A-level 數學/OCR/C1/方程式

方程由等號 ( $=$ ) 連線的兩個表示式組成。等號左側的所有內容等於等號右側的所有內容，例如 $2+3=4+1$ 。有些方程包含一個**變數**，通常用 $x$ 或 $y$ 表示，當然也可以用任何其他符號。

表示式操作

有時表示式會比實際需要更復雜，可以用更易於理解的形式表示它們。這些技巧對於A-level課程的其餘部分至關重要，儘管您很可能已經在GCSE中學習過它們。

合併同類項

合併同類項時，只需將所有 $x$ 項加在一起，將所有 $y$ 項加在一起，將所有 $z$ 項加在一起。對於任何其他代表變數的字母，也適用相同規則。

例如， $2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 簡化為

$2x-3x+4x=3x$

$4y-7y=-3y$

$8z-2z=6z$

因此，將所有答案加起來，簡化的 $2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 為 $3x-3y+6z$ .

乘法

不同變數的乘法，例如 $a\times b$ 變為 $ab$ 。單個變數變為指數，所以 $x\times x$ 是 $x^{2}$ 。

就像加法和減法一樣，您需要將同類項放在一起。例如

$2x^{2}z\times 3yz^{2}\times 4xy^{3}$ 變為： $24{x^{3}}{y^{4}}{z^{3}}$

分數

分數經常出現。因此，我們需要學習如何正確地處理它們。在處理分數時，規則是使所有分母相等，然後將表示式寫成一個分數。您需要同時乘以分子和分母相同的數字以保持分數的意義不變。

例如，對於 ${\frac {3x}{2}}+{\frac {2y}{5}}-{\frac {z}{10}}$ ，公分母是 $10$ 。

將分子和分母都乘以 $5$ ： ${\frac {15x}{10}}$

將分子和分母都乘以 $2$ ： ${\frac {4y}{10}}$

保持不變： ${\frac {z}{10}}$

現在您有 ${\frac {15x}{10}}+{\frac {4y}{10}}-{\frac {z}{10}}$ ，它變為 ${\frac {15x+4y-z}{10}}$ 。

解方程

通常，要解方程式，必須對其進行重新排列，使未知項位於等號的一側。透過重新排列 $2+x=5$ 到 $x=5-2$ ， $x$ 已被設為方程式的 **主項**。現在，透過簡化方程式，可以發現解為 $x=3$ 。

含有變數的方程式僅對該變數的特定值成立。例如， $2+x=5$ 僅對 $x=3$ 成立。當方程式成立時，變數具有的值稱為方程式的 **解**。因此， $x=3$ 是方程式 $2+x=5$ 的解。

改變方程式的主題

通常給出的方程式比上面的例子更復雜。要將一項從等號的一側移到另一側，必須在等號的兩側執行相同的操作。例如，要使 $x$ 成為 $y={\frac {4a(x^{2}+b)}{3}}$ 的主項

將等號兩邊都乘以 $3$	$3y=4a(x^{2}+b)$
將等號兩邊都除以 $4a$	${\frac {3y}{4a}}=x^{2}+b$
從等號的兩邊都減去 $b$	${\frac {3y}{4a}}-b=x^{2}$
對等號的兩邊都開平方	${\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$ 或 $-{\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$

求解二次方程

二次方程是變數被提升到 2 次方的方程，與線性方程不同，二次方程最多有兩個**根**。根是使方程成立的變數值之一，要完全求解方程，必須找到所有根。對於二次方程，可以將其因式分解，然後很容易找到使方程成立的值。上面的例子是一個相當簡單的例子。你通常會得到一個更復雜的方程，例如 $2x^{2}+5x+3=0$ 。如果方程不是以 $ax^{2}+bx+c=0$ 的形式給出，請將其重新排列，使其變成該形式。因式分解 $2x^{2}+5x+3=0$ 所需的步驟是

將 $2$ 乘以 $3$ （ $x^{2}$ 的係數乘以常數項）	$2\times 3=6$
找到兩個數，這兩個數加起來等於 $5$ （ $x$ 的係數），並乘起來等於 $6$ （上一步的答案）	$2\times 3=6$ $2\times 3=6$ ， $2+3=5$
將 $5x$ 拆分成 $2x+3x$ （根據上一步的結果）	$2x^{2}+2x+3x+3=0$
簡化	$2x(x+1)+3(x+1)=0$
進一步簡化	$(2x+3)(x+1)=0$