Hartshorne 代數幾何使用者指南

簡介

Hartshorne 的代數幾何入門書對於初學者來說是一本臭名昭著的難書，因為他們必須克服大量的技術障礙才能進入方案論。此外，對許多引入的工具缺乏解釋，造成了額外的學習障礙。我們的目標是幫助解決這些問題，幫助初學者克服“大型工具”的障礙。我們的核心目標是讓**任何人都**能夠欣賞方案論的美麗和應用。

概述

我們將對各章和各節做一個基本的概述，讓讀者對閱讀內容有所直觀的瞭解。

第 0 章

這是一章參考性質的章節，我把它包括進來是為了讓讀者瞭解方案論所需的某些交換代數和微分幾何知識。這將包括基本定義、示例和定理，但將省略所有證明；只會討論計算技術。

第 1 章

Hartshorne 從經典代數幾何的基本概述開始他的書。在早期，數學家研究多項式的解作為 $\mathbb {Q} ^{n},\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ 的子集，或者從這些集合構建的射影空間。這種觀點透過經典的簇理論變得嚴格，這是許多代數學家和幾何學家在格羅騰迪克之前所採用的觀點。在方案論出現之前，仍然有用的是考慮代數幾何的狀態，因為代數的應用更加透明。

出於技術上的簡便，他固定了一個代數封閉域 $k$，所以你應該考慮域 $\mathbb {C} ,{\overline {\mathbb {Q} }},{\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$。例如，簇

$\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}+1)=\{(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}:a^{2}+b^{2}=-1\}$

是空集，因為對於任何 $(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$，都有 $a^{2},b^{2}\geq 0$，但 $-1<0$，因此

$a^{2}+b^{2}>-1{\text{ for all }}(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$

第 2 章

本章是整本書的核心。它介紹了基本的方案理論以及與方案相關的各種結構。(技術說明：Hartshorne 採用區域性環空間方法來研究方案理論，並沒有提到點函子)。本章介紹的第一個也是最簡單的方案是**仿射方案**，用${\text{Spec}}(R)$ 表示，其中 $R$ 是某個交換環。例如，復仿射空間 $\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])$。你可以猜到 $\mathbb {Q} ,{\overline {\mathbb {Q} }},{\overline {\mathbb {Q} }}_{p}$ 的仿射空間應該如何定義。

方案理論需要的主要技術觀察如下

• ${\text{Hom}}_{\textbf {Aff}}({\text{Spec}}(R),{\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]))\cong R^{n}$
• ${\text{Hom}}_{\textbf {Aff}}\left({\text{Spec}}(R),{\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)\right)\cong \{p=(p_{1},\ldots ,p_{n})\in R^{n}:f_{1}(p)=\cdots =f_{k}(p)=0\}$
• ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x]/(x^{2}))\not \cong {\text{Spec}}(\mathbb {C} )$

前兩個觀察結果使我們能夠考慮**泛空間**，其同態集給出了給定環中多項式的零點集。現在，我們不再僅僅將多項式視為固定 $\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,$ 等的子集。第二個觀察結果是方案理論的另一個主要優勢：它提供了一種“記住”多項式交點的方法。這兩個方案具有相同的拓撲空間作為一點，但在其上具有不同的交換環層(你不需要現在瞭解“層”這個詞，這只是為了讓你在閱讀完這本書後再去理解)。例如，考慮一個交點族

$X_{t}=\{(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}:b-a^{2}=0,b=t\}$

如果 $t=0$，從拓撲學上講，它只是一個點；而如果 $t>0$，那麼從拓撲學上講，它就是兩個點。如果你從代數的角度來看，這兩個點被壓縮成一個 **胖點**，這可以透過該方案上的環層來觀察。

一旦理解了方案的基本概念，方案論的下一個重要特徵就是一般的態射。通常，態射用於定義方案的 **族**。例如，考慮平面橢圓曲線的 **魏爾斯特拉斯族**

${\begin{matrix}{\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(y^{2}-x(x-1)(x-t))}}\right)\\\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [t])\end{matrix}}$

如果你觀察這個態射的目標上的纖維，你會得到方案 ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-t)))$ 對於某個 $\alpha \in \mathbb {C}$。如果 $t\neq 0,1$，這個方案可以賦予 **橢圓曲線** 的結構。 **模理論** 的概念基於族的概念，其中應該有一個態射 $\pi :{\mathfrak {X}}\to B$，其中 $B$ 是 **模空間** 或 **基空間**，${\mathfrak {X}}$ 是 **普遍族**。例如，考慮 $\mathbb {P} ^{2}$ 中二次曲線的模空間，它由以下態射給出：

${\begin{matrix}{\text{Proj}}_{\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5}}\left({\frac {\mathbb {Z} [a_{1},\ldots ,a_{6}][x,y,z]}{(a_{1}x^{2}+a_{2}xy+a_{3}xy+a_{4}y^{2}+a_{5}yz+a_{6}z^{2})}}\right)\\\downarrow \\{\text{Proj}}_{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} [a_{1},\ldots ,a_{6}])=\mathbb {P} _{\mathbb {Z} }^{5}\end{matrix}}$

請注意，這提供了一個 **希爾伯特方案** 的玩具示例，該方案在這本書中既沒有構造也沒有討論。

第三章

本章介紹了基礎方案論的另一半：方案的層上同調和方案論中使用的上同調結構。其中，最重要的概念之一是**平坦態射**。它是使用匯出張量積定義的，但有一個簡單的幾何直觀理解：方案的平坦態射。基本思想是，這種態射的上同調性質保證了當纖維變化時，族具有一定的連續性。例如，你永遠不會看到纖維的維數發生變化，就像你在爆破中看到的那樣。例如，考慮爆破

${\begin{matrix}{\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y]}{(sf(x,y)+tg(x,y))}}\right)\\\downarrow \\{\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y])\end{matrix}}$

在消失軌跡 ${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(f,g))$ 上的纖維與 $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ 同構，而在 $\mathbb {A} ^{2}$ 的其餘部分上，它們是一個單點。

第 4、5 章

這些章節介紹了代數曲線和曲面的經典主題。這些是當今富有成效的主題，也是許多現代研究的基礎。特別是，曲線的模空間的構造依賴於第四章介紹的大量內容。