A 級數學/OCR/C3/積分

自然方程的積分

在核心三中，您將需要知道用於積分包含自然方程的函式的公式。 ${\frac {1}{x}}$ 的積分公式尤其重要，因為如果您嘗試使用我們在核心二中學到的公式進行積分，您將在分母中得到零。公式如下：

$\int \operatorname {e} ^{kx}\,dx={\frac {1}{k}}\operatorname {e} ^{kx}+c$

$\int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln \left|x\right|+c$

任何底數的指數函式的積分是：$\int \operatorname {a} ^{x}\,dx={\frac {1}{\ln(\operatorname {a} )}}\operatorname {a} ^{x}+C$

示例

積分以下函式 $4x^{3}-{\frac {1}{x}}+4\operatorname {e} ^{4x}$.

使用公式，我們得到

$\int 4x^{3}-{\frac {1}{x}}+4\operatorname {e} ^{4x}\,dx=x^{4}-\ln \left|x\right|+\operatorname {e} ^{4x}+c$

涉及線性替換的積分

目前我們無法直接積分複合函式，如果我們需要積分複合函式，我們需要進行線性替換。為了積分複雜函式 f[g(x)]'，我們需要使用以下步驟。

1. 設 u = g(x)
2. 求 u 的導數並解出 dx
3. 在函式中用 u 替換 g(x)，用步驟 2 中獲得的結果替換 dx。
4. 對函式進行關於 u 的積分。
5. 用 g(x) 替換 u。

示例

積分 $(12x+9)^{8}$.

1. u = 12x + 9
2. ${\frac {du}{dx}}=12$ 以及 $dx={\frac {du}{12}}$
3. $\int u^{8}{\frac {du}{12}}$ 等價於 ${\frac {1}{12}}\int u^{8}du$
4. ${\frac {u^{9}}{108}}$
5. ${\frac {(12x+9)^{9}}{108}}+C$

另一個更復雜的例子

積分 $3x(6x-2)^{5}$.

1. u = 6x - 2
2. ${\frac {du}{dx}}=6$ 以及 $dx={\frac {du}{6}}$
3. $\int 3xu^{5}{\frac {du}{6}}$
4. 然而，這次方程中還剩一個 x 項。如果周圍還有 x，我們就不能對 u 進行積分，所以我們必須把它去掉。
5. 如果 u = 6x - 2，那麼 x = ${\frac {u+2}{6}}$
6. 將此代入積分
7. $\int 3({\frac {u+2}{6}})u^{5}{\frac {du}{6}}$
8. 展開並整理積分
9. $\int ({\frac {u+2}{2}})u^{5}{\frac {du}{6}}$ = ${\frac {1}{6}}\int ({\frac {u^{6}+2u^{5}}{2}})du$
10. 將它分成兩個並進行積分

${\frac {1}{6}}\int {\frac {u^{6}}{2}}du+{\frac {1}{6}}\int {\frac {2u^{5}}{2}}$

$={\frac {1}{6}}({\frac {u^{7}}{14}}+{\frac {2u^{6}}{12}})+C$

旋轉體體積

積分用於求解將直線或直線組繞x軸或y軸旋轉而成的形狀的體積。我們只能圍繞一個獨立的軸旋轉。這也是證明圓錐體和球體等形狀體積公式的方法。您將在本模組中學習的方法被稱為圓盤法。公式如下

$V_{x}=\pi \int _{a}^{b}y^{2}\,dx$

$V_{y}=\pi \int _{c}^{d}x^{2}\,dy$

步驟如下

1. 對函式進行平方並積分
2. 輸入最高值。
3. 輸入最低值。
4. 從最高值的計算結果中減去最低值的計算結果。答案必須為正數。
5. 如果曲線被另一條曲線包圍，則執行步驟 1 到 5，然後從較高曲線中減去較低曲線。a 是兩條曲線相遇的最高點，b 是兩條曲線相遇的最低點。

示例一：曲線和軸之間的面積

求解將直線$y={\frac {2}{2x+9}}$繞x軸旋轉，並由直線x = 6 和 y 軸界定的旋轉體的體積。

1. 首先，我們對函式進行平方並積分
   1. $\pi \int _{0}^{6}\left({\frac {2}{2x+9}}\right)^{2}\,dx$
   2. $\pi \int _{0}^{6}{\frac {4}{\left\{2x+9\right\}^{2}}}\,dx$
   3. $\pi \left[{\frac {-2}{2x+9}}\right]_{0}^{6}$
2. 然後，我們輸入最高值。
   1. ${\frac {-2}{2\times 6+9}}={\frac {-2}{21}}$
3. 然後，我們輸入最低值。
   1. ${\frac {-2}{2\times 0+9}}={\frac {-2}{9}}$
4. 最後，我們從最高值的計算結果中減去最低值的計算結果。答案必須為正數。
   1. $\pi \left({\frac {-2}{21}}-{\frac {-2}{9}}\right)={\frac {8}{63}}\pi$
5. 這個實體的面積是 ${\frac {8}{63}}\pi$.

示例二：兩條曲線之間的面積

求由曲線 $y=x^{2}\,$ 和 $y={\sqrt {x}}$ 繞 x 軸旋轉而成的物體的體積。

1. 首先，我們找到它們相等的地方。
   1. $x^{2}={\sqrt {x}}$ x = 1 或 0
2. 然後我們對第一個函式進行積分。
   1. $\pi \int _{0}^{1}x^{4}\,dx$
   2. $\pi \left[{\frac {x^{5}}{5}}\right]_{0}^{1}$
3. 現在我們輸入較大的數字。
   1. ${\frac {1^{5}}{5}}={\frac {1}{5}}$
4. 然後我們輸入較小的數字。
   1. ${\frac {0^{5}}{5}}={\frac {0}{5}}$
5. 我們相減得到 ${\frac {1\pi }{5}}$
6. 現在我們需要對第二條曲線做同樣的操作。
7. 我們對第二個函式進行積分。
   1. $\pi \int _{0}^{1}x\,dx$
   2. $\pi \left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}$
8. 現在我們輸入較大的數字。
   1. ${\frac {1^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}$
9. 然後我們輸入較小的數字。
   1. ${\frac {0^{2}}{2}}={\frac {0}{2}}$
10. 我們相減得到 ${\frac {1\pi }{2}}$
11. 最後，我們從下曲線的面積減去上曲線的面積
    1. ${\frac {1\pi }{2}}-{\frac {1\pi }{5}}={\frac {3\pi }{10}}$
12. 由曲線 $y=x^{2}\,$ 和 $y={\sqrt {x}}$ 所圍成的區域繞 x 軸旋轉一週所得的體積為 ${\frac {3\pi }{10}}$

這是 C3（核心數學 3）模組的一部分，屬於 A-level 數學 教材。