A 級數學/OCR/C3/數值方法

求解方程的根

在這個模組中，我們將探索近似求解一個方程的根。下面我們有兩個圖。

使用圖形求解方程的根

在圖中，我們有兩個函式。如果我們想要近似求解方程的根，我們需要看看函式與 x 軸的交點。淡紫色函式在 2.05 和 2.25 之間的某個地方與 x 軸相交。綠色函式在 1 和 3.5 附近有根。如果我們想要知道綠色函式何時等於淡紫色函式，我們需要看看圖。當兩個圖相交時，它們是相等的。這個數字將是根。在本例中，它大約是 1.75。我們也可以說，在這個定義域上，兩個函式只相交一次。

透過尋找符號變化求解方程的根

當一個函式有根時，函式的值將從正值變為負值，反之亦然。如果下面是淡紫色函式的值表，我們可以說根出現在 2.05 和 2.10 之間。

x	f(x)
2	-1
2.05	-.4849
2.1	.061
2.15	.63838
2.2	1.248
2.25	1.08906

迭代公式

迭代公式是指由自身組成的公式。也就是說，函式的輸出是函式的下一個輸入。$x_{n+1}=F(n)$。這些函式是近似值的序列，通常收斂到函式的值。你可以透過輸出越來越接近彼此的事實來判斷函式是否收斂，如果沒有發生這種情況，那麼函式發散，並且沒有值。迭代公式的輸出寫成

$x_{2}\,$

$x_{3}\,$

$x_{4}\,$

第一個 x 是為你提供的。迭代公式的輸出用希臘字母 alpha 表示：α。當 $x_{n}=x_{n+1}$ 到所需的位數時，可以找到 α 的精度。給定一個迭代函式，你可以找到一個方程的根。此外，你還可以從給定的迭代函式中找到函式，方法是設定 x = 迭代函式，然後求解，這樣你就可以在一側得到一個零。上述過程可以反過來進行。

示例

給定由迭代公式 $\left(2x+5\right)^{\frac {1}{3}}$ 定義的序列，其中 $x_{1}=2$ 收斂到 $\alpha$

1. 求解 $\alpha$，精確到小數點後 4 位。
2. 求解以 $\alpha$ 為根的方程。
3. 該方程是否有其他根？

對於迭代公式，我們有

1. 我們將 $x_{1}$ 代入得到 $x_{2}$，以此類推
   1. $x_{2}=\left(2\times (2)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0801$
   2. $x_{3}=\left(2\times (2.0801)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0924$
   3. $x_{4}=\left(2\times (2.0924)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0942$
   4. $x_{5}=\left(2\times (2.0942)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0945$
   5. $x_{6}=\left(2\times (2.0945)+5\right)^{\frac {1}{3}}=2.0945$
   6. $\alpha =2.0945\,$
2. $x=\left(2x+5\right)^{\frac {1}{3}}$
   1. $x^{3}=2x+5\,$
   2. $x^{3}-2x-5=0\,$
3. 要確定函式是否有根，只需繪製 x 的最高次冪的影像，然後繪製其餘部分的影像。 它們交叉的次數就是根的數量。
   1. 如果我們繪製 $y=x^{3}$ 和 $y=2x+5$ 的影像，我們可以看到它們只交叉一次。
   2. 該函式只有一個根。

辛普森求積公式

為了求曲線下的面積，我們已經學習了梯形法則。 梯形法則的精度不高，需要非常多的梯形才能得到非常精確的面積。 辛普森求積公式在求曲線下的面積方面更加精確。 辛普森求積公式指出

$\int _{a}^{b}ydx\approx {\frac {1}{3}}h\left\{\left(y_{0}+y_{n}\right)+4\left(y_{1}+y_{3}+\ldots +y_{n-1}\right)+2\left(y_{2}+y_{4}+\ldots +y_{n-2}\right)\right\}$

其中$h={\frac {b-a}{n}}$，n 是偶數。

示例

使用辛普森法則求解 $\int _{1}^{5}x^{2}+2x\,dx$，其中 h = 1。

$\int _{1}^{5}x^{2}+2x\,dx\approx {\frac {1}{3}}\left[\left(1^{2}+2\times 1\right)+4\left(2^{2}+2\times 2\right)+2\left(3^{2}+2\times 3\right)+4\left(4^{2}+2\times 4\right)+\left(5^{2}+2\times 5\right)\right]$

$\int _{1}^{5}x^{2}+2x\,dx=65{\frac {1}{3}}$

曲線 $x^{2}+2x\,$下方的面積等於 $65{\frac {1}{3}}$.

這是真實值。如果我們將它與梯形法則得到的 66 和中點法則得到的 65 進行比較，可以看出辛普森法則最準確。

這是 C3（核心數學 3）模組的一部分，屬於 A-level 數學 文字。