0.999.../幾何級數公式

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+...$被稱為幾何級數。

如果，$|x|<1$，則該級數收斂於

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}$

證明：定義部分和 $S_{n}$

$S_{n}=\sum _{n=0}^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+...x^{n-1}$

$xS_{n}=\sum _{n=0}^{n}=..+x+x^{2}+x^{3}+...x^{n-1}+x^{n}$

注意，兩個部分和都有 n 項。當它們相減時，只有$xS_{n}$中的第一項和最後一項將保留。

$S_{n}-xS_{n}=1-x^{n}$，很容易解出 $S_{n}$

注意，我們沒有確定無限級數何時收斂。這需要理解當我們將部分和的極限取為 n 趨於無窮大時會發生什麼。這留給讀者作為問題 1。

示例問題：

1. 證明部分和序列，$\{S_{n}\}_{n=1}^{\infty }=\{S_{1},S_{2},S_{3},...\}$，如果 $|x|<1$則收斂。
2. 這可以用來將其他迴圈小數轉換為分數。為了教學目的，最好從已知分數開始。從這樣一個列表，我們考慮：0.181818... 。將它轉換為有理分數。

腳註

• 另見 Calculus/Sequences and Series/Exercises