0.999.../利用等比數列公式證明

假設

• 級數定義
• 等比數列公式

證明

利用無窮小數的值的級數定義，

$0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots .\,$

這是一個公比為1/10的等比數列。運用等比數列公式，

$0.999\ldots =9\left({\tfrac {1}{10}}\right)+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{3}+\cdots ={\frac {9\left({\tfrac {1}{10}}\right)}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.\,$

備註

回顧一下，

$\sum _{n=0}^{\infty }ax^{n}=\lim _{t\to \infty }{\frac {a(1-x^{t})}{1-x}}\underbrace {=} _{{\text{Given }}|x|<1}{\frac {a}{1-x}}$