A-level 數學/OCR/C3/微分

目前，您能夠求導的函式僅限於相對簡單的函式。現在我們將看看一些更復雜的函式以及求導它們的一些新方法。

微分規則

自然函式有兩個特殊的導數需要您記憶。導數 $\operatorname {e} ^{x}$ 是獨特的，因為它本身就是它的導數。如果指數中有一個常數，那麼導數將乘以該常數。導數 $\ln x\,$ 很重要，因為 x 前面的任何常數在導數中都會被去掉。

{\frac {d}{dx}}\operatorname {e} ^{kx}=k\operatorname {e} ^{kx}

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

任何底數的指數函式的導數為：

{\frac {d}{dx}}\operatorname {a} ^{x}=\operatorname {a} ^{x}\ln(\operatorname {a} )

求 $y=\operatorname {e} ^{6x}+\ln 5x$ 的導數。

使用這些規則，我們得到

${\frac {dy}{dx}}=6\operatorname {e} ^{6x}+{\frac {1}{x}}$

記住： $\ln 5x=\ln 5+\ln x\,$ ，所以 ${\frac {d}{dx}}\ln 5x={\frac {d}{dx}}\ln 5+\ln x=0+{\frac {1}{x}}$ .

乘積法則指出，如果 $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\,$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}=f'\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g'\left(x\right)$ .

求 $y=x^{2}\cdot 18x$ 的導數。

${\frac {dy}{dx}}=2x\cdot 18x+x^{2}\cdot 18$

${\frac {dy}{dx}}=36x^{2}+18x^{2}$

${\frac {dy}{dx}}=54x^{2}$

商法則指出：如果 $y={\frac {f(x)}{g(x)}}$ 那麼 ${\frac {dy}{dx}}={\frac {f^{'}(x)g(x)-g^{'}(x)f(x)}{\left\{g(x)\right\}^{2}}}$ .

求 $y={\frac {5x+3}{2x-1}}$ 的導數。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {5\times \left(2x-1\right)-\left(5x+3\right)\times 2}{\left\{2x-1\right\}^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {10x-5-10x-6}{\left\{2x-1\right\}^{2}}}$

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-11}{\left\{2x-1\right\}^{2}}}$

鏈式法則指出：如果 $y=f[g(x)]\,$ ，那麼 ${\frac {dy}{dx}}=f^{'}[g(x)]\cdot g^{'}(x)$ 。

求 $y=\left(2x^{2}-3\right)^{2}$ 的導數。

${\frac {dy}{dx}}=2\left(2x^{2}-3\right)4x$

${\frac {dy}{dx}}=8x\left(2x^{2}-3\right)$

如果我們想要反函式的導數，我們需要使用以下規則： ${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\frac {dx}{dy}}}\ if\ {\frac {dx}{dy}}\neq 0$ 。

$f\left(x\right)={\frac {x-1}{x+2}}$ 的反函式的導數是多少？

使用商法則求原函式的導數。

${\frac {dy}{dx}}={\frac {3}{(x+2)^{2}}}$

為了求反函式的導數，我們使用這個規則。

${\frac {dx}{dy}}={\frac {(x+2)^{2}}{3}}$

微積分可以用於需要根據相互影響的變數找到問題的最大值或最小值的情況。涉及相關變化率的問題非常多樣，並在許多實際應用中使用，例如：從最少的紙板中找到盒子最大體積到計算容器充滿所需時間。您需要用代數方式寫出問題，然後使用一階導數找到最大值或最小值。一般步驟如下：

如果一個正在移動的 6 米長的梯子（C）靠在牆上，梯子底部和牆壁之間的距離以每秒 1.5 米的速度增加，那麼當梯子底部距離牆壁 3 米時，梯子頂部在牆上向下移動的速度是多少？

第一步是列出我們知道的內容和我們正在處理的形狀。
1. 形狀是三角形。因此我們將使用 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 。
2. A = ? B = 3 ${\frac {db}{dt}}=1.5$ C = 6
第二步是找出我們需要求解的值。
1. ${\frac {da}{dt}}$
第三步是建立方程式並對變數進行微分。在這個方程式中，變數是時間。

1. $2a{\frac {da}{dt}}+2b{\frac {db}{dt}}=0{\frac {dc}{dt}}$
然後將所有相關資訊輸入方程。
1. $a{\frac {da}{dt}}+3\times 1.5=0$
如果缺少任何資料，請檢視是否可以透過方程獲得。
1. $a^{2}+3^{2}=6^{2}$
2. $a=3{\sqrt {3}}$
完成問題。
1. $3{\sqrt {3}}{\frac {da}{dt}}+3\times 1.5=0$
2. ${\frac {da}{dt}}=-{\frac {4.5}{3{\sqrt {3}}}}$
當梯子的底部距離牆壁 3 米時，梯子的頂部將以 $-{\frac {4.5}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {metres}{s}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {metres}{s}}$ 的速度向下滑動。

如果沙子以每分鐘 5 立方厘米的速度被倒入地面上，形成圓錐形。沙子堆積的方式是堆的半徑等於堆的高度。當沙堆的體積為 9π 立方厘米時，半徑以多快的速度增長？

第一步是列出我們知道的內容和我們正在處理的形狀。
1. 形狀為圓錐。圓錐體積的公式為 $v={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$ 。
2. V = 9π， ${\frac {dv}{dt}}=5$ ，r = h
第二步是找出我們需要求解的值。
1. ${\frac {dr}{dt}}$
第三步是建立方程式並對時間進行微分。
1. $v={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$
2. 由於 r = h，我們有 $v={\frac {1}{3}}\pi r^{3}$
3. ${\frac {dv}{dt}}=\pi r^{2}{\frac {dr}{dt}}$
然後將所有已知量代入方程。
1. $5=\pi r^{2}{\frac {dr}{dt}}$
如果缺少任何資料，請檢視是否可以透過方程獲得。
1. $9\pi ={\frac {1}{3}}\pi r^{3}$
2. $r=3$
完成問題。
1. $5=\pi 3^{2}{\frac {dr}{dt}}$
2. ${\frac {dr}{dt}}={\frac {5}{9\pi }}$
當體積為 9π $cm^{3}$ 時，半徑將以 ${\frac {5}{9\pi }}{\frac {cm}{min}}$ 的速率增長。