Hartshorne 代數幾何使用者指南/第 0 章

參考文獻

1. 代數幾何 - Hartshorne
2. 算術 - Serre
3. https://people.ucsc.edu/~weissman/Math222A/SerreAnn.pdf
4. http://web.mit.edu/18.705/www/12Nts-2up.pdf (用於基本交換代數)
5. https://arxiv.org/pdf/1605.04832.pdf (用於更高階的交換代數)
6. 代數數論，一種計算方法 - Stein

基本交換代數

交換環和代數的範疇

本節的起點是交換環的定義：具有交換乘法的么元環。在這本書中，你可以假設所有環都是交換的，所以我們將省略“交換”一詞。最基本的環包括

• $\mathbb {Z}$
• $\mathbb {Z} /n$
• 域 $\mathbb {F}$
• 多項式環 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$

我們可以使用環的態射將環相互關聯。環之間的函式 $\phi :R\to S$ 是環的態射，如果滿足以下兩個公理：

1. $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$ (加法性)
2. $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ (乘法性)

我們可以簡潔地將其表述為尊重環結構的函式。事實證明，具有環態射的環形成了一個範疇 ${\textbf {CRing}}$。作為一項重要的技術說明，在我們的範疇中，沒有由單個元素給出的零環。這個範疇有一個由整數環給出的初始物件，因為給定一個環態射

$\phi :\mathbb {Z} \to R$

環態射公理迫使

$\phi (1)=1_{R}$, $\phi (-1)=-1_{R}$，以及 $\phi (n)=\phi \left(\sum _{n}1\right)=\sum _{n}\phi (1)$

回顧一下，$R$-代數的範疇，其物件是環同態 $R\to S$，而態射則是由交換圖給出的

${\begin{matrix}&&S\\&\nearrow \\R&&\downarrow \phi \\&\searrow \\&&S'\end{matrix}}$

如果我們只考慮代數，則範疇 $\mathbb {Z} -{\textbf {CAlg}}$ 等價於範疇 ${\textbf {CRing}}$。請注意，通常會考慮範疇 $\mathbb {F} _{q}-{\textbf {CAlg}}$，$\mathbb {C} -{\textbf {CAlg}}$，$\mathbb {Q} _{p}-{\textbf {CAlg}}$。在考慮方案的範疇時，為什麼這樣做的動機將變得顯而易見。

理想

構造新環的一種方法是取商環。環的理想是環的一個子集 $I\subset R$，它滿足以下條件：

1. 在加法運算下構成阿貝爾群
2. $R\cdot I\subset R$

然後，我們可以取阿貝爾群的商群 $R/I$，並利用 $R$ 上的乘法結構在 $R/I$ 上構造一個乘法結構。理想的第二個公理保證了這一點是良定義的。這被稱為 **商環**。一些典型的商環示例如下：

• $\mathbb {Z} /(p)$
• $\mathbb {Z} [x]/(x^{2}-5)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {5}}]$
• $\mathbb {Q} [x]/(x^{p}-1)$
• ${\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}$

玩轉表示

正如我們所見，構造多項式環有很多方法。但是，另一種建立新多項式環的有趣技巧是新增變數，這些變數之間存在關係。例如，考慮 $\mathbb {Z} [x,x^{2},x^{3}]$。我們可以重新標記我們新增的元素，因此我們考慮環 $\mathbb {Z} [X,Y,Z]$，但是這些變數之間存在一些關係

$X^{2}-Y,XY-Z$

注意，這兩個關係可以用來證明其他關係，例如 $XZ-Y^{2}$ 和 $X^{3}-Z$。因此

$\mathbb {Z} [x,x^{2},x^{3}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y,Z]}{(X^{2}-Y,XY-Z)}}$

其他一些例子包括

• $\mathbb {Z} [x,x^{3/2}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y]}{(Y^{2}-X^{3})}}$
• $\mathbb {Z} [x^{2},xy,y^{2}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y,Z]}{(XZ-Y^{2})}}$
• $\mathbb {Z} [x^{3},x^{2}y,xy^{2},y^{3}]\cong {\frac {\mathbb {Z} [X,Y,Z,W]}{(XW-YZ,XZ-Y^{2},YW-Z^{2})}}$

素理想

有一類特殊的理想稱為**素理想**：在 UFD $R$ 中，如果

$xy\in {\mathfrak {p}}\Leftrightarrow x\in {\mathfrak {p}}{\text{ or }}y\in {\mathfrak {p}}$

例如，$(p)\subset \mathbb {Z}$ 是第一個已知的素理想的例子。應該很明顯的是 $(6)$ 不是素理想，因為 $2\cdot 3\in (6)$ 但 $2,3\not \in (6)$。現在，給定一個不可約多項式 $f\in S[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 理想 $(f)$ 將是素理想。一個簡單的素理想非示例是 $(xy)\subset \mathbb {C} [x,y]$。這可以推廣到 $(fg)\subset S[x_{1},\ldots ,x_{n}]$。一些素理想的其他例子包括

$(x^{2}+1)\subset \mathbb {Q} [x]$

$(x-\alpha )\subset \mathbb {C} [x]$

$(y^{2}-x^{3}+1)\subset \mathbb {C} [x,y]$

如果您在 UFD $R$ 中取素理想的商環，您將得到一個 **積分域**。這意味著您的環具有以下乘法性質

$xy=0$ 如果 $x=0$ 或 $y=0$

例如，在

${\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y^{2}-x^{3})}}$

您永遠無法將兩個非零元素相乘得到零。環不是積分域的兩個關鍵非示例是

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ 因為 $xy=0$

$\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ 因為 $x\cdot x=0$

一般來說，環 $R$ 的理想 ${\mathfrak {p}}$ 稱為素理想，如果 $R/{\mathfrak {p}}$ 是一個整環。如果 $R/{\mathfrak {m}}$ 也是一個域，那麼我們稱 ${\mathfrak {m}}$ 為極大理想。一個有用的練習是檢查對於態射 $f:R\to S$ 和素理想 ${\mathfrak {p}}\subset S$，逆像 $f^{-1}({\mathfrak {p}})$ 是一個素理想。第二個例子促使了對理想進行根運算。給定一個理想 $I\subseteq R$，我們定義它的根為

${\sqrt {I}}=\{f\in R:f^{k}\in I{\text{ for some }}r\in \mathbb {N} \}$

例如，理想 $((x^{2}-y+z)^{4}(xyz-z^{2})^{5})\subset \mathbb {Z} [x,y,z]$ 的根基是 $((x^{2}-y+z)(xyz-z^{2}))$。對於商環 $R/I$，我們稱環 $R/{\sqrt {I}}$ 為其約化；有時也記為 $(R/I)_{\text{red}}$。我們定義環 $R$ 的 **零元根基** 為 ${\sqrt {(0)}}$。零元根基中的非零元素稱為 **冪零元**。

艾森斯坦判別法與素理想的構造

艾森斯坦判別法對於積分域有一個推廣：給定一個環 $R$ 和一個多項式 $f(x)\in R[x]$，它可以寫成

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

那麼如果滿足以下條件，它就不能寫成多項式的乘積：假設存在一個素理想 ${\mathfrak {p}}\subset R$ 使得

${\begin{aligned}a_{i}\in {\mathfrak {p}}{\text{ for }}i\neq n\\a_{n}\not \in {\mathfrak {p}}\\a_{0}\not \in {\mathfrak {p}}^{2}\end{aligned}}$

然後 $f(x)$ 不能寫成多項式 $g_{1}(x)\cdots g_{k}(x)$ 的乘積。

例如，考慮積分域 $\mathbb {C} [x]$ 和多項式 $f\in \mathbb {C} [x][y]$，由以下給出

$f(x,y)=1\cdot y^{3}+0\cdot y^{2}+0\cdot y+x^{3}\cdot y^{0}=y^{3}+x^{3}$

使用素理想 $(x-1)\subset \mathbb {C} [x]$，我們有 $a_{1},a_{2}=0\in (x-1)$，$a_{3}=1\not \in (x-1)$ 以及 $a_{0}=x^{3}\not \in (x-1)^{2}$。因此

$(x^{3}+y^{3})\subset \mathbb {C} [x,y]$

是一個素理想。這個例子可以擴充套件到證明

$x_{1}^{k_{1}}+\cdots +x_{n}^{k_{n}}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$

生成一個素理想。

零點定理

現在我們處於正確的位置來討論代數幾何的基礎定理：希爾伯特零點定理。這裡我們固定 $k$ 作為一個代數閉域。

定理： ${\mathfrak {m}}\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 的極大理想與集合 $k^{n}$ 一一對應。

例如，${\text{ev}}_{(1,2)}:\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C}$ 的核是理想$(x-1,y-2)$。這使我們能夠將由理想$I\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 給出的商環解釋為$k^{n}$ 的代數子集，因為求值態射

${\text{ev}}_{(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}:\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]/I\to \mathbb {C}$

僅當$(x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n})\subset k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I$ 是一個極大理想。例如，考慮以下示例和非示例

• ${\text{ev}}_{(1,1)}:\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})\to \mathbb {C}$ 是一個定義良好的態射，因為$(x-1,y-1,y^{2}-x)=(x-1,y-1,1^{2}-1)=(x-1,y-1)$。這意味著$(1,1)\in \{(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}:b^{2}-a\}$
• ${\text{ev}}_{(1,2)}:\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})\to \mathbb {C}$ 不是一個良定義的態射，因為 $(x-1,y-2,y^{2}-x)=(x-1,y-2,4-1)=(1)$ ；不存在商環 $R/(1)$ 。因此 $(1,2)\not \in \{(a,b)\in \mathbb {C} ^{2}:b^{2}-a\}$

現在我們可以解釋非整環。例如，我們看到 $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ 不是整環。在幾何上，這是 $x$ 軸和 $y$ 軸的並集。非整環的另一個主要情況是非約環。例如，$\mathbb {C} [x,y]/(y^{3})$ 是 $x$ 軸，但從 $y,y^{2}$ 中存在額外的代數資訊。你應該將這個環解釋為一個 **粗** 線。

基本 Scheme 理論

我們現在可以 **自信地** 定義一個仿射 scheme：它是一個函子

${\text{Hom}}_{\mathbf {CRing} }(R,-):\mathbf {CRing} \to {\textbf {Sets}}$

對於一些固定的交換環 $R$ 。

區域性化

交換環論中的下一個基本構造是 **區域性化**。 它定義了將非零整數倒置並得到有理數的推廣。 令 $S\subset R$ 為一個含單位元的乘法封閉子集，這意味著 $1\in S$ 且 $s,s'\in S\Rightarrow ss'\in S$。 例如，對於固定元素 $f\in R$，考慮子集 $\{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}$。 我們定義一個交換環 $R[S^{-1}]$ 如下。 首先，考慮集合 $R\times S/\sim$，其中

$(r,s)\sim (r',s'){\text{ if there exists }}u\in S{\text{ such that }}u(rs'-r's)=0$

(不用擔心，我們會給這個看似隨機的 $u$ 提供一個有說服力的例子)。 這是一個驗證它確實定義了一個等價關係的練習——通常將這些等價類寫成 $r/s$。 這些等價類有一個由以下公式給出的定義良好的交換環結構

${\frac {r}{s}}\cdot {\frac {r'}{s'}}={\frac {rr'}{ss'}}{\text{ and }}{\frac {r}{s}}+{\frac {r'}{s'}}={\frac {rs'+r's}{ss'}}$

區域性化的一些基本例子包括

• 子集 $S=\{1,p,p^{2},p^{3},\ldots \}\subset \mathbb {Z}$ 給出了環 $\mathbb {Z} [S^{-1}]=\mathbb {Z} [1/p]$。請注意，如果我們用集合 $T=\{1,p^{3},p^{6},p^{9},\ldots \}\subset \mathbb {Z}$ 進行區域性化，那麼這將給出環 $\mathbb {Z} [1/p^{3}]$。但是，因為我們可以寫 $1/p$ 為 $p^{2}/p^{3}$，這兩個環是同構的。為了簡潔，我們可以簡單地說我們對 $\mathbb {Z}$ 進行區域性化 $p$。嘗試用其他非零整數進行區域性化，看看你會發現什麼。
• 一個重要的幾何例子是透過一些非零多項式 $f=f_{1}^{i_{1}}\cdots f_{k}^{i_{k}}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 進行區域性化而給出的。
• 給定一個整環 $R$，我們可以取集合 $S=R-\{0\}$。然後，$R[S^{-1}]$ 被稱為整環的**分數域**。（檢查它是一個域是一個練習）
• 給定一個環 $R$ 和一個素理想 ${\mathfrak {p}}$，我們可以考慮集合 $S=R-{\mathfrak {p}}$。由於理想的素性，它是乘法封閉的。環 $R$ 關於 $S$ 的區域性化通常記為 $R_{\mathfrak {p}}$。例如，考慮 $(x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$。區域性化可以描述為

$\mathbb {C} [x,y][S^{-1}]=\mathbb {C} [x,y]_{\mathfrak {p}}=\left\{{\frac {f(x,y)}{g(x,y)}}:f,g\in \mathbb {C} [x,y]{\text{ and }}g(0,0)\neq 0\right\}$

最後一個例子很特別，因為它促使我們定義：如果一個環只有一個極大理想，則稱它為 **區域性環**。對 $(R_{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}})$ 來說，它是一個區域性環。

基本模理論

一個 $R$-模定義為一個阿貝爾群 $M$，並具有一個固定的環態射 $\phi :R\to {\text{End}}_{\textbf {Ab}}(M)$。我們將使用符號

$r\cdot m:=\phi (r)(m)$ 其中 $r\in R,m\in M$

對於環在 $M$ 上的作用。一個 $R$-模 $\psi :M\to M'$ 的態射由一個交換圖定義

${\begin{matrix}&&{\text{End}}_{\textbf {Ab}}(M)\\&\nearrow \\R&&\downarrow \psi \\&\searrow \\&&{\text{End}}_{\textbf {Ab}}(M')\end{matrix}}$

我們可以用這個構造來構建一個 $R$-模的範疇，它是一個阿貝爾範疇。這意味著它有一個零物件，核和餘核，積和餘積，以及像/餘像的重合。請注意，我們不得不將交換環的範疇擴充套件到所有環，因為一個阿貝爾群的同態環通常是非交換的；這是我們在這本書中使用非交換單位環的唯一情況之一。 $R$-模的典型例子包括

• 零物件 $0$
• 理想 $I\subset R$
• 直和，例如 $M_{1}\oplus \cdots \oplus M_{k}$
• 一個環的態射 $\phi :R\to S$ 給出了 $R$-模的結構在 $S$ 的底層阿貝爾群上

另一個構建新模的有用技術是取一個態射 $\psi :R^{n}\to R^{m}$ 的餘核。例如，

$\mathbb {C} [x,y,z]^{\oplus 2}{\xrightarrow {\cdot (x^{4}+y^{4}+z^{4}-1)\oplus \cdot (x^{4}-y^{2}+z^{2}+1)}}\mathbb {C} [x,y,z]$

是 $\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{4}+y^{4}+z^{4}-1,x^{4}-y^{2}+z^{2}+1)$。我們可以使用精確序列來推廣這個例子。阿貝爾範疇中的一系列物件

$M_{1}{\xrightarrow {\phi _{1}}}M_{2}{\xrightarrow {\phi _{2}}}\to \cdots {\xrightarrow {\phi _{n-1}}}M_{n}$

被稱為精確，如果每個

${\frac {{\text{Ker}}(\phi _{i})}{{\text{Ker}}(\phi _{i-1})}}\cong 0$

在最後一個例子中，我們有精確序列

$R^{\oplus 2}\to R\to M\to 0$

一般來說，如果存在精確序列

$R^{n}\to R^{m}\to M\to 0$

對於有限整數 $m,n$，那麼我們就說該模是 **有限型的**。 如果只存在一個序列

$R^{n}\to M\to 0$

那麼我們就說該模是 **有限** 的。 例如，模

$k[x_{1},x_{2},\ldots ]\to k\to 0$

是有限的，但不是有限型的，因為非平凡態射的核是理想

$(x_{1},x_{2},\ldots )\cong \bigoplus _{i=1}^{\infty }R\cdot x_{i}$

張量積

• 構建模的張量積
• 構建代數的張量積
  • 證明積分域的張量積是積分的
    • 證明 $k[{\underline {x}}]/(f({\underline {x}})\otimes _{k}k[{\underline {y}}]/(g({\underline {y}}))\cong k[{\underline {x}},{\underline {y}}]/(f({\underline {x}},g({\underline {y}}))$
    • 顯示 $k[{\underline {x}}]/(f({\underline {x}}))\otimes _{k[{\underline {x}}]}k[{\underline {x}}]/(g({\underline {x}}))\cong k[{\underline {x}}]/(f({\underline {x}}),g({\underline {x}}))$

有限性，鏈條件

如果我們有一個 $R$-代數 $R\to S$，我們說 $S$ 它是 **有限的**，如果它作為模是有限的。我們說它是 **有限型別的**，如果存在一個滿射 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]\to S$，這意味著

$S\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}$

在交換代數中，還有其他幾個“有限性”的概念，稱為 **鏈條件**。我們稱一個 $R$-模的序列

$M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots$

為 **上升鏈**，以及

$N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq \cdots$

為 **下降鏈**。如果存在某個 $k$ 使得 $M_{k}=M_{k+1}=\cdots$，$N_{k}=N_{k+1}=N_{k+2}=\cdots$，則稱它們滿足 **上升鏈條件** 或 **下降鏈條件**。如果存在鏈

$M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \cdots$，其中 $\cup _{i=1}^{\infty }M_{i}=R$

或

$R\supseteq N_{2}\supseteq \cdots$

那麼我們說 $R$ 分別是 Noetherian 或 Artinian。可以證明每個 Artinian 環都是 Noetherian 環。Noetherian 環的基本例子包括

• 域
• $\mathbb {Z}$
• 域上的有限代數
• Noetherian 環的商環。

一個簡單的非例子是環 $k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]$ 其中 $k$ 是一個域。代數中有一個基本定理叫做 Hilbert 基定理，它表明

定理：如果 $R$ 是 Noetherian 環，那麼 $R[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ 是 Noetherian 環

因此所有形式為

${\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}$

都是 Noetherian 環。Artinian 環比 Noetherian 環簡單得多

定理：每個 Artin 環都是 Artin 區域性環的有限乘積。

我們只需要分析 Artin 區域性環 $(R,{\mathfrak {m}})$ 的結構。注意我們有一個遞減鏈

$R\supseteq {\mathfrak {m}}\supseteq {\mathfrak {m}}^{2}\supseteq {\mathfrak {m}}^{3}\supseteq \cdots$

最終將在某個 ${\mathfrak {m}}^{k}$ 處穩定；這就是零理想 $(0)$。我們可以用它來證明 $R$ 的底層 $R/{\mathfrak {m}}$-向量空間是有限維的。Artin 區域性環的一些例子是

• $(\mathbb {C} [x]/(x^{5}),(x))$
• $(\mathbb {Q} [x,y]/((x-1)^{3},(x-1)^{2}(y-2),(y-2)^{5})),(x-1,y-2))$

整性

給定一個交換環的態射 $R\to R'$，我們說一個元素 $x\in R'$ 是在 $R$ 上整，如果存在一個首一多項式 $f(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\cdot +a_{1}t+a_{0}\in R[t]$和一個態射

${\frac {R[t]}{f(t)}}\to R'$

使得 $t\mapsto x$。例如，${\sqrt {-5}}\in \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ 在 $\mathbb {Z}$ 上整，因為

${\frac {\mathbb {Z} [t]}{(t^{2}+5)}}\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$

將所有整元素 $\{x_{i}\}$ $R$ 加到一起，叫做 $R$ 在 $R'$ 中的整閉包。一個整環 $R$ 被稱為整閉，如果其分數域中的每個元素在 $R$ 上整。例如，我們可以計算

$R={\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}-y^{3})}}$

相當容易。由於它與環$\mathbb {C} [x,x^{3/2}]$ 同構，我們應該立即看到 $x^{1/2}$ 不包含在 $R$ 中。將此元素併入 $R$ 得到一個與 $\mathbb {C} [s]$ 同構的環。作為一個練習，嘗試解開

${\frac {\mathbb {C} [x,y,z,w]}{(x^{2}-y^{5}-y^{3},z^{3}-w^{4})}}$

待辦事項

- 超橢圓曲線

- 曲線的商域

- https://math.stackexchange.com/questions/2304521/why-is-this-coordinate-ring-integral-over-kx

- 整數環

第 0 章

基本交換代數

結構

• 模/代數的張量積... 模的區域性化
• 交換代數的範疇
• 模的支集
• 分級環
• 上極限和莖
• 下極限，完備化，p-進數
• 賦值 - https://en.wikipedia.org/wiki/Valuation_(algebra)#P-adic_valuation_on_a_Dedekind_domain
• 維數
• 超越度
• 函子形式主義
• 範疇結構，如拉回和推前
• 卡勒微分/基本微分代數
• 光滑代數/光滑態射
• 完全交/區域性完全交態射
• étale 代數/étale 態射
• 伽羅瓦理論，包含有用的術語...
• 代數數論術語也類似...
• 基本同調代數，Ext，Tor
• 科索爾復形
• 匯出範疇
• 格羅滕迪克群
• 希爾伯特多項式
• 格勒布納基/消元理論 - https://mathoverflow.net/questions/60957/how-to-determine-whether-an-ideal-is-prime-or-not-by-an-algorithm

定理

• 艾森斯坦判別法
• 初等分解
• 諾特歸一化
• 上升和下降

基本微分/復幾何

構造

• 光滑流形
• 態射
• 向量叢
• 拓撲 K 理論
• 德拉姆上同調
• 複流形和層
• 複流形的霍奇分解

定理

• 惠特尼嵌入定理
• 淹沒定理
• 薩德定理