A-level 數學/OCR/C1/座標幾何和圖形

座標是描述位置的一種方式。 在二維中，位置由兩個垂直方向給出，即 *x* 和 *y*。

線性方程

直線

直線具有固定的斜率。 直線的斜率及其 y 軸截距是區分一條直線與另一條直線的兩個資訊。

直線方程

直線最常見的形式是 y = mx + c。 m 是直線的斜率，c 是直線與 y 軸的交點。 當 c 為 0 時，直線透過原點 (0,0)。 方程的其他形式為 x = a，用於無限斜率的垂直線，y = b 用於斜率為零的水平線。 此外，一些方程通常寫為：px + qy + c = 0。 您也可以使用方程 y-y₁=m(x-x₁)

直線斜率

直線的陡峭程度可以透過其斜率來衡量，斜率是 y 方向的變化量除以 x 方向的變化量。 字母 m 用於表示斜率。 求斜率的公式為： $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ 作為旁註 $\tan \theta =m\,$.

點斜式

斜率為 m 且經過座標 $\left(x_{1},y_{1}\right)$ 的直線方程為： $y-y_{1}=m\left(x-x_{1}\right)$。 然後只需將方程重新排列成 y = mx + c 的形式。

平行線

如果一對直線的斜率相等，則它們平行（符號為 $\|$）。 如果它們的斜率相等，則 $m_{1}=m_{2}\,$。 因此，為了找到平行線的方程，您需要原始線的斜率和平行線上的一組座標。 然後使用點斜式來找到平行線的方程。

垂直線

兩條直線互相垂直（符號為 $\perp$），如果它們的斜率乘積為 $m_{1}\times m_{2}=-1$。因此，如果你需要一條垂直於另一條直線的直線的方程，你只需要用 m 的負倒數替換斜率 m。

例如，如果直線 1 為 y = 2x + 3，並且你需要找到一條透過點 (0, 1) 的垂直於它的直線，那麼斜率 m = -1/2（因為 2 x -1/2 = -1）。

這給出了 y = -x/2 +c。

將已知點 (0, 1) 代入此方程得到

1 = -0/2 +c，這給出了 c = 1

因此，方程為 y = 1 - x/2。

兩點之間的距離

使用兩點的座標，可以使用勾股定理計算它們之間的距離。任意兩點 $A(x_{1},y_{1})$ 和 $B(x_{2},y_{2})$ 之間的距離 d 由下式給出：$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

直線的中間點

當兩點的座標已知時，中點是這兩點之間中點。對於任意兩點 A$({x_{1}},{y_{1}})$ 和 B$({x_{2}},{y_{2}})$，AB 中點的座標可以透過 $\left({\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},{\frac {{y_{1}}+{y_{2}}}{2}}\right)$ 找到。

直線的交點

只要兩條直線不平行，它們就會在一點相交。你可以透過簡單地 聯立方程 求解兩個方程來找到交點。對於曲線也是如此，儘管非線性曲線可能在多個點相交或根本不相交，並且通常需要不同的方法來求解。

曲線

要繪製一條曲線的圖形，你只需要知道曲線的形狀以及其他重要的資訊，如 x 軸和 y 軸的交點以及任何最大值和最小值的點。

形如 $y=x^{n}$ 的曲線

0 次 - 常數 - $c$ 或 $k$。在本例中 y=2	1 次 - 線性 - $ax+b$ 或 $mx+c$。在本例中 y = x。
二次函式 - 二次方 - $ax^{2}+bx+c$ . 在這種情況下 y = $x^{2}$	三次函式 - 立方 - $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. 在這種情況下 y = $x^{3}$

注意: 所有 $x$ 的奇數次方具有相同的形狀，從左下角到右上角，所有 $x$ 的偶數次方具有相同的“桶狀”曲線。

形如 $y={\frac {1}{x^{n}}}$ 的曲線

就像前面一樣，具有 $x$ 偶數次方的所有曲線具有相同的形狀，具有 $x$ 奇數次方的曲線具有另一種形狀。

$y={\frac {1}{x}}$	$y={\frac {1}{x^{2}}}$

這種形式的所有曲線都沒有 $x=0$ 的值，因為 ${\frac {1}{0}}$ 是未定義的。在 $y$ 軸上有漸近線，曲線越來越緩慢地向 y 軸移動，但永遠不會真正接觸到。

形如 $y={\sqrt {x}}$ 的曲線

這種形式的所有曲線都沒有 x < 0 的值。它們都具有相同的形狀。

直線和曲線的交點

當一條直線與一條曲線相交時，可以透過將直線的方程代入曲線的方程來找到交點。如果直線形如 $y=mx+c$，那麼你可以用 $mx+c$ 替換任何 $y$ 的例項，然後展開方程，然後因式分解得到的二次方程。

需要有關描述曲線和直線之間幾何關係的資訊

曲線的交點

可以使用與直線和曲線相同的方法。但是，它只適用於簡單的情況。當代數方法失效時，需要求助於圖形方法或數值方法。在考試中，你只需要使用代數方法。

圖形規則

在許多情況下，使用這些規則可以很容易地從現有圖形獲得新圖形。

反射

1. $y=-f\left(x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 關於 x 軸的對稱圖形。
2. $y=f\left(-x\right)\,$ 是 $y=f\left(x\right)\,$ 關於 y 軸的對稱圖形。

拉伸

1. $y=f\left(bx\right)\,$ 如果 $0<b<1\,$ 則遠離 y 軸拉伸，如果 $b>1\,$ 則向 y 軸拉伸。在這兩種情況下，變化幅度為 b 個單位。
2. $y=af\left(x\right)\,$ 如果 $0<a<1\,$ 則向 x 軸拉伸，如果 $a>1\,$ 則遠離 x 軸拉伸。在這兩種情況下，變化幅度為 a 個單位。

平移

1. $y=f\left(x-h\right)\,$ 是將 f(x) 向右平移 h 個單位後的圖形。
2. $y=f\left(x+h\right)\,$ 是將 f(x) 向左平移 h 個單位後的圖形。
3. $y=f\left(x\right)+k\,$ 是將 f(x) 向上平移 k 個單位後的圖形。
4. $y=f\left(x\right)-k\,$ 是將 f(x) 向下平移 k 個單位後的圖形。

圓形

圓形是平面中所有與給定點（稱為圓心）距離為定值 r 的點的集合。距離 r 是圓形的半徑。

圓形的兩個基本定律是

$Area=\pi r^{2}\,$

$Circumference=2\pi r\,$

圓的性質

如果半徑垂直於弦，那麼半徑將平分該弦。

如果圓周上的任意一點與直徑連線，則會形成一個直角三角形。

如果畫出半徑，然後從該點畫出切線，那麼半徑和切線將相互垂直。

圓的方程

圓的標準方程為

$x^{2}+y^{2}=r^{2}\,$

這將始終得到一個以原點 (0,0) 為中心的圓。如果我們想要一個以 (h,k) 為中心的圓，則使用以下公式。

$\left(x-h\right)^{2}+\left(y-k\right)^{2}=r^{2}$

但是你不能用計算器繪製這兩個方程。你需要將它分成兩個方程，但圖將不完美，因為當 x = 0 和 $(x-h)^{2}=r^{2}$: $y=+{\sqrt {r^{2}-\left(x-h\right)^{2}}}+k$ 和 $y=-{\sqrt {r^{2}-\left(x-h\right)^{2}}}+k$ 時，x 未定義。

以下是 $\left(x-5\right)^{2}+\left(y-8\right)^{2}=2^{2}$ 的圖形。

這是 C1 (核心數學 1) 模組中 A-level 數學 文字的一部分。