A-level 數學/OCR/C1/微分

動機

求直線的斜率很簡單。對於一條直線$y=mx+c$，斜率是m。但是如何求曲線上特定點的斜率呢？假設我們想要找到$y=x^{2}$在點(3,9)處的切線的斜率。這個問題馬上就提出了一個難題。我們怎樣才能在一個已知點的情況下求直線的斜率呢？我們可以使用一系列弦

x	y	m
4	16	7
3.75	14.0625	6.75
3.5	12.25	6.5
3.25	10.5625	6.25
3.005	9.030025	6.01

在點(3, 9)處的切線的斜率是6。如你所見，這種方法相當繁瑣。幸運的是，我們有導數，它可以準確快速地確定任何變化率。

導數

導數是函式的變化率。它是在第一個點和第二個點之間的距離接近 0 時使用直線斜率公式得到的：$\lim _{h\to 0}{\frac {f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}}=f'(x)$。只有當極限在點a處存在時，函式才在點a處可微。導數的記號為${\frac {dy}{dx}}\ or\ f'\left(x\right)$。

微分法則

1. 常數函式的導數

${\frac {d}{dx}}\left(c\right)=0$

1. 冪法則

${\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}$

1. 常數倍法則

如果c是常數，f(x)是可微函式：${\frac {d}{dx}}cf\left(x\right)=c{\frac {d}{dx}}f\left(x\right)$

1. 和法則

${\frac {d}{dx}}{\begin{bmatrix}f\left(x\right)+g\left(x\right)\end{bmatrix}}={\frac {d}{dx}}f\left(x\right)+{\frac {d}{dx}}g\left(x\right)$

1. 差法則

${\frac {d}{dx}}{\begin{bmatrix}f\left(x\right)-g\left(x\right)\end{bmatrix}}={\frac {d}{dx}}f\left(x\right)-{\frac {d}{dx}}g\left(x\right)$

直線的斜率

導數用於求曲線在點a處的斜率。然後將點a代入導數。結果將給出點a處的斜率。距離函式的一階導數是速度，二階導數是加速度。

一輛汽車行駛的距離由函式$s=1.25t^{2}-5$t給出。其中s是行駛距離（米），t是經過時間（秒）。當經過12秒時汽車的速度是多少？

1) 利用冪函式法則、常數倍乘法則和差分求導法則，得到 v = 2.5t - 5

2) 現在將時間代入函式：v = 2.5x12 - 5，得到 v = 25 米/秒。

因此，12秒後汽車的速度將是每秒25米。

切線

由於我們可以在任何點求出函式的斜率，因此我們也可以在任何點求出函式在該點處的切線的方程。

曲線$y=x^{2}+3x-16$在x = -4處的切線方程是什麼？

首先我們需要求出方程的導數。

${\frac {dy}{dx}}=2x+3$

然後我們求出x = -4處的斜率。

$2\left(-4\right)+3=-5$

利用原始函式，我們找到與切點處x值相對應的y值。

$y=-4^{2}+3\left(-4\right)-16=-12$

然後我們使用點斜式方程求出方程。

$y+12=-5\left(x+4\right)$ 因此，切線的方程是y = -5x - 32....

法線

法線是垂直於切線的直線。因此，當我們確定法線的方程時，步驟與確定切線的方程非常相似。示例

曲線$y=x^{2}+3x-16$在x=-4處的法線方程是什麼？

首先我們需要求出方程的導數。

${\frac {dy}{dx}}=2x+3$

然後我們需要針對給定的x值求解。

$2\left(-4\right)+3=-5$

然後我們使用垂直線方程求出法線的斜率。

$m_{1}\times m_{2}=-1$ 因此$-5\times m_{2}=-1$ 因此斜率是$m_{2}={\frac {-1}{-5}}$，也就是${\frac {1}{5}}$.

然後我們找到與x值相對應的y值

$y=-4^{2}+3\left(-4\right)-16=-12$

然後我們使用點斜式方程求出方程。

$y+12=.2\left(x+4\right)$ 因此，法線的方程是y = .2x - 11.2

高階導數

在 C2 中，您將需要對函式的二階（在某些情況下，三階）導數的應用有一個簡單的理解。二階導數就像它的名字一樣，是導數的導數。三階導數是二階導數的導數，以此類推。二階導數的符號是，假設我們談論的是關於 x 的 y 的導數：${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 後續的導數只是在它們的索引中具有更大的數字。

導數在圖形中的應用

導數還可以幫助我們繪製函式圖形，透過定位最小值、最大值和拐點。它們還可以確定函式是凸的還是凹的區間。

凸 - 圖形在切線下方。例如$-x^{2}$，想象一個皺眉的表情。

凹 - 圖形在切線上方。例如$x^{2}$，想象一個微笑的表情。

拐點 - 函式從凸變為凹或反之的點。例如$x^{3}$ 在 x = 0 處。

最大值點 - 函式在凸區間上的最高點。

最小值點 - 函式在凹區間上的最低點。

駐點 - f'(c) = 0 的點

駐點規則

• 如果 $f'\left(c\right)=0$ 並且 $f''\left(c\right)<0$，則 c 是 f(x) 的區域性最大值點。f(x) 的圖形將在該區間上是凹的。
• 如果 $f'\left(c\right)=0$ 並且 $f''\left(c\right)>0$，則 c 是 f(x) 的區域性最小值點。f(x) 的圖形將在該區間上是凸的。
• 如果 $f'\left(c\right)=0$ 並且 $f''\left(c\right)=0$ 以及 $f'''\left(c\right)\neq 0$，則 c 是 f(x) 的區域性拐點。

定位和評估駐點

函式

原始函式用於確定函式何時穿過 x 軸和 y 軸。

一階導數檢驗

一階導數用於找到所有最小值、最大值或拐點。在這些點上 f'(x) = 0。此外，如果我們製作符號圖，我們可以看到函式在哪些區間上是遞增的，哪些區間上是遞減的，但二階導數是更好的檢驗方法。

二階導數檢驗

二階導數用於找到函式在哪些點上是凹的或凸的，在這些點上 f''(x) = 0。然後您需要製作符號圖。二階導數符號為正的區間，函式是凹的；如果符號為負，則函式是凸的。當 f'(a) 為零，並且在該區間上 f''(x) 為負時，則點 a 是最大值點，在此點之前，函式將是遞增的，在此點之後，函式將是遞減的。當 f'(a) 為零，並且在該區間上 f''(x) 為正時，則點 a 是最小值點，在此點之前，函式將是遞減的，在此點之後，函式將是遞增的。

三階導數檢驗

三階導數檢驗確定一個點是否是拐點。如果 f''(c) = 0 並且 $f'''(c)\neq 0$，則 f(c) 是一個拐點。

一個例子

繪製函式 $f(x)=x^{3}-4x^{2}$ 的影像。

1) 函式告訴我們

$f(x)=x^{2}(x-4)$

$0=x^{2}(x-4)$ x = 0 和 x=4 是 x 軸截距。

$y=0^{2}(0-4)$ y = 0 是 y 軸截距。

2) 然後我們使用一階導數檢驗。

$f'(x)=3x^{2}-8x$

$0=x(3x-8)$ x = 0 和 x=2.66 是極值點或拐點。

3) 然後我們使用二階導數檢驗。

f''(x) = 6x - 8

0 = 6x -8 所以 x = ${\frac {4}{3}}$.

現在我們畫一條數軸 __f'''(0) = -8______ 1.333____f'''(2) = 4.

在 1.333 之前，函式是凹的；在 1.333 之後，函式是凸的。

4) 然後我們使用三階導數檢驗。

f'''(x) = 6

$f'''({\frac {4}{3}})=6$ 該點是拐點。

5) 現在我們把所有資訊彙總到一個表格中。另外，我們需要使用 f(x) 來找到步驟 1 到 3 中獲得的所有 x 值對應的 y 值。

區間或點	f(x) 的行為
x < 0	遞增
(0,0)	極值點、x 軸截距和 y 軸截距
0 < x < 1.33	遞減
(1.33,-4.74)	拐點
1.33 < x < 2.66	遞減
(2.66,-9.48)	極值點
2.66 < x < $\infty$	遞增
(4,0)	x 軸截距

6) 現在我們可以繪製我們的影像。

這是 C1（核心數學 1）模組的一部分，屬於 A-level Mathematics 課程。