使用算盤/基本概念
當人類聚集在一起，數量足夠大以至於以物易物或貿易運營變得重要時，對基本會計的需求就產生了，這反過來需要能夠計算到高位數、執行基本算術運算並保留交易的永久記錄。因此，算術和寫作似乎起源於這種需求。
至於基本算術運算，“這些似乎普遍使用某種算盤來完成”[1]，也許使用它的第一個歷史證據是在原楔形文字字元中找到的：SANGA，它出現在大約 5000 年前蘇美爾抄寫員在泥板上的簽名中，亞述學家將它與這種裝置聯絡在一起[1]。
一個算盤是一種工具或儀器，其中數字以物理方式表示，允許以機械方式模擬算術運算。
在算盤中，數字由“計數器”或“標記”（卵石、種子、貝殼、硬幣等、棒等）表示，併為其分配數值。計數器不必都相同或具有相同的分配值。為了表示一個數字，我們將在桌子或任何合適的表面上將必要的計數器排列在一起，這與我們如何取一系列硬幣來達到一定數量的錢的方式類似；這是相同的過程。
加法是透過收集表示兩個加數的計數器集來模擬的，而減法是透過從表示被減數的計數器集中移除表示減數的計數器集來模擬的。考慮最簡單的情況，我們只使用具有分配值為 1 的相同計數器。
在上圖中，我們排列了四個值為 1 的計數器來表示數字 4（左-a），在附加了另外三個表示數字 3 的計數器（左-b）之後，我們就有了數字 7 的表示（左-c）；也就是說，和 4 + 3。類似地，如果我們從數字 7 的表示開始（右-a），並移除表示數字 4 的計數器集（右-b），桌子上剩下的就是 3 或減法的結果：7-4（右-c）。
請注意，要執行上述操作，不必瞭解加法或減法表，特別是您不需要知道 4 + 3 = 7 或 7 - 4 = 3，您只需要知道如何操作計數器；相反，是算盤將使您“發現”4 + 3 的結果是 7，而 7 - 4 的結果是 3！這是關於算盤使用的一個基本要點，我們將在加減章中重新討論。
通常認為，在算術中，有四個基本運算：加法、減法、乘法和除法，任何其他計算（例如求平方根）最終都可以簡化為這四個基本運算的序列。但乘法可以看作是重複的加法，就像除法可以看作是重複的減法一樣，因此任何算術計算最終都可以簡化為加減序列（而且，從現代的角度來看，加減只是數字相同加性合成律的兩個方面）。因此，原則上可以使用算盤執行任何算術計算。但這如果沒有對我們簡陋的算盤進行一些改進，將極其困難甚至不可能。
對於上面使用的算盤（只有具有分配值為 1 的相同計數器），很明顯，如果我們開始使用越來越大的數字，我們的桌子（算盤）將被計數器塞滿，使其使用和解釋變得不切實際。我們需要一種方法來減少操作的物理物件數量，計數器，並將其控制在我們舒適的範圍內。有兩個解決方案
- 使用具有不同分配值的物理上不同的計數器。這是最原始的系統，早在 5000 多年前就被蘇美爾人使用……並且直到今天仍在使用，因為任何當前貨幣系統中不同面值的硬幣和紙幣的使用完全符合算盤的這一概念。
- 在我們的桌子（算盤）中定義空間區域，以便計數器根據它所佔的區域來表示一個值或另一個值。
讓我們看一個例子。在上圖中，我們使用原始算盤加了 7 + 7（a 和 b），結果是 14，顯示為一個滿是計數器的混亂表格（c）。我們可以用一個具有更高分配值的物理上不同的計數器來替換其中的一些計數器，例如 10（替換值）。有了這個，我們的算盤狀態更容易解釋（d），因為它已經簡化了，因為 10 個 1-計數器被一個 10-計數器取代了。
或者，我們可以考慮算盤被分成兩個空間區域，並使用相同的計數器，根據我們放置它的區域，我們將為其分配一個值或另一個值。在上圖中的 (e) 中，算盤被分成兩個區域，左邊和右邊，由雙垂直線隔開。如果我們將右邊計數器分配一個值為 1，而將左邊分配一個值為 10，那麼數字 14 將如所示表示。這種操作方式比前一種更可取，因為我們可以重複這個過程，根據需要定義儘可能多的區域，並使用適合我們的替換值，從而允許我們用一種型別的一定數量的計數器來表示任意大的數字，例如，在 (f) 中，我們用三個區域和兩個替換值 10 來描繪了 114；我們只需要 6 個計數器。我們在這裡見證了位置計數法的誕生。
在繼續之前，有必要說明存在兩種主要的算盤型別
- 自由計數器或臺式算盤：計數器是獨立的，通常放在盒子或袋子裡，並在需要時放置或移除。這是最原始的型別，也是我們迄今為止在這裡考慮過的型別。
- 固定珠算盤：計數器，在這種情況下稱為珠子，始終存在，整合在一個框架中，可以沿著槽、軌道、繩子、線或杆從非活動位置滑動到活動位置。這是最複雜、便攜、緊湊的型別，可以更快地計算，並且正如我們將看到的，這本書專門介紹的東方算盤就是這種型別。
現在我們可以提到俄羅斯算盤（Schoty）、伊朗算盤（Chortkeh）和學校算盤作為符合我們迄今為止解釋的固定珠算盤的例子。兩者都由一個木製框架組成，框架上水平排列著幾根線，在俄羅斯算盤的情況下，在線上穿了十顆珠子，在伊朗算盤的情況下，穿了九顆珠子。珠子可以從非活動位置（右邊）滑動到活動位置（左邊），每根線代表前面提到的一個區域，替換值為 10，因此，每根線上的一顆珠子與立即位於它下方的珠子相比，其關聯值高十倍。
這些算盤具有允許以十進位制表示法表示的數字進行算術運算所需的一切：幾根杆代表十的連續次冪，9 顆珠子代表 0 到 9 的數字（為了方便起見，俄羅斯算盤比嚴格需要的多一顆珠子）。您可以在此連結上嘗試俄羅斯算盤模型。
但我們還需要最後一次改進才能完全理解東亞算盤。
快速心算是指對少量物品進行快速、準確、自信的數字判斷。如果要計數的物體數量最多為 4 或 5，我們可以做出這樣的判斷；從那裡開始，我們將不得不花時間計數。在俄羅斯和伊朗算盤中，我們每根杆有 9 或 10 顆珠子，因此表示的數字的讀數可能會超過快速心算的限制。這可以透過使用兩種不同顏色的珠子來緩解，如前面的影像所示，但還有幾個額外的技巧，不僅可以讓我們保持在快速心算的範圍內，而且還可以減少算盤中需要的珠子數量。
在上圖 (a) 中，我們用兩個區域（杆）表示了數字 18；其中一個包含 8 個計數器，超過了快速心算的限制。為了簡化算盤的讀數，我們可以
- 使用不同型別的計數器，其替換值為 5（b）。
- 將區域或杆細分為兩個區域：一個區域中的計數器取值為 1，另一個區域中的計數器取值為 5（c,d）。
無論哪種情況，我們每個區域不需要超過四個相同的計數器就能用十進位制表示數字，因此保證了算盤的快速讀數。當使用 5 作為第二個替換值時，我們使用 二五進位制記數法 來表示數字。這兩種解決方案的例子分別是算籌和東方算盤。
算籌 是一種臺式算盤或自由計數算盤，其計數器是木頭、竹子、骨頭等製成的小棍子，排列在平面上，可以或不可以使用棋盤。順便說一下，這種算盤至少統治了 中國數學 14 個世紀，統治了 日本數學 (和算) 直到明治維新，它可能是歷史上最通用的算盤，儘管不幸的是它也是非常慢的。
在上圖 (a) 中，我們使用垂直排列的算籌作為值為一的計數器來表示數字 18。在 (b) 中，我們使用水平排列的算籌作為值為五的計數器，在 (c) 中，我們使用更緊湊的算籌排列，根據我們使用的是光滑的桌子還是棋盤，算籌的排列方向可以交替或不交替 (參見 維基百科 中的詳細資訊)。1 到 9 的數字表示如下：
零用棋盤上的空格或桌子上的空間或其他物體 (例如，圍棋子) 來表示。例如，數字 1547 將表示為
有趣的是，它是已知的唯一一種使用計數器的方向來給它們分配一個值或另一個值的算盤；但我們發現，在算籌出現之前幾個世紀，用六十進位制表示數字的巴比倫數字就存在這種概念，如果不是先例的話。每個六十進位制數字都是由在新鮮的泥板上用蘆葦筆在邊緣上垂直刻下的單位值 (
, 
, 
, 
, ..., 
)，以及用蘆葦筆逆時針旋轉 45 度或更大的值為 10 的刻痕 (
, 
, 
, 
, 
)。十進位制數 1547 用六十進位制表示為 25:47，其中“25”和“47”是兩個六十進位制數字，寫成：
和 
這些數字的外觀表明它們可以直接用算籌在臺式算盤上表示。
第二種解決方案是羅馬算盤和在中國出現的算盤都採用的解決方案。
雖然我們知道一些羅馬算盤的例子，比如圖中的那個，其中珠子沿著凹槽滑動，但關於東方算盤的起源我們一無所知。徐嶽 (Xu Yue) 的 《數術記遺》 (Shushu Jiyi) 中有一句令人困惑的話語，它可能可以追溯到 2 世紀，經常被引用來描述一種計算裝置，我們可以將其識別為算盤，並且它已經被解釋為不同的方式[2]，就像上圖 (a) 中那樣。在這種對第一個中國算盤作為臺式算盤的解釋中，中央部分被分成一系列有兩部分的列；上面一部分會給每個珠子分配一個值為 5 的值，下面一部分分配一個值為 1 的值，而未使用的珠子則散落在中央部分的上方和下方[3]。
什麼時候出現了串在算籌上的算盤珠子我們尚不清楚，但當這種算盤在 16 世紀取代了算籌的使用時，它並沒有像羅馬算盤那樣有四個下珠和一個上珠 (我們將這種排列稱為 4 + 1 型算盤)，而是在下部有五個珠子，在上面有二個珠子 (5 + 2 型算盤)，中間用一根橫樑隔開。這些額外的珠子對於十進位制數的計算來說並不必要，它們是為方便起見而引入的，以便將用算籌開發的計算演算法適應到算盤上。從歷史上看，圖中所示的四種算盤已經被使用過。
從符號上看，算盤的上部和下部分別被稱為天 (天, Tiān 在中文中，Ten 在日語中) 和地 (地, De 在中文中，Chi 在日語中)。
本書將重點介紹使用 4 + 1 型算盤或現代算盤，遵循我們稱之為現代算盤方法。如果您已經理解了任何算盤的原理，並學會使用現代算盤，那麼您將很容易想象如何使用任何其他型別的算盤，至少對於加減法的基本運算來說是這樣。這可能包括，為什麼不呢？伍茲[1]推測的用於六十進位制計算的算盤，作為基於我們對美索不達米亞數學的瞭解的巴比倫算盤...以及抄寫員犯的錯誤！
最後，如果您在按照本書學習現代算盤並獲得一些經驗後，想了解傳統的技巧和使用 5 + 2 型算盤的方法，您可以繼續閱讀本書：傳統算盤和珠算.
參考文獻
[edit | edit source]- ↑ a b c Woods, Christopher (2017), "The Abacus in Mesopotamia: Considerations from a Comparative Perspective", The First Ninety Years: A Sumerian Celebration in Honor of Miguel Civil, De Gruiter, ISBN 9781501511738
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- ↑ Kojima, Takashi (1963), Advanced Abacus: Theory and Practice, Tokyo: Charles E. Tuttle Co., Inc., ISBN 978-0-8048-0003-7
外部資源
[edit | edit source]算盤訓練器
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它可以被用作 4+1、5+1 或 5+2 型算盤。