比）

237176659 的立方根（三位數）

算盤	評論
ABCDEFGHIJ	237176659 的立方根
237176659	將數字輸入，使第一組與 B 對齊
-216	從 BCD 中減去 6^3=216
21176659	21：第一個餘數
21176659	在 A 中輸入 6 作為第一個根數位，並在後面新增第二組數字
6 21176659	a) 將 B-F 除以 6（A）
6 35292659	b) 將 B-F 除以 3
6117633659	c) 將 B 除以 6（A）
6157633659	d) 從 CD 中減去 BxB=1
6156633659	e) 將 C-F 乘以 3 並放到 C-G 中
6116992659	f) 將 C-F 乘以 8（A）並放到 C-G 中
6110196659	g) 從 EFG 中減去 B^3=343
6110195659	目前獲得的根為 61，餘數為 10195
----------
6110195659	新增第三組數字
6110195659	a) 將 C-H 除以 61（AB）
6116714158	b) 將 C-H 除以 3
6155713678	c) 將 C 除以 61（AB）
6190813678	d) 從 EF 中減去 CxC=81
619   3678	e) 將 D-H 乘以 3 並放到 D-I 中
619   1158	f) 將 D-H 乘以 61（AB）並放到 D-J 中
619    729	g) 從 HIJ 中減去 C^3=729
619    000	完成，無餘數！
----------	根是 619

$48^{3}-1=110591$ 的立方根，精確到八位小數

第一個三位數 110 介於 64 和 125 之間，所以 110 591 的立方根介於 40 和 50 之間。第一個根數字是 4。

第一位數字

110591 的立方根：第一個數字

算盤	評論
ABCDEFG	110591 的立方根
110591	將數字輸入，使第一組與 B 對齊
-64	從 BCD 中減去 6^3=216
46591	46：第一個餘數
46591	在 A 中輸入 4 作為第一個根數字，並附加第二個組
4 46591	第一個數字 OK！

第二個數字

110591 的立方根：第二個數字

算盤	評論
ABCDEFG
4 46591	a) 用 4 (A) 除以 B-F
4116473	b) 將 B-F 除以 3
4388234	c) 用 4 (A) 除以 B
4868234	d) 從 CD 中減去 BxB=64
48 4234	e) 將 C-F 乘以 3 並放到 C-G 中
48 1273	f) 將 C-F 乘以 4 (A) 在 C-G 中
48  511	g) 無法從 EFG 中減去 8^3=512！後退（見結尾處的說明）
48  511	-f) 用 4 (A) 除以 C-F
48 1273	-e) 用 3 除以 C-F
48 4234	-d) 在 CD 中加上 8x8=64
4868234	-c) 向下修正 B
-1
+4
47T8234	d) 從 CD 中減去 BxB=49 (T=10)
4759234	e) 將 C-F 乘以 3 並放到 C-G 中
4717773	f) 將 C-F 乘以 4 (A) 在 C-G 中
47 7111	g) 從 EFG 中減去 B^3=343
47 6768	第二個數字 OK！餘數 6768

第三個數字

110591 的立方根：第三個數字

算盤	評論
ABCDEFGHIJ
47 6768000	將 000 附加到之前的餘數
47 6768000	a) 用 47 (AB) 除以 C-H
4714400000	b) 將 C-H 除以 3
4748000000	c) 用 47 (AB) 除以 C
4795700000	d) 從 EF 中減去 C^2=81
4794890000	e) 將 D-H 乘以 3 並放到 D-I 中
4792298300	f) 將 D-H 乘以 47 (AB) 在 D-J 中
479 689490	g) 從 HIJ 中減去 C^3=729
479 688761	第三個數字 OK！餘數 688761

第四個數字

110591 的立方根：第四個數字

算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
479 688761000	將 000 附加到之前的餘數
479 688761000	a) 用 479 除以 D-J
4791437914194	b) 用 3 除以 D-J
4794793046394	c) 用 479 除以 D 1d
4799482046394	d) 從 GH 中減去 9^2=81
4799473946394	e) 將 E-J 乘以 3 在 E-K 中
4799142184194	f) 將 E-J 乘以 479 在 E-M 中
4799 68106330	g) 從 KLM 中減去 -D^3=729
4799 68105601	第四個數字 OK！餘數 68105601

現在我們使用簡化運算來完成計算。我們需要將餘數（68105601）除以當前根（4799）的平方的三倍。結果的前四位數附加到已經獲得的數字之後；例如

110591 的立方根：繼續使用簡化運算

算盤	評論
ABCDEFGHIJKLM
4799 68105601	用 4799 除以 E-M
479914191623	用 4799 除以 E-M
47992957204	用 3 除以 E-M
47999857	將此與 ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.9998553236\cdots$ 進行比較

正如我們所見，我們得到了一個具有 7 位有效數字的結果。

注意：我們發現根為 48 時，無法減去 $8^{3}=512$，或者我們得到了一個負餘數（-1）。這似乎不太好，因為它迫使我們撤銷部分工作並向下修正新的根數字，但在實踐中我們發現這是一個幸運的結果：小的餘數（-1）告訴我們 48 是一個很好的（過量的）根的近似值，開闢了一種解決問題的新方法。實際上，我們有

$$110591=48^{3}-1=48^{3}\left(1-{\frac {1}{48^{3}}}\right)$$

或

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}$$

我們可以使用

$${\sqrt[{3}]{1-a}}\approx 1-{\frac {a}{3}}$$

因此

$${\sqrt[{3}]{110591}}=48{\sqrt[{3}]{1-{\frac {1}{48^{3}}}}}\approx 48\left(1-{\frac {1}{3\cdot 48^{3}}}\right)=48-{\frac {1}{3\cdot 48^{2}}}=47.999855324$$

與 ${\sqrt[{3}]{110591}}=47.999855323638$ 進行比較。因此，我們可以用很少的努力就能達到很高的精度！

從初等算術到數值分析

算盤目前被視為傳統藝術或培養一般數值和認知技能的一種手段，在計算機時代，它不太可能被用作計算器來解決現實世界的問題。但如果真是這樣，你必須解決大量的立方根（這很不尋常），你可能想從傳統方法或基本算術轉向現代的數值分析方法，嘗試牛頓-拉夫森方法。你可以在 jccAbacus 中找到這種方法在算盤上的應用......

附錄：兩位數的立方

兩位數的立方

	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
10	1331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
20	9261	10648	12167	13824	15625	17576	19683	21952	24389
30	29791	32768	35937	39304	42875	46656	50653	54872	59319
40	68921	74088	79507	85184	91125	97336	103823	110592	117649
50	132651	140608	148877	157464	166375	175616	185193	195112	205379
60	226981	238328	250047	262144	274625	287496	300763	314432	328509
70	357911	373248	389017	405224	421875	438976	456533	474552	493039
80	531441	551368	571787	592704	614125	636056	658503	681472	704969
90	753571	778688	804357	830584	857375	884736	912673	941192	970299

這可以幫助你練習兩位數的立方根。

示例：${\sqrt[{3}]{250047}}=60+3=63$