Hartshorne 代數幾何使用者指南/第 1 章

仿射簇

本節介紹了代數簇的基本概念。它首先定義了 **代數子集** 為 **消失軌跡** 或 **零集**，由 $T$ 的某個子集給出， $A=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ；也就是說，

Z(T):=\{p\in \mathbb {A} _{k}^{n}:f(p)=0{\text{ for }}f\in T\}

在所有例子中，我們應該將 $T$ 視為 $A$ 中的理想。反過來，如果我們有一個子集 $Y\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ ，則如果它被定義為 $A$ 的某個子集的零集，則稱為 **代數**。

(非)消失集的例子

$Z((x^{2}-y))\subset \mathbb {A} _{A}^{2}$ 是初等代數中的拋物線，其中 $(x^{2}-y)\subset A[x,y]$ 且 $A$ 是 ${\overline {\mathbb {Q} }},\mathbb {C} ,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}$ 中的任何一個。
$T=\{1,2,3,\ldots \}\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}$ 不是代數子集，因為在 $\mathbb {C} [x]$ 中不存在無窮多個點處為零的多項式。這是代數基本定理的推論，因為任何多項式 $\mathbb {C} [x]$ 都是 $(x-a_{1})\cdots (x-a_{n})$ 的乘積。
$Z((xy))=Z((x)\cdot (y))\subset \mathbb {A} _{A}^{2}$ 是另一個例子，它是 $y$ 軸和 $x$ 軸的並集，它們分別由 $x$ 和 $y$ 在 $\mathbb {C} [x,y]$ 中為零而定義的。
前面的例子概括了整個例子家族的想法，給定子集 $T_{1},T_{2}\subset A$ ，我們可以形成子集

T_{1}\cdot T_{2}=\{t_{1}\cdot t_{2}:t_{1}\in T_{1}{\text{ and }}t_{2}\in T_{2}\}

其消失軌跡是 $Z(T_{1})$ 和 $Z(T_{2})$ 的並集。下一個命題 1.1 包括此示例和代數集相交的示例。

扎里斯基拓撲和基本定義

我們可以透過定義閉集為代數集來定義 $\mathbb {A} ^{n}$ 的拓撲結構。注意，在這個拓撲結構中，每個開集都是稠密的！雖然它非常粗糙，但它仍然對從代數拓撲中構造不變數很有用，例如空間的同調，對於大量的例子（例如關於代數簇的德拉姆同調）。本書後面的章節將討論這些構造所需的理論基礎。

不可約性

拓撲空間的子集稱為不可約，如果它不是兩個真子集的並集，這兩個真子集都是閉集。例如，我們的空間 $Z((xy))$ 是可約的，因為它是由分量 $Z((x))$ 和 $Z((y))$ 的並集。

仿射簇和擬仿射簇

他還定義仿射簇為某個 $\mathbb {A} ^{n}$ 中的不可約代數閉子集。此外，仿射簇的開子集稱為擬仿射。注意，仿射簇的拓撲結構是誘導拓撲。一個有趣的例子是 $\mathbb {A} ^{2}$ 中去除原點後的擬仿射簇，它不是仿射簇。這是 $Z((x,y))\subset \mathbb {A} ^{2}$ 的補集。很容易用本書後面討論的同調工具來證明這不是仿射簇。

基本性質

命題 1.2 給出了代數子集的一些明顯性質，但值得注意的是，對 $A$ 的子集取冪會得到與原始子集相同的代數集。例如 $(x,y)\subset \mathbb {C} [x,y]$ 與 $(x,y)^{2}=(x^{2},xy,y^{2})$ 和 $(x^{2},y^{2})$ 具有相同的消失軌跡。注意，在方案論中，這些理想將對應於不同的方案。這些例子是理想 $I$ 的根或冪零根的靈感，即

{\sqrt {I}}:=\{f\in A:f^{k}\in I{\text{ for some }}k\in \mathbb {N} \}

通常，可以透過找到 $I$ 的一個生成集來找到它們，該生成集的元素是某些多項式的冪。例如，

{\begin{aligned}{\sqrt {(xy^{2},z^{5})}}&=(xy,z)\\{\sqrt {(x^{2}(x+y+z)^{5})}}&=(x(x+y+z))\\{\sqrt {(x^{n}+y^{n}+z^{n})}}&=(x^{n}+y^{n}+z^{n})\end{aligned}}

零點定理 - 核心定理

儘管一開始看起來比較模糊，但零點定理對於將代數作為空間進行思考至關重要。它基本上指出，代數集的消失軌跡總能被找到，它就是某個理想的根式。這很重要，因為它讓我們能夠從幾何角度考慮交換環 $A$ 的理想，同時也能讓我們為任何代數集找到一個理想。此外，推論擴充套件了這一點，指出不可約代數集始終由素理想定義。

請注意，一般來說，很難為素理想找到生成元，而很容易寫出非素理想的例子。例如，理想 $(y-x^{2},(y-4)^{5})$ 對應於兩個點 $(2,2),(-2,2)\subset \mathbb {A} ^{2}$ 。在他給出的所有例子中，它都是由不可約多項式定義的理想。回顧高斯引理和艾森斯坦判據來確定多項式是否不可約非常有用。例如，考慮 $f(x,y)=x^{2}-y^{n}\in \mathbb {C} [x,y]$ 。那麼作為 $\mathbb {C} (x)[y])$ 中的多項式，它可以寫成

g=1\cdot y^{n}-x^{2}

所以

{\frac {\partial g}{\partial y}}=ny^{n-1}

它與 $g$ 沒有公因子，因為它的唯一解是 $0$ 。另一類重要的多項式是

y^{2}-x^{3}-ax-b\in \mathbb {C} [x,y]

它們定義了橢圓曲線的消失軌跡。它們在數學中非常重要，因為它們簡單、定義了阿貝爾簇的基本示例，並且可以用來研究算術幾何中許多有趣的現象。

仿射座標環

Nullstellensatz 的一個有用結果是，我們可以找到一個唯一的理想來表示任何代數子集 $Y$ 的幾何形狀。給定任何理想 $I$ ，其消失軌跡是 $Y$ ，這個唯一的理想是 $I$ 的根，記為 ${\sqrt {I}}$ 。我們還可以關聯一個環，稱為 $Y$ 的仿射座標環，定義為

A(Y)=A/{\sqrt {I}}

例如， $((y^{3}-x^{3}+1)^{3})\subset \mathbb {C} [x,y]$ 的仿射座標環是

A(Y)={\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y^{3}-x^{3}+1)}}

基本維數理論

在本節中，Hartshorne 引入了交換環的Krull 維數，它是所有素理想高度的上確界。也就是說，一個素理想 ${\mathfrak {p}}\subset A$ 的高度為 $n$ ，如果存在一個不同的素理想的最大鏈

{\mathfrak {p}}_{0}\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \cdots \subset {\mathfrak {p}}_{n}

高度和維數的例子

例如，最大理想 $(x,y,z)\subset \mathbb {C} [x,y,z]$ 的高度為 $3$ ，因為存在（最大）鏈

(0)\subset (x)\subset (x,y)\subset (x,y,z)

的不同素理想。由於所有極大理想都具有形式 $(x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})$ ，其中 $x_{0},y_{0},z_{0}$ 為一些常數（根據推論 1.4 的應用），我們有 $\mathbb {C} [x,y,z]$ 的維數為 $3$ 。

整數 $\mathbb {Z}$ 的素理想是 $(0)$ 或 $(p)$ 。由於 $(p)$ 是所有高度為 $1$ 的極大理想，我們有 $\mathbb {Z}$ 是一個一維環。起初，這似乎很奇怪，但一旦我們接觸到方案的平坦族，我們就能發現這是“正確的”。

另一類有趣的例子是所有素理想都具有有限高度的無限維諾特環。檢視這個 math.stackexchange 討論以獲得詳細概述。

在一個整環中找到一個不可約元素 $f\in R$ 會產生一個高度為 1 的素理想，因為

(0)\subset (f)

是素理想的最大鏈。這表明整環的不可約超曲面維數始終小於 1。

克魯爾維數也可以在區域性代數中用於確定一個品種上點的維數。例如，考慮在 $\mathbb {A} ^{3}$ 中的 $x$ 軸與 $yz$ 平面的並集。它具有定義理想

I=(y,z)(x)=(xy,xz)

如果我們將 $R=k[x,y,z]/I$ 侷限於最大理想 $(x,y,z)$ ，即軸線與平面的交點，我們想知道這個點的實際維數是多少。克魯爾維數可以回答這個問題！考慮區域性環

(R,{\mathfrak {m}})=\left(\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xy,xz)}}\right)_{(x,y,z)},(x,y,z)\right)

由於 $R/{\mathfrak {m}}\cong \mathbb {C}$ ，最大理想的高度等於區域性環的維數。在該區域性環中，我們有兩個最大鏈

(0)\subset (x)\subset (x,y,z)

(0)\subset (y,z)\subset (x,y,z)

得出環的維數為 2。這回答了我們之前的問題。

超越次數和維數

Hartshorne 在定理 1.8.A 中給出了另一個用超越次數定義維數的定義——積分整環 $B$ 的維數可以定義為其分數域 ${\text{Frac}}(B)$ （他記為 $K(B)$ ）的超越次數。在接下來的命題中，他快速地進行了合理性檢查，即 $\mathbb {A} ^{n}$ 的超越次數為 $n$ ，這是因為其分數域為 $k(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 。

超越次數的示例

$k(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 的超越次數為 $n$
使用環同態

k[x]\to k[x,y]\to {\frac {k[x,y]}{(y^{2}-ax^{3}-b)}}=R

我們可以證明 $R$ 的超越次數為 $1$ ，因為它的分數域是 $k(x)$ 的二次擴張。集合 $\{x\}$ 構成它的超越基，並且

{\text{Frac}}(R)={\frac {k(x)[y]}{(y^{2}-(ax^{3}+b))}}

是一個二次域擴張。

前面例子中的技術可以用來證明 $\mathbb {A} ^{n}$ 的不可約超曲面 $X$ 的維數小於 1。儘管這需要對簇的態射有所瞭解，但這是一個值得牢記的有用例子。你需要做的就是找到一個投影 $\pi :X\to \mathbb {A} ^{n-1}$ ，它在 $\mathbb {A} ^{n-1}$ 中的任何點上，其逆像是有限的點集。對這兩個整環取分數域將得到 $k(y_{1},\ldots ,y_{n})$ 的有限域擴張。
例如，考慮整環

R={\text{Frac}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(z^{3}-x^{3}-y^{3}-1)}}\right)

如果我們取包含 $\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [x,y,z]$ 與到 $R$ 的投影的複合，我們就得到了這樣的投影 $\pi :X\to \mathbb {A} ^{2}$ 。這給出了一個域擴張

k(x,y)\to {\frac {k(x,y)[z]}{(z^{3}-(x^{3}+y^{3}+1))}}

這是一個 $3$ 次域擴張。

命題 1.10

這是一個有用的命題，它將擴充套件到擬射影簇（如第 I.2 節中定義）。基本上，閉包運算保留維度。舉一個簡單的直觀例子，一個代數曲線 $C\subset \mathbb {A} ^{2}$ 可以去除有限個點。這個開集的閉包是原來的曲線。

命題 1.12A

這是一個有用的命題，如果我們去掉 UFD 假設，它在代數數論中有一個簡單的反例。每個 Dedekind 域的維數最多為 $1$ ，但素理想

(2,1+{\sqrt {-5}})\subset \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]

有兩個生成元，所以它不是主理想。

練習

1.1

(a) 注意環 $A(Y)=\mathbb {C} [x,y]/(y-x^{2})$ 。如果我們使用替換 $y\mapsto x^{2}$ 重寫它，則 $A(Y)=\mathbb {C} [x,x^{2}]$ 。我們可以定義一個環同態 $\mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [x,x^{2}]$ 透過 $t\mapsto x$ 。由於它沒有核並且是滿射的，所以它是一個同構。
(b) 我們可以將 $A(Z)=\mathbb {C} [x,y]/(xy-1)$ 表示為 $\mathbb {C} [t,t^{-1}]$ ，其中 $t$ 對應於 $x$ 並且 $t^{-1}$ 對應於 $y$ 。然後使用零點定理，很容易看到 $Z$ 中沒有點對應於 $0\in \mathbb {A} ^{1}$ ，因為 $A(Z)$ 的第二個表示對應於 $\mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ 的品種。
(c) 檢視此解決方案。

1.2

這裡的技巧是找到集合中所有點之間的代數關係。由於 $Y=\{(t,t^{2},t^{3})|t\in k\}$ ，我們可以將其寫為 $k[x,y,z]$ 被理想 $(x^{2}-y,x^{3}-z,y^{3}-z^{2})$ 的商。第一個生成器對應於 $(t)^{2}=t^{2}$ ，第二個 $(t)^{3}=t^{3}$ 以及第三個 $(t^{2})^{3}=(t^{3})^{2}$ 。

1.3

注意第二個多項式給出了一個品種，它是 $yz$ -平面和 $xy$ -平面在 $z$ -方向上平移了 $1$ 。然後我們可以專門研究 $x^{2}-yz$ 在這兩個平面上的解，以找到所有解。在 $yz$ -平面上，我們有 $x=0$ ，所以 $x^{2}-yz=-yz$ 。這意味著解是該平面上兩個座標軸的並集。在 $xy$ -平面上，方程寫成 $x^{2}-yz=x^{2}-y(1)=x^{2}-y$ 。這是平移後的平面上的拋物線。在拋物線與 $z$ -軸相交的 $(0,0,1)$ 點處，有一個分量的交點。

1.4

注意 $\mathbb {A} ^{2}-0$ 在乘積拓撲中不是開集，因為其在每個因子上的投影是 $\mathbb {A} ^{1}-0$ ，但這兩個在 $\mathbb {A} ^{2}-Z((xy))$ 中的開集的乘積。

1.5

零點定理幾乎立即為我們提供了結果。我們必須有從某個 $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]\to A(Y)$ 到 $A(Y)$ 的滿射，並且定義理想在 $B$ 中不能產生冪零元，因為它本身是根或自身。

1.6

1.7

1.8

1.9

1.10

(a) 由於 $Y$ 具有誘導拓撲， $Y$ 中的任何閉集鏈都來自 $X$ 的閉集與 $Y$ 的交集。任何這樣的極大鏈都可以擴充套件到 $X$ 的閉集鏈。那麼， $X$ 的維數總是大於或等於 $Y$ 的維數。
(b)
(c) 對於集合 $X=\{a,b,c\}$ ，將以下子集宣告為開集 $\{\varnothing ,X,\{a,b\}\}$ 。那麼包含 $U=\{a,b\}$ 的最小閉集是 $X$ ，因此它是一個稠密的開子集。它的維數為零，因為它的唯一閉子集是 $\varnothing$ ，但是 $X$ 具有以下極大閉集鏈

\varnothing \subset \{c\}\subset X

因此它的維數為二。

(c.1) 如果我們去掉稠密假設，取集合 $X=\{a,b\}$ 具有離散拓撲。那麼開子集 $\{x\}$ 的維數為一，但是 $X$ 的維數為二。
(d) 使用諾特拓撲空間的維數定義，存在一個極大閉集鏈

Y_{0}\subset Y_{1}\subset \cdots Y

由於 $Y\subset X$ 是閉集且是真子集，我們可以將其擴充套件一個，得到一個長度大於 ${\text{dim}}(X)$ 的極大鏈，這是一個矛盾。因此 $Y=X$ 。

(e) 取仿射空間 $\mathbb {A} ^{\infty }$ 並賦予其一個拓撲結構，其中子集 $X$ 是閉集當且僅當它可以被包含在某個嵌入的 $\mathbb {A} ^{n}$ 中，並且在嵌入的 $\mathbb {A} ^{n}$ 上具有 Zariski 拓撲時是一個閉子集。
(e.1) 注意到，如果每個點都存在一個鄰域是 Noether 拓撲空間，則該空間為 **區域性 Noetherian**。一個無限維但只有有限維分量的例子是無限個不相交的並集 $\mathbb {A} ^{1}\coprod \mathbb {A} ^{2}\coprod \mathbb {A} ^{3}\coprod \cdots$ ，每個仿射空間都配備了 Zariski 拓撲。由於我們只能取有限個閉子簇 $X_{i}\subset \mathbb {A} ^{n_{i}}$ 的並集，因此該空間是 Noetherian。

1.11

曲線 $Y\subset \mathbb {A} ^{3}$ 由引數方程 $x=t^{3},y=t^{4},z=t^{5}$ 給出，在生成元 $x,y,z$ 之間得到以下三個關係：

{\begin{aligned}x^{4}-y^{3}\\x^{5}-z^{3}\\y^{5}-z^{4}\end{aligned}}

因此，它的定義素理想是

(x^{4}-y^{3},x^{5}-z^{3},y^{5}-z^{4})

它有三個生成元，但只有高度 2。我們可以利用定理 1.8A 中給出的維數-高度公式來證明這一點。由於 $B$ 的維數為 $3$ ，而 $B/{\mathfrak {p}}$ 的維數為 1（因為它同構於 $\mathbb {A} ^{1}$ ），因此它具有高度 2。

1.12

多項式 $y^{2}-x^{3}+7x-4$ 定義了平面中具有兩個分支的橢圓曲線的方程。這可以透過使用 desmos 來檢視。透過改變不同的次數和不同的引數可以得到更多的解，只要確保係數不會迫使唯一解成為有限點集或所有複數點。例如，多項式 $f(x,y)=y^{2}-x^{3}+7x-i$ 沒有實數解，因為任何 $f(a,b)$ 都不可能等於 $i$ ，除非 $a,b$ 之一是非實數。

仿射代數群

群環

仿射代數群 是一個代數集，它也具有群結構（並且為了以後，群結構是代數簇的態射）。例如，集合

\{(x,y,z,w)\in \mathbb {A} ^{4}:xw-yz\neq 0\}

定義了代數群 ${\text{GL}}(2,k)$ 。我們可以更直觀地寫這個開集為

\left\{{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\in \mathbb {A} ^{4}:\det {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}=xw-yz\neq 0\right\}

我們也可以定義 ${\text{GL}}(n,k)$ 作為 $\mathbb {A} ^{n^{2}}$ 的子集，其中行列式的多項式不為零。

SL det = 1
G_m = GL -> 座標環 k[x,x^-1]
有限群 -> 嵌入某個 S_n -> 嵌入具有對 A^n 的明顯作用 -> 每個有限群都是一個仿射代數群
迴圈群

群作用

群對集合的作用
不變多項式
商簇

射影簇

幾何定義

Hartshorne 從定義射影空間開始，它是元組 $(a_{0},\ldots ,a_{n})$ 的等價類的集合，其中

(a_{0},\ldots ,a_{n})\sim \lambda \cdot (a_{0},\ldots ,a_{n})\sim (\lambda a_{0},\ldots ,\lambda a_{n})

它們通常表示為 $[a_{0}:\cdots :a_{n}]$ 。為了習慣這些等價類，考慮點 $p\in \mathbb {P} ^{2}$ ，其中 $p=[1:2:i]$ 。我們有以下等價表示

{\begin{aligned}p&=[1:2:i]\\&=2\cdot [1:2:i]\\&=[2:4:i]\\&=i\cdot [1:2:i]\\&=[i:2i:-1]\end{aligned}}0

您可以將此視為比例的推廣，因為任何比例 $a:b$ 可以表示為 $[a:b]\in \mathbb {P} ^{1}$ 中的元素。

另一種有用且等價的思考方式是將 $\mathbb {P} ^{n}$ 看作 $\mathbb {A} ^{n}-\{0\}$ 除以 $k^{*}$ 作用的商。 $\lambda \cdot (a_{0},\ldots ,a_{n})=(\lambda a_{0},\ldots ,\lambda a_{n})$ 。事實證明，這種思考方式使理論的更多部分得以發揮作用。檢視這些筆記獲取更多資訊。

為了在 $\mathbb {P} ^{n}$ 上定義函式到 $\mathbb {A} ^{1}$ ，我們需要確保它們關於 $k^{*}$ -作用是定義良好的。如果我們乘以某個 $\lambda \in k^{*}$ ，值需要保持相同，所以

f([a_{0}:\cdots :a_{n}])=f(\lambda \cdot [a_{0}:\cdots :a_{n}])=f([\lambda \cdot a_{0}:\cdots :\lambda \cdot a_{n}])=g(\lambda )f([a_{0}:\cdots :a_{n}])

對於某個 $g:\mathbb {A} ^{1}-\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ 。但由於每個 $p\in \mathbb {A} ^{1}-\{0\}$ 關於 $k^{*}$ -作用是等價的，而 $0\in \mathbb {A} ^{1}$ 具有一個平凡的 $k^{*}$ -作用，我們只能考慮函式

f:\mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {A} ^{1}/k^{*}\cong \{0,1\}

其中 $f(p)=1$ 如果 $f$ 在 $p$ 處不為零。事實證明，所有這樣的函式都必須是 **齊次多項式**。上面連結的筆記更詳細地解釋了這一點，但 Hartshorne 繼續描述了相關的代數，解釋了這些多項式是什麼以及如何找到它們。

代數定義

分級環和理想

代數上，我們可以使用分級來編碼齊次元素的結構。也就是說，我們將環 $S$ 分解為阿貝爾群 $S_{d}$ ，使得

S=\bigoplus _{d\geq 0}S_{d}

並且這些群在乘法方面表現良好，也就是說，對於 $d,e\geq 0$ $S_{d}\cdot S_{e}\subseteq S_{d+e}$ 。我們將帶分級的環 $S$ 記為 $S_{\bullet }$ ，並稱其為分級環。例如，在環 $S=k[x,y,z]$ 中，我們可以定義 $S_{d}$ 為 $S$ 中次數為 $d$ 的齊次多項式的阿貝爾群。然後我們可以將 $S$ 分解為

S_{\bullet }=k\oplus k\cdot \{x,y,z\}\oplus k\cdot \{x^{2},xy,xz,y^{2},yz,z^{2}\}\oplus \cdots

其中 $k\cdot \{x,y,z\}$ 表示由三個元素 $x,y,z$ 生成的 $k$ -向量空間的底層阿貝爾群。例如， $xy^{2}+xz^{2}+z^{3}\in S_{3}$ 。這種形式的分級環可以用來構建其他分級環。我們可以稱理想 $I\subset S$ 為 **分級** 的，如果它是由齊次元素生成的。也就是說，我們可以找到 $f_{i}\in S_{d_{i}}$ 使得 $(f_{1},\ldots ,f_{k})=I$ 。然後，我們可以考慮 $S_{d}$ 中由 $I$ 中的元素生成的子群作為 $I_{d}$ ，從而使 $I$ 具有分級的結構。然後我們可以形成一個分級環

(S/I)_{\bullet }=S_{\bullet }/I_{\bullet }={\frac {S_{0}}{I_{0}}}\oplus {\frac {S_{1}}{I_{1}}}\oplus {\frac {S_{2}}{I_{2}}}\oplus \cdots

例如，考慮理想 $I=(f_{1},f_{2})=(xy,x^{3}+y^{3}+z^{3})\subset k[x,y,z]$ 。由於生成元都是齊次的，我們可以給理想 $I$ 分級

{\begin{aligned}I_{\bullet }&=&I_{0}&\oplus &I_{1}&\oplus &I_{2}&\oplus &I_{3}&\oplus &I_{4}&\oplus &I_{5}&\oplus &\cdots \\&=&0&\oplus &0&\oplus &k\cdot \{xy\}&\oplus &k\cdot \{x^{3}+y^{3}+z^{3}\}&\oplus &0&\oplus &k\cdot \{xy(x^{3}+y^{3}+z^{3})\}&\oplus &\cdots \end{aligned}}

射影簇

類似於仿射零點集，我們可以構造射影代數集。給定一個齊次多項式 $f\in S_{\bullet }=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]$ ，我們可以形成**零點集**

Z(f)=\{p\in \mathbb {P} ^{n}:f(p)=0\}

類似地，對於一組 $T$ 齊次元素在 $S_{\bullet }$ 中，我們可以形成一個代數集，其中所有點在 $T$ 中的每個元素上都消失。然後，**射影代數簇**是 $\mathbb {P} ^{n}$ 中一個不可約代數集，配備了誘導的拓撲。正如你所期望的那樣， $\mathbb {P} ^{n}$ 具有**扎里斯基拓撲**，其閉集是代數集。

透過上一節，我們可以討論射影代數簇的關聯分級座標環。給定一個分級理想 $I_{\bullet }$ ，我們可以找到由 $I_{\bullet }$ 中每個元素的消失所定義的射影代數集 $Z(I_{\bullet })$ 。例如，在分級理想上的消失集

I_{\bullet }=(xy^{2},(x+y+z)^{5})

是集合

\{[x_{0}:y_{0}:z_{0}]\in \mathbb {P} ^{n}:x_{0}\cdot y_{0}=0{\text{ and }}x_{0}+y_{0}+z_{0}=0\}

注意，多項式的某些次數已經改變了！這是由於投影環境下 Nullstellensatz 的類似物。本節中的第一個練習之一是證明這個定理。類似於練習 I.1.3，我們可以分析消失集的樣子。在第一個方程式中，請注意，要麼 $x_{0}$ 或 $y_{0}$ 必須等於 $0$ 。如果我們採用第一種情況，那麼這就是子集 $[0:y_{0}:z_{0}]$ ，其中 $y_{0}+z_{0}=0$ 。這意味著它是點 $[0:y_{0}:-y_{0}]=[0:1:-1]$ 。我們可以對 $y_{0}=0$ 做類似的分析，得到點 $[1:0:-1]$ 。這些是該代數集中的所有點，但它不是一個簇，因為它是由兩個不可約分量的不交併集構成的。如果我們要找到相應的環，它是