傳統算盤與珠算/根/平方根

理論

設 $x$ 為我們要獲取平方根的數字 ${\textstyle y={\sqrt {x}}}$；讓我們考慮其十進位制展開，例如：${\textstyle x=456.7890123}$。讓我們以以下方式將它的數字分成以小數點為中心的兩組

$$x=456.7890123=4\cdot 56\cdot 78\cdot 90\cdot 12\cdot 30\cdot 00\cdot 00\cdots$$

或者換句話說，讓我們定義整數序列 $\alpha _{i}$

$$\alpha _{1}=4,\alpha _{2}=56,\alpha _{3}=78,\alpha _{4}=90,\alpha _{5}=12,\alpha _{6}=30,\alpha _{7}=00,\cdots$$

並從 ${\textstyle x_{0}=0}$ 遞迴地構建序列 ${\textstyle x_{i}}$

$$x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$$

並設 $y_{i}$ 為 $x_{i}$ 平方根的整數部分

$$y_{i}=\lfloor {\sqrt {x}}_{i}\rfloor$$

例如，$y_{i}$ 是最大的整數，其平方不超過 $x_{i}$。最後，我們將餘數稱為差值

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$$

對於我們的例子，我們有

$i$	$\alpha _{i}$	$x_{i}$	$y_{i}$	$r_{i}$
0		0	0	0
1	4	4	2	0
2	56	456	21	15
3	78	45678	213	309
4	90	4567890	2137	1121
5	12	456789012	21372	26628
⋯

我們可以看到，根據構造，$x_{i}$ 隨著 $10^{2i}$ （每一步增加兩位數字）增長，實際上序列 $x_{i}\cdot 10^{4-2i}$：（0, 400, 456, 456.78, 456.7890, 等等）趨於 $x$ ${\textstyle \left(x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x\right)}$ 或 ${\textstyle x=\left(\lim _{i\to \infty }x_{i}\cdot 10^{4-2i}\right)}$。相比之下，$y_{i}$ 作為 $x_{i}$ 平方根的整數部分，僅隨著 $10^{i}$ （每一步增加一位數字）增長。由於 $y_{i}$ 是平方不大於 $x_{i}$ 的最大整數，我們有 $r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}\geq 0$ 如上，但是

$$x_{i}-(y_{i}+1)^{2}=x_{i}-y_{i}^{2}-2y_{i}-1<0$$

根據 $y_{i}$ 的定義，或者

$$r_{i}=x_{i}-y_{i}^{2}<2y_{1}+1$$

乘以 $10^{4-2i}$

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}<(2y_{i}+1)\cdot 10^{4-2i}$$

但由於 $y_{i}$ 僅以 $10^{i}$ 的速度增長，第二項隨著 $10^{-i}$ 趨於零。因此

$$x_{i}\cdot 10^{4-2i}-(y_{i}\cdot 10^{2-i})^{2}\rightarrow 0$$

並且 $x_{i}\cdot 10^{4-2i}\rightarrow x$，因此我們有

$$y_{i}\cdot 10^{2-i}\rightarrow y={\sqrt {x}}$$

對於其他數字，上述因子為： $10^{2k-2i}$ 和 $10^{k-i}$，其中 $k$ 是小數點左側兩位陣列的個數，如果後面跟著 00 組，則為負數（例如，$k=-1$ 表示 $x=0.00456$，$k=-2$ 表示 $x=0.00000456$，等等）。

這是傳統手動開平方方法的基礎。

過程

我們從 $i=0$，$x_{0}=0$，$y_{0}=0$，$r_{0}=0$ 開始。

第一位數字

平方表

$b$	$b^{2}$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81

對於 $i=1$ 和 $x_{1}=\alpha _{1}$，很容易找到 $y_{1}$，使其平方不超過 $x_{1}$，可以使用以下平方表，該表很容易記憶，因為它只是乘法表的子集。對於這個例子，我們發現 $y_{1}=2$。

剩餘的數字

對於 $i>1$，我們有 $x_{i}=100x_{i-1}+\alpha _{i}$ 如上所定義，我們嘗試以以下方式構建 $y_{i}$

$$y_{i}=10y_{i-1}+b$$

其中 $b$ 是一個從 0 到 9 的一位整數。為了獲得 $b$，我們必須從 0 到 9 中選擇最大的數字，使得

$$x_{i}-y_{i}^{2}=x_{i}-(10y_{i-1}+b)^{2}\leq 0$$

或者

$$x_{i}-(a+b)^{2}\leq 0$$

如果我們將 $a=10y_{i-1}$。展開二項式，我們有

$$x_{i}-a^{2}-2ab-b^{2}=100x_{i-1}+\alpha _{i}-(10y_{i-1})^{2}-2ab-b^{2}\leq 0$$

或者

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq 2ab+b^{2}=(2a+b)b=(20y_{i-1}+b)b$$

上述表示式的左側可以看作是前一個餘數加上下一個兩位數的組合，最後一個項的括號可以看作是前一個根的兩倍加上數字b。在我們的例子中，對於 $i=2$，我們有56在左側，上述表示式是

$$56\geq (40+b)b$$

這個表示式僅在 $b=0$ 或 $b=1$ 時成立，所以1是我們的下一個根的數字，但是，如何在一般情況下進行，而不必系統地探索每一種可能性($b=0,1,\cdots ,9$)?

Knott區分了兩種不同的方法

• 準備除數
• 準備被除數。

準備除數

這對應於上面的表示式

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b$$

這是通常用紙筆使用的方法，當然也可以在算盤上實現。在上面的表示式中，如果我們將左側視為被除數，括號視為除數，b就是除法的第一個數字

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1}+b)$$

但由於我們還不知道b，我們只使用除數的主要部分來近似它

$$b=(100r_{i-1}+\alpha _{i})/(20y_{i-1})$$

這給了我們一個關於b值可能是什麼的猜測，但我們需要

1. 驗證這樣得到的值是否正確，或者在適當的情況下，根據需要向上或向下修正它。
2. 獲得下一個餘數，以準備計算根的下一個數字。

這兩個步驟都需要從$(20y_{i-1}+b)b$ 或 $20y_{i-1}b$ 和 $b^{2}$ 中減去$100r_{i-1}+\alpha _{i}$；檢查我們是否不會得到負值，以及剩餘部分是否小於$2y_{i}+1$（否則我們必須修正$b$ 上調或下調）。如果我們正確地執行了這個操作，我們剩下的是新的餘數$r_{i}$。需要注意的是，隨著我們進行計算（$i$ 增加），$b$ 對除數$(20y_{i-1}+b)$ 的貢獻越來越小；因此，上面指出的過程將越來越像一個簡單的除法。

這是高島隆在第二本書《珠算進階 - 理論與實踐》 中提出的方法，您可以在Totton Heffelfinger 的網站 http://totton.idirect.com/abacus/ 上的《Kojima 解平方根》 中看到其描述，我建議讀者參考這些資料以瞭解解釋和示例。以下是我們的示例中計算可能開始的方式的簡要說明：$x=456.7890123$

納皮爾的骨頭 排列以幫助計算示例中的第三位根

${\sqrt {456.7890123}}$ 的前三位數字，準備除數

算盤	註釋
ABCDEFGHIJKLM
4567890123	從 CD（第一組）開始輸入被開方數
2	第一位根在 B 中
-4	從第一組中減去 B 的平方
2  567890123	餘數為零
4  567890123	將 B 乘以 2。將下一組（56）追加到餘數
41 567890123	5/4≈1，嘗試 1 作為下一位根
-4	繼續除以 41，從 EF 中減去 1✕41
-1
41 157890123	餘數為 15
42 157890123	將第二位根乘以 2
42 157890123	追加下一組（78）
423157890123	157/42≈3，嘗試 3 作為下一位根
-12	繼續除以 423，從 E-H 中減去 3✕423
-06
-09
423 30990123	餘數為 309
426 30990123	將第三位根乘以 2
426 30990123	追加下一組（90）
等等。

可以看到，根的兩倍向算盤左側增長，損害了被開方數/餘數和未使用的兩位陣列。這與算盤上其他基本運算相反，在其他基本運算中，**求解的結果會取代運算元**（或其中一個運算元）。因此，傳統上，求平方根的首選方法似乎是下面的方法，我們將在其中看到根直接出現在算盤上，而不是它的兩倍。

準備被除數

再次從

$$100r_{i-1}+\alpha _{i}\geq (20y_{i-1}+b)b=20y_{i-1}b+b^{2}$$

除以 2

$$(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2\geq 10y_{i-1}b+b^{2}/2$$

修改後的表示式將使我們能夠在算盤上直接得到平方根，其操作步驟與上面基本相同，只是在算盤上只保留一半餘數。這裡，對於平方根來說，變化幾乎微不足道，但在處理立方根時將更加重要。如上式所示，忽略 ${\textstyle b^{2}/2}$ 項，我們可以透過簡單地將擴充套件後的半餘數 $(100r_{i-1}+\alpha _{i})/2$ 除以之前的根 $y_{i-1}$ （實際上是 $10y_{i-1}$）來獲得 $b$ 的估計值。之後，我們還需要

1. 驗證這樣得到的值是否正確，或者在適當的情況下，根據需要向上或向下修正它。
2. 獲得下一個半餘數，以便為根的下一位數字做準備。

這是透過從半餘數中減去 $10y_{i-1}b$ 和 ${\textstyle b^{2}/2}$ 來實現的，這使得記住以下半平方表非常方便

半平方表

$b$	$b^{2}/2$
1	0.5
2	2
3	4.5
4	8
5	12.5
6	18
7	24.5
8	32
9	40.5

幸運的是，由於 2 是我們基數（10）的約數，因此表中的十進位制小數有一個有限表示式；而當我們試圖將此過程擴充套件到立方根時，我們不得不處理立方體的三分之一，這種情況就不會發生。據 Knott 說，這使得立方根成為不適合用算盤處理的問題。

示例

這裡給出了三個示例，更多示例請參見下面的 進一步閱讀，特別是 外部資源。

961 的平方根

在這個例子中，我們有兩組兩位數：09 和 61。第一組告訴我們根的第一位數字是 3。

有兩種方法可以開始求平方根

• 從算盤的 B 列開始，將各組數字對齊到算盤的左側，並使用傳統的除法來獲得半餘數。

	A	B	C	D	E
						...
		0	9	6	1

這是舊書中使用的方法，也是村上在 用 kijohou 求平方根教程 中使用的方法（見下文 外部資源）。

使用傳統的除法

算盤	註釋
ABCDE
0961	將被開方數與 B 對齊
30961	將根的第一位數字輸入 A
-9	減去根的第一位數字的平方（9）
30061
30305	將餘數 B-E 除以 2（帰除法）

• 從算盤的 A 列開始，將各組數字對齊到算盤的左側，並使用 原位 除法，如第 除以二的冪 章所述，來獲得半餘數。

	A	B	C	D	E
						...
	0	9	6	1

這種方法稍微快一些。

使用原位除法

算盤	註釋
ABCDE
0961	將被開方數與 A 對齊
-9	減去根的第一位數字的平方（9）
0061
0305	將餘數原位除以 2
30305	將根的第一位數字輸入 A

從這裡開始，算盤的狀態一致，我們可以繼續

繼續

算盤	註釋
ABCDE
30305
+1	將半餘數 B-E 除以 3。將 B 向上修正
-3
31005
-05	從 D 中減去 b^2/2 =0.5
31000	半餘數為 0，完成！根為 31
31	根為 31

998001 的平方根

${\sqrt {998001}}=999$

算盤	註釋
ABCDEFG
998001	輸入被開方數
-81	從第一組中減去 9^2=81
188001
940005	將餘數原位除以 2
9940005	將根的第一位數字輸入 A
9930005	B：規則 9/9>9+9
-405	從 D 中減去 9^2/2=40.5
9989505
9987505	C：規則 8/9>8+8
-72	從 DE 中減去 CxB=72
998T305	將 C 向上修正
+1
-99
9990405
-405	從 F 中減去 9^2/2=40.5
9990000	餘數為 0。完成！
999	根為 999

456.7890123 的根

我們上面的例子...

${\sqrt {456.7890123}}=21.3726229\cdots$ 的前 4 位數字

算盤	註釋
ABCDEFGHIJKL
04567890123	輸入 x，將數字對從 AB、CD 等對齊。
-4	從第一組中減去 2^2
567890123
2839450615	將餘數和其餘數字對減半
2 2839450615	在 A 中輸入第一個根數字
+1	用 A 除 BCD（向上修正 B）
-2
-05	從 D 中減去 B^2/2=0.5
21 789450615
+3	用 AB 除 CDEF（向上修正 C 三次）
-6
-3
-45	從 F 中減去 C^2/2=4.5
213154950615
213554950615	用 ABC 除 DEFGH。D：規則 1/2>5+0
-5	從 EF 中減去 DxB=5
-15	從 FG 中減去 DxC=15
213548450615
+2	向上修正 D 兩次
-426
213705850615
-245	從 H 中減去 7^2/2=24.5
21370560F615	到目前為止的根：21.37
等等。	等等。

根 2137…（21.37…）出現在左側。檢視章節：簡化運算 瞭解如何快速估算接下來的 4 位數字。

結論

解釋為：準備被除數 的方法被稱為 半九九法（日語中稱為 Hankukuhou，中文中稱為 Bàn jiǔjiǔ fǎ），我們在此自由地將其翻譯為 半餘數法，它迄今為止是最方便使用的方法，至少有兩個原因

1. 根（而不是它的兩倍）取代了運算元（被開方數），就像算盤上的其他運算一樣。
2. （最重要的是）用以 1 開頭的數字進行除法很麻煩。考慮一下前兩位數字，它的值介於 1 和 99 之間，並決定了平方根的第一位數字。對於第一對的值介於 25 和 99 之間（75% 的情況），根的第一位數字介於 5 和 9 之間，它的兩倍以 1 開頭！因此，如果我們使用 準備除數 的方法，我們將用以 1 開頭的數字進行除法，這種情況佔 75% 。相反，如果我們使用 準備被除數 的方法，只有在第一組是 1、2 或 3 的情況下（3% 的情況），我們才需要用以 1 開頭的數字進行除法。

半餘數法 或 準備被除數 方法的優越性是毋庸置疑的。

進一步閱讀

• Siqueira, Edvaldo; Heffelfinger, Totton. "Kato Fukutaro's Square Roots". 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archived from the original on August 1, 2021. {{cite web}}: Unknown parameter |accesdate= ignored (|access-date= suggested) (help)

• Treadwell, Steve (2015). "Improvements to the Kato Method for Finding Square Roots" (PDF). 算盤 Abacus: Mystery of the Bead. Archived from the original (PDF) on August 1, 2021. {{cite web}}: Unknown parameter |accesdate= ignored (|access-date= suggested) (help)
• 平方根 (半九九法)；使用傳統除法的傳統方法 在 jccAbacus 中

外部資源

• 村上 使用 Kijoho 的平方根教程，這是一個 JavaScript 應用程式，您可以直接在瀏覽器中執行 或者從其GitHub 倉庫 下載到您的電腦。您只需在左側的小輸入框中輸入根，然後反覆按下螢幕上的“下一步”按鈕即可一步一步地檢視該過程的進展。因此，您可以生成任意數量的示例或練習。