0.999.../小數乘以一個小數

無限小數的乘法通常具有挑戰性，因為它涉及大量的進位。幸運的是，正如加減的情況一樣，我們對不涉及任何進位的恆等式感興趣。

假設

如果有兩個小數 $A = a 0 . a 1 a 2 a 3 \dots$ 和 $B = b 0 . b 1 b 2 b 3 \dots$ 以及一個整數 $m$ 使得對於每個索引 $n$ ， $m \times a n = b n$ ，則 $m \times A = B$ .

B=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{10^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }m{\frac {a_{n}}{10^{n}}}.

接下來我們應用這樣一個事實，即級數的標量倍數可以逐項計算

B=m\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{10^{n}}}=mA.