資料表示基礎：進位制

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進位制

來自規範：資料表示基礎 - 進位制

熟悉進位制的概念，特別是

十進位制（基數 10）
二進位制（基數 2）
十六進位制（基數 16）。

在十進位制、二進位制和十六進位制之間進行轉換。

在我們深入數制的世界之前，我們需要一個參考點，我建議您複製下表，以便在本章中隨時參考以檢查您的答案。

十六進位制	二進位制	十進位制
0	0000	0
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	3
4	0100	4
5	0101	5
6	0110	6
7	0111	7
8	1000	8
9	1001	9
A	1010	10
B	1011	11
C	1100	12
D	1101	13
E	1110	14
F	1111	15
10	0001 0000	16

十進位制

十進位制是您可能從小就使用的數制。它也是基數 10 的另一種說法。這意味著每個數字可以使用 10 個不同的數字，即

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

請注意，如果我們想說“十”，我們會使用上面數字中的兩個數字 1 和 0。

千位	百位	十位	個位
10³	10²	10¹	10⁰
1000	100	10	1
5	9	7	3

使用上表，我們可以看到每一列都有一個不同的值分配給它。如果我們知道列值，我們就可以知道數字，這在我們開始檢視其他進位制系統時將非常有用。顯然，上面的數字是：五千、九百、七十和三個單位。

5*1000 + 9*100 + 7*10 + 3*1 = 5973₁₀

二進位制

二進位制是一個基數為 2 的數制，這意味著每個數字可以使用兩個數字

0, 1

使用這兩個數字，我們應該能夠寫出（或近似）所有可以用十進位制寫出的數字。

一百二十八位	六十四位	三十二位	十六位	八位	四位	兩位	個位
2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	1	0	1	0	1	0

使用上表，我們可以看到每一列都有一個分配給它的值，該值是 2 的冪（基數！），如果我們取這些值和相應的數字，我們可以計算出數字的值：1*64 + 1*32 + 1*8 + 1*2 = 106。

如果要求您計算二進位制數字的值，最好的起點是用其對應值標記每一列，並將所有包含 1 的列加起來。讓我們看另一個例子

00011111₂

128	64	32	16	8	4	2	1
0	0	0	1	1	1	1	1

因此，現在我們需要做的就是將包含 1 的列加起來：1*16 + 1*8 + 1*4 + 1*2 + 1*1 = 31

練習：二進位制

將以下二進位制數轉換為十進位制

00001100₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	0	0	0	1	1	0	0

8+4 = 12₁₀

01011001₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	0	1	1	0	0	1

64 + 16 + 8 + 1 = 89₁₀

00000111₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	0	0	0	0	1	1	1

4 + 2 + 1 = 7₁₀

01010101₂

答案

128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	0	1	0	1	0	1

64 + 16 + 4 + 1 = 85₁₀

我們如何判斷一個二進位制數是否為奇數？

答案

其最右邊的數字為 1

是否有一種快捷方式來計算由連續 1 組成的二進位制數，例如：01111111₂

答案

是的，取第一個 0 的列值減 1

128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	1	1	1	1	1	1

= 128 - 1 = 127 = 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1

00001111₂ = 16 - 1 = 15 = 8 + 4 + 2 + 1

00000111₂ = 8 - 1 = 7 = 4 + 2 + 1

如果我們要使用八進位制（一個基數為 8 的數制），列出每個數字可以取的不同數字

答案

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

十六進位制

來自規範：資料表示基礎 - 進位制

熟悉並能夠使用十六進位制作為二進位制的簡寫，並理解它為什麼以這種方式使用。

您可能會從表中注意到，一個十六進位制數字可以精確地表示 4 個二進位制位。十六進位制對我們來說是一種書寫二進位制的簡寫方式，並且可以更輕鬆地處理長二進位制數字。

計數是一個基本概念，使用符號來表示一組物件。我們習慣於使用 10 個這樣的符號（0-9）進行計數。當我們用完符號時，我們開始一列新的數字來表示更大的值集合。還有其他使用不同數量符號的計數方法，但是，計數過程以相同的方式進行。

十六進位制是一個基數為 16 的數制，這意味著我們將有 16 個不同的數字來表示我們的數字。唯一的問題是我們在 9 之後用完了數字，並且知道 10 被計為兩位數，我們需要使用字母來代替

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

我們可以對十進位制和二進位制執行完全相同的事情，並寫出我們的表格。

16⁵	16⁴	16³	16²	16¹	16⁰
1 048 576	65536	4096	256	16	1
0	0	3	4	A	F

因此，現在我們需要做的就是將包含值的列加起來，但請記住 A = 10，B = 11，C = 12，D = 13，E = 14，F = 15。

3*4096 + 4*256 + (A)10*16 + (F)15*1 = 13487₁₆

您可能想知道，當我們有二進位制和十進位制時，以及當計算機以二進位制方式儲存和計算所有內容時，為什麼我們要使用十六進位制。答案是它完全是為了人類的方便。考慮以下示例

表示	基數
EFFE11₁₆	基數 16 十六進位制
15728145₁₀	基數 10 十進位制
111011111111111000010001₂	基數 2 二進位制

所有數字都是相同的，最容易讓人記住/理解的版本是基數 16。十六進位制用於計算機中表示供人類使用的數字，用於記憶體地址、錯誤或顏色程式碼等內容。注意：十六進位制之所以使用，是因為它是二進位制的簡寫，並且更容易讓人記住。它不會佔用計算機記憶體中的更少空間，只在紙上或在你的腦海中！計算機仍然必須將所有內容儲存為二進位制，即使它在螢幕上顯示為十六進位制。

A colour palette showing each colour can be shown as a hexadecimal code — 一個顯示每種顏色的調色盤可以用十六進位制程式碼表示

Error messages are written using hex to make it easier for us to remember and record them — 錯誤訊息使用十六進位制編寫，以便我們更容易記住和記錄它們

練習：十六進位制

將以下十六進位制數轉換為十進位制
A1₁₆

答案

16  1
 A  1

16 * 10 + 1 * 1 = 161₁₀

FF₁₆

答案

16  1
 F  F

16 * 15 + 1 * 15 = 255₁₀

0D₁₆

答案

16  1
 0  D

16 * 0 + 1 * 13 = 13₁₀

37₁₆

答案

16  1
 3  7

16 * 3 + 1 * 7 = 55₁₀

我們為什麼要使用十六進位制系統？

答案

十六進位制用於人類，因為它更短，更容易理解和閱讀。

列舉十六進位制系統的一個用途

答案

十六進位制用於錯誤訊息程式碼、記憶體地址和顏色程式碼

進位制轉換

您之前看到的從十六進位制轉換為十進位制的求和看起來有點麻煩，並且在考試中您不希望出現任何錯誤，因此我們必須找到一種更簡單的方法來進行轉換。

由於 4 個二進位制位由一個十六進位制數字表示，因此在兩者之間進行轉換非常簡單。您可以將二進位制位分組為 4 位一組，從右開始，並在需要時在左側新增額外的 0，然後將每個組轉換為其十六進位制等效項。例如，二進位制數 0110110011110101₂ 可以這樣寫

0110 1100 1111 0101

然後透過使用上表，您可以將每組 4 位轉換為十六進位制

0110 1100 1111 0101
  6    C    F    5

因此，二進位制數 0110110011110101₂ 在十六進位制中為 6CF5₁₆。我們可以透過將兩者都轉換為十進位制來檢查這一點。首先我們將轉換二進位制數，因為您已經知道如何執行此操作

32768	16384	8192	4096	2048	1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
0	1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	0	1	0	1

透過將列相乘然後將結果相加，答案為 27893₁₀。

注意列標題都是2的冪， $1=2^{0}$ ， $2=2^{1}$ ， $4=2^{2}$ ， $8=2^{3}$ ，等等。要將十六進位制轉換為十進位制，我們必須使用以16為底的冪作為列標題，如下所示。

$16^{3}=$ 4096	$16^{2}=$ 256	$16^{1}=$ 16	$16^{0}=$ 1
6	C	F	5

$5\times 1=5$

$15\times 16=240$ （你應該記住A-F的值）

$12\times 256=3072$

$6\times 4096=24576$

將它們全部加起來，我們得到27893₁₀，這表明0110110011110101₂等於6CF5₁₆。

要將十進位制轉換為十六進位制，建議先將數字轉換為二進位制，然後使用上述簡單方法將二進位制轉換為十六進位制。

總之，要將一個數字轉換為另一個數字，我們可以使用以下規則：十六進位制 <-> 二進位制 <-> 十進位制

練習：十六進位制和進位制轉換

將以下十六進位制值轉換為十進位制

12₁₆

答案

  1    2  (Hex)
0001 0010 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  0  0  1  0  0  1  0 = 16+2 = 18₁₀ (decimal)

A5₁₆

答案

  A    5  (Hex)
1010 0101 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  1  0  1  0  0  1  0  1  = 128+32+4+1 = 165₁₀ (decimal)

7F₁₆

答案

  7    F  (Hex)
0111 1111 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  1  1  1  1  1  1  1  = 64+32+8+4+2+1 = 127₁₀ (decimal)

10₁₆

答案

  1    0  (Hex)
0001 0000 (Binary)

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  0  0  1  0  0  0  0  = 16₁₀ (decimal)

將以下二進位制數轉換為十六進位制

10101101₂

答案

1010 1101 (Binary)
  A    D  (Hex)

110111₂

答案

0011 0111 (Binary)
  3    7  (Hex)

10101111₂

答案

1010 1111 (Binary)
  A    F  (Hex)

111010100001₂

答案

1110 1010 0001 (Binary)
  E    A    1  (Hex)

將以下十進位制數轉換為十六進位制

87₁₀

答案

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  1  0  1  0  1  1  1  = 64+16+4+2+1 = 87₁₀ (decimal)

0101 0111 (Binary)
  5    7  (Hex)

12₁₀

答案

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  0  0  0  1  1  0  0  = 8+4 = 12(decimal)

0000 1100 (Binary)
  0    C  (Hex)

117₁₀

答案

128 64 32 16  8  4  2  1
  0  1  1  1  0  1  0  1  = 64+32+16+4+1 = 117(decimal)

0111 0101 (Binary)
  7    5  (Hex)

為什麼可能使用十六進位制？

答案

以便使錯誤訊息和記憶體地址等內容更容易讓人類理解、閱讀和記憶——因為它們更短。

給出十六進位制的兩種用途？

答案

錯誤訊息程式碼
記憶體地址位置
顏色程式碼