A-level 數學/MEI/C1/代數

代數是處理數量關係的數學分支。在方程中，等號兩邊相等，在不等式中，一邊通常大於另一邊。

方程由兩個用等號 ($=$) 連線的表示式組成。左側的所有內容都等於右側的所有內容，例如 $2+3=4+1$。一些方程包含一個**變數**，通常用 $x$、$y$ 或 $z$ 表示。包含變數的方程只有在變數取某些特定值時才成立。例如 $2+x=5$ 只有在 $x=3$ 時才成立。當方程成立時，變數所取的值稱為方程的**解**。因此 $x=3$ 是方程 $2+x=5$ 的解。

代數語言

在開始學習代數之前，你需要熟悉一些術語。

變數

變數是一個數量，其值通常未知。通常，變數用符號$x$表示，儘管可以使用任何字母。

常數

常數通常是一個已知量，不涉及變數。稍後您將遇到未知常數，它們通常用符號$c$表示。

指數

通常，指數是寫在符號上標（略高於）的任何東西。指數通常用於表示某個數的冪，例如$x^{3}$（讀作x的三次方），它與$x\times x\times x$相同。

表示式

表示式是一組形成數學語句的符號。$2+2$是一個表示式的例子。

項

項可以是任何變數、常數或變數或常數的乘積，它們由$+$或$-$符號分隔。在表示式$3x+4xy-2y$中，單獨的項是$3x$、$4xy$和$2y$。

係數

係數是項的常數部分，它乘以項的變數部分。例如，在$2x^{3}$中，$x^{3}$的係數是$2$。

方程

方程是一個數學語句，它說明兩件事相等。在兩個表示式之間有一個等號（$=$）。$2+2=4$是一個方程的例子，$3+x=7$也是。

恆等式

恆等式是一個包含未知數的方程，對於該未知數的所有值都成立。恆等式符號（≡）用於代替等號。例如，$x-x=0$ 無論$x$ 的值為多少，始終是正確的。當您想強調它是恆等式而不是僅僅是方程時，通常寫成 $x-x$ ≡ $0$。

函式

函式將一個輸入值關聯到一個輸出值。$x$ 的函式通常記為 $f(x)$。 $f(x)=x^{2}$ 是一個函式的例子。一旦定義了函式，就可以寫成 $f(3)=3^{2}=9$。 $f(x)={\sqrt {x}}$ 不是一個函式，因為對於每個輸入，都有兩個輸出值（正數和負數）。

表示式運算

有時，表示式會比需要的複雜，它們可以用更容易理解的形式表示。雖然您很可能已經在 GCSE 中學習過這些技能，但它們對於 A-level 課程的其餘部分至關重要。

合併同類項

合併同類項時，您只需將所有$x$ 的項加在一起，將所有$y$ 的項加在一起，以及將所有$z$ 的項加在一起。對於表示變數的任何其他字母，也同樣適用。

例如，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 變為

$2x-3x+4x=3x$

$4y-7y=-3y$

$8z-2z=6z$

因此，將所有答案相加，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$化簡後為$3x-3y+6z$。

乘法

不同變數的乘法，例如$a\times b$ 變為 $ab$。單個變數變成指數，所以 $x\times x$ 是 $x^{2}$。

與加法和減法一樣，我們將同類項放在一起。例如

$2x^{2}z\times 3yz^{2}\times 4xy^{3}$ 變為

$2\times 3\times 4\times x^{2}\times x\times y\times y^{3}\times z\times z^{2}$

最終可以簡化為

$24{x^{3}}{y^{4}}{z^{3}}$

括號展開

以下示例說明了括號展開的技巧。

$(8x+5y)(3x-6y)$

$=(8x+5y)3x-(8x+5y)6y=8x(3x-6y)+5y(3x-6y)$ 使用首尾項相乘法(FOIL)

F=> 每個括號中的首項 8x . 3x =24x^2 O=> 外項(第一個括號的首項乘以第二個括號的末項) 8x . -6y = -48xy I=> 內項(第一個括號的末項乘以第二個括號的首項) 5y . 3x =15xy L=> 每個括號中的末項 5y . -6y = -30 y^2

並將各項合併(通常只有中間兩項) 24x^2 -48xy +15xy -30y^2 答案 24x^2-33xy-30y^2

因式分解

有時，表示式可以重寫為其因式的乘積。您可以將表示式除以表示式中所有項的公因式。這本質上與括號展開相反，因為大多數情況下，公因式放在括號之外。例如

要分解因式$10x+15y$，你必須首先找到$10x$和$15y$的公因數。$5$很容易被發現是一個因數。現在你用$5$去除整個表示式，得到$2x+3y$。將$2x+3y$放在括號內，然後將$5$放在括號外。現在分解因式的表示式為$5(2x+3y)$，你可以將表示式展開以確保你得到原始表示式。

另一個表示式，$x^{2}-xy^{2}+3xz$有一個公因數$x$。這個表示式的分解因式形式是$x(x-y^{2}+3z)$。

分數

在處理分數時，規則是使所有分母相等，然後將表示式寫成一個分數。你需要同時乘以分子和分母相同的數，以保持分數的含義不變。

例如，對於${\frac {3x}{2}}+{\frac {2y}{5}}-{\frac {z}{10}}$，公分母是$10$。

將分子和分母都乘以$5$：${\frac {15x}{10}}$

將分子和分母都乘以$2$：${\frac {4y}{10}}$

保持不變：${\frac {z}{10}}$

你現在有${\frac {15x}{10}}+{\frac {4y}{10}}-{\frac {z}{10}}$，它可以簡化為${\frac {15x+4y-z}{10}}$。

解方程

通常，要解方程，必須對其進行重新排列，使未知項位於等號的一側。透過將$2+x=5$重新排列為$x=5-2$，$x$已成為方程的**主元**。現在透過簡化方程，您可以發現解是$x=3$。

改變方程的主元

您通常會得到比上述示例更復雜的方程。要將一項從等號的一側移到另一側，您必須在等號的兩側執行相同的操作。例如，要使$x$成為$y={\frac {4a(x^{2}+b)}{3}}$的主元

兩邊乘以$3$	$3y=4a(x^{2}+b)$
兩邊除以$4a$	${\frac {3y}{4a}}=x^{2}+b$
兩邊減去$b$	${\frac {3y}{4a}}-b=x^{2}$
兩邊開平方	$\pm {\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$

解一元二次方程

二次方程是指變數的冪為2的方程，與一次方程不同，它最多有兩個**根**。根是指使方程成立的變數值，要完全解出一個方程，必須找到所有的根。對於一個二次方程，你可以對其進行因式分解，然後很容易找到使方程成立的值。上面的例子是一個比較簡單的案例。通常你會得到一個更復雜的方程，例如$2x^{2}+5x+3=0$。如果方程不是以$ax^{2}+bx+c=0$的形式給出，則將其重新整理成此形式。對$2x^{2}+5x+3=0$進行因式分解所需的步驟如下。

將$2$乘以$3$（$x^{2}$的係數乘以常數項）。	$2\times 3=6$
找到兩個數，它們的和為$5$（$x$的係數），積為$6$（上一步的結果）。	$2\times 3=6$$2\times 3=6$，$2+3=5$
將$5x$拆分為$2x+3x$（根據上一步的結果）。	$2x^{2}+2x+3x+3=0$
簡化	$2x(x+1)+3(x+1)=0$
進一步簡化	$(2x+3)(x+1)=0$

所以 $(2x+3)(x+1)=0$ 是 $2x^{2}+5x+3=0$ 的因式分解形式。現在您可以利用任何數字乘以 $0$ 都等於 $0$ 的事實來求解方程的根。使其中一個括號等於 $0$ 的數字就是方程的根。在這個例子中，根是 $-1.5$ 和 $-1$。

也可以使用求根公式或配方法來解一元二次方程。

聯立方程

聯立方程組用於同時求解兩個或多個變數。基本的聯立方程組由兩個線性表示式組成，可以透過三種不同的方法求解：消元法、代入法或作圖法。

消元法

消元法的基本原理是對一個或多個表示式進行操作，以便消去其中一個變數，然後求解正確的解。

一個例子如下

$2x+3y=10$		(1)		(將該方程標為(1))
$2x+6y=6$		(2)		(將該方程標為(2))

由此可見，將方程(1)乘以2，然後從(2)中減去這個新方程，$y$ 變數將被消去。

(1) $\times 2\rightarrow 4x+6y=20$ (1a) (將該方程標為(1a))

現在從(1a)中減去(2)

	$4x+6y=20$		(1a)
$-$	$2x+6y=6$		(2)
$=$	$2x+0y=14$

現在我們有了 $2x=14$，我們可以求解 $x$，在本例中是 $7$。

$x=7$.

將新求得的$x$代入(1)

$2\times 7+3y=10$

$14+3y=10$

我們發現$y=-4/3$

因此，這兩個方程（1）和（2）的解為

$x=7$

$y=-4/3$

代入法

代入法依賴於能夠重新排列表達式以分離單個變數，形式為變數 = 表示式。根據此結果，然後可以用此新表示式替換變數本身，並計算解。

一個例子如下

$2x+3y=12$		(1)		(將該方程標為(1))
$x+y=6$		(2)		(將該方程標為(2))

從這個表示式可以看出，(2) 是最簡單的表示式，因此將是更好的重排選擇。

取(2)，將其重新排列為$x=6-y$。(2a)

將(2a)代入(1)，我們得到

$2(6-y)+3y=12$

求解此方程，我們得到$y=0$

同樣，我們可以將此結果代入原始方程之一以求解$x$。在這種情況下$x=6$。

請注意，對於其中一個方程為非線性方程的情況，必須線上性方程中分離一個變數並將其代入非線性方程。然後，可以使用上述方法之一求解二次方程。

另一種代入形式是，如果兩個方程中都有類似的表示式，例如在本例中

$2x+3y=10$		(1)		(將該方程標為(1))
$2x+6y=6$		(2)		(將該方程標為(2))

這裡，$2x$在兩個方程中都出現，所以

$2x=10-3y$		(1)
$2x=6-6y$		(2)

並且由於$2x=2x$，您可以執行

$10-3y=6-6y$

$6y-3y=6-10$

$3y=-4$

$y=-4/3$

現在你已經得到了$y$，求解$x$ 的方法與上面相同。

圖解法

透過繪製兩個方程的直線圖，你可以透過觀察直線交點來求解。如果交點是 (a,b)，那麼解就是$x=a$ 和 $y=b$。

用聯立方程解決問題

通常，你會遇到一些需要你用一對聯立方程來表達的問題。你需要識別此類問題，並在求解之前正確地寫出它們。大多數問題都與這些示例相似，但有一些區別。

示例 1

在一家唱片店，2 張專輯和 1 張單曲的價格為 10 英鎊。1 張專輯和 2 張單曲的價格為 8 英鎊。求專輯和單曲的價格。

設專輯為$a$，單曲為$s$，則這兩個方程為

$2a+s=10$

$a+2s=8$

你現在可以解方程並找到每個的價格。

示例 2

湯姆有 10 英鎊的預算用於購買派對食物。他可以買 5 包薯片和 8 瓶飲料，或者他可以買 10 包薯片和 6 瓶飲料。

設一包薯片為$c$，一瓶飲料為$d$，則這兩個方程為

$5c+8d=10$

$10c+6d=10$

現在你可以解方程來找到每件物品的價格。

示例 3

在一家糖果店，一顆跳跳糖比一隻軟糖貴 5 便士。8 只軟糖和 9 顆跳跳糖的價格為 1.64 英鎊。

設一顆跳跳糖為$g$，一隻軟糖為$b$，則這兩個方程為

$b+5=g$

$8b+9g=164$

現在可以使用上述方法之一來解決這個問題。

二次方程

二次函式是一個多項式，其次數為2，形式為$f(x)=ax^{2}+bx+c$。

影像

二次函式的影像可以用$y=ax^{2}+bx+c$的形式表示。右側顯示了$y=2x^{2}+8x+2$的影像，可以看到它具有所有二次函式都具有的特徵“桶狀”形狀，稱為拋物線。可以透過逐點繪製曲線找到影像的對稱軸和頂點（最大值或最小值點），並且可以透過因式分解二次函式來找到根。

但是，這些性質可以更容易地從其配方法形式推匯出來。

$y=2(x+2)^{2}-6$.

配方法

配方法是將二次函式從$ax^{2}+bx+c$的形式轉換為等價形式$a(x+d)^{2}+e$的過程，其中$a$、$d$和$e$是常數。例如，二次函式$2x^{2}+8x+2$將變為$2(x+2)^{2}-6$。

將二次函式轉換為配方法形式可以輕鬆找到許多東西，例如二次函式的根和二次函式的頂點，甚至不需要草圖。

以下是配方法的步驟。不用擔心，它比看起來更容易。

步驟	操作	示例	一般情況
1.	確保二次函式採用常規形式：$ax^{2}+bx+c$。	$2x^{2}+8x+2$	$ax^{2}+bx+c$
2.	除非$a=1$，“提出/提取a”，即，將整個二次函式除以$a$並將其放在括號外面。 注意：如果二次方程是方程的一部分，你可以將等式兩邊都除以$a$，例如$2x^{2}+8x+2=0$ 就會簡單地變成$x^{2}+4x+1=0$。	$2\left(x^{2}+4x+1\right)$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)$
3.	用$\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}$替換$x^{2}+kx$部分。 重要的是要意識到$\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}=x^{2}+kx+{\frac {k^{2}}{4}}$，它與之前的值接近但並不相等。這將在下一步中得到糾正。為了避免寫出實際上不相等的東西，一旦你習慣了這種方法，最好在你的工作中同時執行這兩個步驟。	$2\left((x+2)^{2}+1\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right)$
4.	透過插入一個合適的數字的減法來糾正上一步中引入的錯誤。這個合適的數字可以透過兩種方式找到 透過展開上一步中插入的項並將其與原始項進行比較；或 透過記住錯誤總是${\frac {k^{2}}{4}}$。 這一步被稱為“配方法”，也因此得名。	$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ 比 $x^{2}+4x+1$ 大 3，所以插入 $-3$：$2\left((x+2)^{2}-3\right)$；或者 ${\frac {4^{2}}{4}}=4$ 所以誤差為 4：$2\left((x+2)^{2}-4+1\right)$$=2\left((x+2)^{2}-3\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)$
5.	如果步驟 2 是必要的，則透過展開外括號稍微簡化結果。	$2(x+2)^{2}-6$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$
6.	檢查您得到的結果是否可以展開回您開始時的表示式。 注意：您可能對自己的能力足夠自信，可以跳過此步驟。	$2\left(x^{2}+4x+4\right)-6$ $=2x^{2}+8x+8-6$ $=2x^{2}+8x+2$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+c$

因此，$y=2x^{2}+8x+2$ 配方後的形式為 $2(x+2)^{2}-6$。 $-6$ 告訴我們曲線的最低點位於 $y=-6$，而 $x+2$ 告訴我們對稱軸位於 $x+2=0$ 或 $x=-2$。 因此，頂點位於 $(-2,-6)$，如果你觀察圖形，你會發現情況確實如此。

從圖形中可以看出，$y=2x^{2}+8x+2$ 在 $-4$ 和 $-3$ 之間有一個根，在 $-1$ 和 $0$ 之間還有另一個根，它與 $y$ 軸相交。 但是如何找到精確的值呢？使用配方後的形式，可以很容易地重新排列以找到 $x=0$

步驟	操作	示例	一般情況
1.	要解形如 $ax^{2}+bx+c=0$ 的方程，首先使用上述方法配方。	$2(x+2)^{2}-6=0$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0$
2.	將 $(x+k)^{2}$ 項分離出來。	$2(x+2)^{2}=6$ $(x+2)^{2}=3$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$ $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$
3.	對等式兩邊開平方，包括一個 $\pm$，因為括號內的值可能為負或正。	$x+2=\pm {\sqrt {3}}$	$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}$ 然後進行一些簡化 $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
4.	分離 $x$。	$x=\pm {\sqrt {3}}-2$ $x={\sqrt {3}}-2$ 或 $-{\sqrt {3}}-2$ $x\approx -0.268$ 或 $-3.73$	$x=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}$ $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

此特定示例中 $x$ 的值在預期範圍內，如圖形所示。

二次方程公式

二次方程公式是從配方法的一般情況推匯出來的。

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

它可用於透過直接將數字代入公式來求解二次方程的根。例如，對於 $y=2x^{2}+8x+2$

$x={\frac {-8\pm {\sqrt {64-16}}}{4}}=-2\pm {\sqrt {3}}$

所以 $x=-2+{\sqrt {3}}$ 和 $x=-2-{\sqrt {3}}$。

判別式

注意，二次方程包含 $b^{2}-4ac$ 在平方根符號內。這部分稱為**判別式**，可以單獨考慮以確定方程的根的個數。

• 如果 $b^{2}-4ac<0$，則您將無法找到平方根，因為您不知道如何對負數進行開方。到目前為止，您遇到的數字型別稱為實數，因此據說二次方程**沒有實數根**。
• 如果 $b^{2}-4ac=0$，則更改平方根前面的 $\pm$ 符號沒有任何區別，因為無論哪種方式它都是零。因此，您將獲得相同的根兩次，因此據說二次方程**有一個重複根**。

• 如果$b^{2}-4ac>0$，那麼$\pm$ 將意味著你會得到兩個答案，因此你可以說二次方程有兩個不同的（即不同的）根。

不等式

不等式是一個表示式，用於比較點、線或曲線的相對大小。與等式不同，在等式中，等號兩側始終相等，不等式的一側可以大於或等於另一側。

不等式的四個符號

有四個主要的符號

• $<$ 小於，
• $>$ 大於，
• $\leq$ 小於或等於，以及
• $\geq$ 大於或等於。

例如，$x<4$ 表示$x$ 小於 4，$x>4$ 表示$x$ 大於 4，$x\leq 4$ 表示$x$ 等於 4 或小於 4 的任何數，$x\geq 4$ 表示$x$ 等於 4 或大於 4 的任何數。

請注意，$x>y$ 和$y<x$ 本質上都是相同的陳述。

如果你對哪個符號表示小於和大於感到困惑，記住不等號總是指向較小的數字是有幫助的。

組合不等式

在某些情況下，兩個不等式可以組合成一個。例如，門的高度據說在$x\geq 1.95$ 和$x<2.05$ 之間。通常寫成$1.95\leq x<2.05$。請注意，不等號的方向相同。$2.05\geq x>1.95$ 也是完全可以接受的，但組合方向相反的不等式是不正確的，它們必須保留為兩個獨立的不等式。

解線性不等式

這些符號可以用來代替等號，方程式現在變成了不等式（因為兩邊並不總是相等）。

例如，我們可以用 $2x+4>6$ 代替 $2x+4=6$。

在這個例子中，$x$ 可以是任何使得這個不等式大於 6 的數字。在這種情況下，$x>1$，但$x\neq 1$。如果不等式是$2x+4\geq 6$，那麼$x$ 可以取值為 1。

不等式可以像方程式一樣進行運算和求解，儘管當您乘以或除以負數時，您必須採取額外的步驟。

乘以或除以負數

當乘以或除以負數時，必須改變不等號的方向。

例如，看不等式 $10>5$。這是正確的，因為 10 顯然大於 5。現在，如果我們要將兩邊都乘以 -1，我們將得到

$-10>-5$.

這是不正確的，因為 -10 實際上小於 -5。透過反轉不等號，我們現在有了正確的不等式

$-10<-5$.

解一元二次不等式

要解一元二次不等式，您可以像解一元二次方程一樣因式分解它。

或者，您可以像繪製一元二次方程一樣繪製其圖形，然後對不等式覆蓋的那一側進行陰影。這裡可能需要一張圖片來演示該方法？

指數

你可能已經熟悉指數，例如 $x^{2}$ 只是 $x\times x$ 的簡寫形式，而 $x^{4}$ 同樣地表示 $x\times x\times x\times x$。在 $x^{5}$ 中，$x$ 稱為底數，$5$ 稱為指數或冪。 $x^{4}$ 讀作“x 的四次方”或完整地讀作“x 的四次冪”。一些冪非常常用，因此有特殊的名稱：$x^{2}$ 稱為“x 的平方”，$x^{3}$ 稱為“x 的立方”，而 $x^{-1}$（如果你還沒有遇到過，你很快就會了解到）稱為“x 的倒數”。

注意：“指數法則”有時也稱為“指數定律”或“冪規則” [1]。更一般地，數學中的指數是符號的上標或下標。

指數運算

使用這種記法，你可能會注意到一些規律。

乘法

首先，$x^{3}\times x^{2}$ 等於 $\left(x\times x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x$，也就是 $x^{5}$。當然 $3+2=5$，所以你將指數加在一起。為了說明，這裡有一個數字示例：$2^{3}\times 2^{5}=8\times 32=256=2^{8}$（和之前一樣，$3+5=8$）。

除法

其次，${\frac {x^{4}}{x^{2}}}$ 等於 ${\frac {x\times x\times x\times x}{x\times x}}=x\times x=x^{2}$（當 $x\neq 0$）。這次 $4-2=2$，所以你減去了指數。

下面是一個用數字的例子：${\frac {10^{5}}{10^{2}}}={\frac {100000}{100}}=1000=10^{3}$，同樣地 $5-2=3$。

底數的冪

第三，$\left(x^{2}\right)^{3}$ 等於 $\left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x\times x$，也就是 $x^{6}$。你可以看到 $2\times 3=6$，所以指數相乘了。下面是用數字的另一個例子：$\left(3^{2}\right)^{4}=9^{4}=6561=3^{8}$，並且 $2\times 4=8$。

多個底數

最後 $\left(xy\right)^{3}=xy\times xy\times xy=x\times y\times x\times y\times x\times y=x\times x\times x\times y\times y\times y$，這與 $x^{3}y^{3}$相同。以下是一個用數字舉例： $\left(2\times 5\right)^{2}=\left(10\right)^{2}=100=4\times 25=2^{2}\times 5^{2}$。除法也有類似的情況： $\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x}{y}}\times {\frac {x}{y}}={\frac {x\times x}{y\times y}}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$

指數法則

上面提到的規則被稱為指數法則，可以寫成

1. $x^{a}x^{b}=x^{a+b}$
2. ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$
3. $\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$
4. $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$
5. $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$

特殊指數

你可能已經意識到 ${x^{1}}=x$。這可以透過觀察 $x^{3}=x\times x\times x$、$x^{2}=x\times x$的規律或透過計算 ${\frac {x^{3}}{x^{2}}}$（顯然是 $x$，但也根據法則 2 等於 $x^{3-2}=x^{1}$）來觀察。

到目前為止，我們所看到的所有例子都是指數為正整數的情況，但透過思考這些法則，可以考察其他情況。

零次冪

對於任何$x$（嚴格來說，任何$x\neq 0$，參見下面的註釋），$x^{0}=1$ 這一點不太明顯，但可以用類似的方法證明，例如${\frac {x^{4}}{x^{4}}}$ 等於 1，但根據法則 2，它也必須等於$x^{4-4}=x^{0}$。

負指數冪

下一步很自然地會問$x^{-1}$ 是多少。透過“反向”應用法則 2，我們可以得到$x^{-1}=x^{0-1}={\frac {x^{0}}{x^{1}}}={\frac {1}{x}}$。類似的論證可以用於任何其他負整數，例如$x^{-3}=x^{0-3}={\frac {x^{0}}{x^{3}}}={\frac {1}{x^{3}}}$。

分數指數冪

如果指數不是整數會怎樣？假設你想找到$x^{\frac {1}{2}}$，你可以說${x^{\frac {1}{2}}}\times {x^{\frac {1}{2}}}=x^{1}$（根據冪的加法法則3），這意味著$x^{\frac {1}{2}}$必須是$\pm {\sqrt {x}}$。然而，通常只使用正根，因此$x^{\frac {1}{2}}$被定義為${\sqrt {x}}$。對於其他此類分數，您可以使用類似的論證，例如$\left(x^{\frac {1}{3}}\right)^{3}=x$，所以$x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$。

總結

• $x^{1}=x$
• $x^{0}=1$
• $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$
• $x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$

有時你可能需要使用這些法則來理解某些東西的含義，例如$x^{\frac {2}{3}}=\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$（使用法則3），以及$\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}$（使用上面的定義）。記住一般規則$x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$很有用。

根式

在數學中，根式是指包含根號且解為無理數的表示式，無法精確表達——例如，√3 = 1.732050808...。

有時使用根號進行運算比使用近似的小數更有用。根號可以像代數表示式一樣進行運算，有時可以消去根號（稱為有理化表示式），而如果嘗試使用近似值進行運算，則可能無法做到這一點。當要求給出精確值時，近似的小數答案是不夠的，您將不得不對根式進行運算，以便以簡化的根式形式給出最終答案。

根式的化簡

因為根式可以像代數表示式一樣進行運算，所以您可以輕鬆地展開各項併合並同類項。但是，在化簡根式時，還有一些規則會很有用。

根式的基本規則

因為${\sqrt {x}}\times {\sqrt {x}}=x$，因此知道可以將其重新排列得到${\sqrt {x}}={\frac {x}{\sqrt {x}}}$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}$ 很有用。

根式作為指數

因為${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$，指數律也適用於任何n次根。最常用的情況是平方根的律4和律5

• $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$ 變為 ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$
• $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$ 變為 ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

第一個要點通常用於化簡平方根，例如${\sqrt {200}}={\sqrt {100\times 2}}={\sqrt {100}}\times {\sqrt {2}}=10{\sqrt {2}}$。在考試中，您需要將所有平方根寫成根號內數字最小的形式（即根號內的數字不應有任何平方因子）。

分母的有理化

簡化包含根號的表示式的另一種技巧是有理化分母。這意味著去除分數分母中的根號。例如，對於分數${\frac {5}{\sqrt {3}}}$，可以將分子和分母都乘以${\sqrt {3}}$，得到${\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}$。

如果分數的形式為${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}$，則上一段中使用的策略只需要稍作修改即可。這次，你應該將分子和分母都乘以${b-{\sqrt {c}}}$。如果你熟悉平方差公式，那麼接下來會發生什麼你應該已經知道了。

${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}\times {\frac {b-{\sqrt {c}}}{b-{\sqrt {c}}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}+b{\sqrt {c}}-b{\sqrt {c}}-{\sqrt {c}}^{2}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}-c}}$。如你所見，分母現在不包含任何根號。例如：${\frac {2}{{\sqrt {3}}-1}}\times {\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {2{\sqrt {3}}+2}{3-1}}={\sqrt {3}}+1$。

常見問題和錯誤

根號的拆分

一個常見的錯誤是將${\sqrt {x+y}}$拆分為${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$或將$\left(x+y\right)^{2}$拆分為$x^{2}+y^{2}$，通常是在將其移到等號的另一側時。嘗試幾個例子很快就會讓你相信這是不可能的。

• ${\sqrt {25}}$ ≠ ${\sqrt {9}}+{\sqrt {16}}$
• ${\sqrt {64}}$ ≠ ${\sqrt {32}}+{\sqrt {32}}$

等等

0 的 0 次方是多少？

簡短的答案是，對於本課程，你不需要知道，可以安全地跳過本節。如果你仍然感興趣，請繼續閱讀。

這個問題的出現是因為對於任何 x，x 的 0 次方等於 1，但你可能會認為對於任何 y，0 的 y 次方都等於 0，因為 0 乘以 0 乘以 0 ... 等於 0。事實證明，使用 1 的值在代數的各個部分非常有用（甚至可能是必要的），而將其設為零則毫無幫助。因此，幾乎所有數學家要麼說 0 的 0 次方等於 1，要麼說它未定義（即，它不能賦予一個值）。可以在 http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ 找到更專業的討論。