A-level 數學/OCR/C1/指數和根式

本章標題中的“指數”指的是數字的冪。 因此，$x^{2}$ 是一個指數為 2 的數字。這通常不會被說成“x 的 2 次方”。 同樣，根式也不是一個常用的標題。 有時你會被要求以根式形式給出答案；這意味著你應該給出答案，以常數、三角函式和平方根的形式，而不是計算出不精確的小數近似值。

指數

正如你在 GCSE 中所學到的，$x^{3}$ 是 $x\times x\times x$ 的簡寫。 同樣，任何數字的 n 次方都是該數字自乘 n - 1 次。 為了描述更詳細的資訊，在表示式 $x^{3}$ 中，$x$ 被稱為底數，而 3 被稱為指數。

透過始終將表示式簡化為其基本部分，可以得出關於在代數中如何處理冪的結論。

乘法

當你乘以指數時，你會將指數加在一起。

正如你所看到的，$x^{3}\times x^{2}=x^{3+2}=x^{5}$ 。（定律 1）

除法

正如預期的那樣，除法是乘法的反操作。 當你除以指數時，你會從彼此中減去指數。

${\frac {x^{4}}{x^{2}}}={\frac {x\times x\times x\times x}{x\times x}}={\frac {\not \!x\times \not \!x\times x\times x}{\not \!x\times \not \!x}}=x\times x=x^{2}$

再次，這表明 ${\frac {x^{4}}{x^{2}}}=x^{4-2}=x^{2}$

負指數

在完成上述除法後，我們開始思考，當分母上的指數比分子上的指數更高時會發生什麼。

使用可信的方法，將每個 x 分別表示出來，我們得到

${\frac {x^{2}}{x^{3}}}={\frac {\not \!x\times \not \!x}{\not \!x\times \not \!x\times x}}={\frac {1}{x}}$

使用剛剛演示的減去指數的方法

${\frac {x^{2}}{x^{3}}}=x^{2-3}=x^{-1}$

這意味著 x 的負數次方等於 1 除以 x 的該次方。 具體來說，${\frac {1}{x}}\;\left(x^{-1}\right)$ 被稱為 x 的 **倒數**，更常見的是 x 的 **逆**。

底數乘以兩個指數

當底數乘以兩個指數時，您需要將指數相乘。

$\left(x^{2}\right)^{3}=\left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x\times x=x^{6}$.

正如您所見，$\left(x^{2}\right)^{3}=x^{2\times 3}=x^{6}$.

多個底數乘以相同的指數

當兩個底數乘以相同的指數時，您可以將兩個底數分別乘以該指數，然後將它們相乘。

例如： $\left(xy\right)^{3}=xy\times xy\times xy=x\times y\times x\times y\times x\times y=x\times x\times x\times y\times y\times y$ 等於 $x^{3}y^{3}\,$。 以下是用數字舉例說明：$\left(2\times 5\right)^{2}=\left(10\right)^{2}=100=4\times 25=2^{2}\times 5^{2}$。 除法也有類似的情況：$\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x}{y}}\times {\frac {x}{y}}={\frac {x\times x}{y\times y}}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$

分數指數

如果冪不是整數怎麼辦？假設你想找到 $x^{\frac {1}{2}}$，你可以說 ${x^{\frac {1}{2}}}\times {x^{\frac {1}{2}}}=x^{1}$（根據定律 3，冪的加法），這意味著 $x^{\frac {1}{2}}$ 必須是 $\pm {\sqrt {x}}$。但是，通常只使用正根，因此 $x^{\frac {1}{2}}$ 被定義為 ${\sqrt {x}}$。你可以對其他此類分數使用類似的論證，例如 $\left(x^{\frac {1}{3}}\right)^{3}=x$ 所以 $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$。在分子不為 1 的情況下，我們需要使用其他指數定律來證明平方定義，例如 $x^{\frac {2}{3}}=\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$（使用定律 3），並且 $\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}$（使用上面的定義）。記住一般規則很有用，即 $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$。

0 次方和 1 次方

你可能已經意識到 ${x^{1}}=x\,$。你可以用 ${\frac {x^{n}}{x^{n-1}}}$ 來證明這一點，這很明顯是 $x$，根據定律 2，即 $x^{n-\left(n-1\right)}=x^{1}=x$。
同樣地，利用 $x^{0}\,$ 我們也可以證明它等於 1，${\frac {x^{n}}{x^{n}}}=1$，但根據定律 2，它也等於 $x^{n-n}=x^{0}$

指數定律

上面提到的規則被稱為指數定律，可以寫成

1. $x^{a}x^{b}=x^{a+b}\,$

2. ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$

3. $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$

4. $\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$

5. $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$

6. $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$

7. $x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$

8. $x^{0}=1\,$

9. $x^{1}=x\,$

10. $(x^{m})^{\frac {1}{m}}=x\,$

根式

在數學中，根式是指包含根號的表示式，其值為無理數，無法精確表示，例如 ${\sqrt {3}}=1.732050808...$。

有時使用根式比使用近似的小數值更有用。根式可以像代數表示式一樣進行運算，有時可以消除根號（稱為有理化表示式），如果嘗試使用近似值，這可能是不可能的。當要求給出精確值時，近似的小數答案是不行的，您必須操作根式才能給出最終答案，以簡化的根式形式表示。

根式的化簡

因為根式可以像代數表示式一樣進行運算，所以您可以很容易地將項乘開並新增相同的項。但是，還有一些規則在簡化根式時會有用。

根式的基本規則

因為 ${\sqrt {x}}\times {\sqrt {x}}=x$，所以它可以被重新排列，得到 ${\sqrt {x}}={\frac {x}{\sqrt {x}}}$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}$。

根式作為指數

因為 ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$，指數定律也適用於任何 n 次方根。最常用的例子是帶有根式的定律 5 和 6

• $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$ 變為 ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$
• $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$ 變為 ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

第一個要點通常用來簡化根式，例如 ${\sqrt {200}}={\sqrt {100\times 2}}={\sqrt {100}}\times {\sqrt {2}}=10{\sqrt {2}}$。在考試中，您需要將所有根式寫成根號內數字最小的形式（即根號內的數字不應該有任何平方因子）。

注意： 此規則僅適用於非負數，嘗試包含負數可能會得到荒謬的結果；$-1={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1$

分母有理化

簡化涉及根式的表示式的另一種技巧是有理化分母。這意味著從分數中去除根式。對於像${\frac {5}{\sqrt {3}}}$這樣的分數，分子和分母都可以乘以${\sqrt {3}}$得到${\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}$。

如果分數的形式是${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}$，則上一段中使用的策略在稍作修改後仍然有效。這次你應該將分子和分母乘以${b-{\sqrt {c}}}$。如果你熟悉兩個平方差的標準展開式，你應該已經知道接下來會發生什麼。

${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}\times {\frac {b-{\sqrt {c}}}{b-{\sqrt {c}}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}+b{\sqrt {c}}-b{\sqrt {c}}-{\sqrt {c}}^{2}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}-c}}$.

如你所見，分母現在不包含任何根式。例如：${\frac {2}{{\sqrt {3}}-1}}\times {\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {2\left({\sqrt {3}}+1\right)}{3-1}}={\sqrt {3}}+1$

常見問題和錯誤

根式的拆分

一個常見的錯誤是將${\sqrt {x+y}}$拆分成${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$或將$\left(x+y\right)^{2}$拆分成$x^{2}+y^{2}$，通常是在將其移動到等式另一側時。嘗試幾個例子會很快讓你相信這是不可能的。

• ${\sqrt {64}}\ \neq {\sqrt {32}}+{\sqrt {32}}$
• ${\sqrt {25}}\ \neq {\sqrt {12}}+{\sqrt {13}}$

等等

$0^{0}$的值是多少？

簡短的答案是，在本課程中你不需要知道，可以安全地跳過這一部分。如果你仍然感興趣，請繼續閱讀。

這個問題的出現是因為對於任何$x$，$x^{0}=1$，然而你可能會期望對於任何$y$，$0^{y}=0$，因為$0\times 0\times 0\dots =0$。事實證明，使用 1 的值在代數的各個部分非常有用（甚至可能是必要的），而將其設定為 0 則毫無幫助。因此，幾乎所有數學家都會說 $0^{0}$ 等於 1，或者說它是未定義的（也就是說，它無法被賦予值）。可以在http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/找到更技術性的討論。

這是C1（核心數學 1）模組的一部分，屬於A 級數學文字。