A-level 數學/OCR/C3/代數函式

函式

符號

以下是處理對映問題時使用的符號。

$\lbrace \ldots \rbrace$ 表示一組...。

例如， $\lbrace x:x\geq 2\rbrace$ 表示一組 $x$ ，其中 $x$ 大於或等於 2。

$f:X\rightarrow Y$ 表示函式 f 將集合 X 對映到集合 Y。另一種寫法是 $f\left(x\right)=x$ 。

$\mathbb {N}$ - 自然數 - 例如，{1,2,3,. ..}

$\mathbb {Z}$ - 整數 - 例如，{...−2,−1,0,1,2,. ..}

$\mathbb {Q}$ - 分數（有理數）

$\mathbb {R}$ - 實數，包括有理數和無理數，但不包括複數，例如 ${\sqrt {-1}}$

無理數沒有通用符號 - 它們的符號是特定的 - 例如，{ $\pi \ e\ {\sqrt {x}}$ }

定義

對映：連線兩組專案的規則。

物件/輸入：起始集合中的一個專案。

映像/輸出：結束集合中的一個專案。

定義域：所有物件組成的集合。

陪域：所有可能的結束值組成的集合。

值域：陪域中實際使用的元素。

不同的對映

1) 唯一的 $x$ $\rightarrow$ 唯一的 $y$ （1:1 或單射對映）

2) 若干個 $x$ $\rightarrow$ 唯一 $y$ (多對一對映)

3) 唯一 $x$ $\rightarrow$ 若干個 $y$ (一對多對映)

4) 若干個 $x$ $\rightarrow$ 若干個 $y$ (多對多對映)

注意：函式只能是一對一 (單射) 或多對一對映。

基本性質

函式將每個輸入值對應到唯一的輸出值。如果存在兩個輸出值，則該公式就不是函式。例如 $y=x^{2}\,$ 是函式，因為每個 x 只有一個輸出值，但 $y^{2}=x\,$ 不是函式，因為每個 x 可能有兩個值，例如 4 = $-2^{2}$ 和 $2^{2}$ ，因此 x 可以是 2 或 -2。圓形（和類似形狀）的圖形代表多對多對映，因此它們不是函式。可以使用垂直線測試來確定圖形是否為函式。該測試指出，當且僅當繪製的任何垂直線與圖形只相交一次時，該圖形才為函式。函式共有四種表示方法：

1) 公式

2) 圖形

3) 表格

4) 文字描述

定義域和值域

每個函式都有定義域和值域。定義域是輸入值的集合。值域是輸出值的集合。請記住，如果函式存在反射或平移，則定義域和值域中的一個或兩個都會存在反射或平移。例如

函式 $f\left(x\right)=+{\sqrt {x}}$ 的定義域是 $\left[0,\infty \right)$ ，值域是 $\left[0,\infty \right)$ ，而函式 $f\left(x\right)=-{\sqrt {x+6}}$ 的定義域是 $\left[-6,\infty \right)$ ，值域是 $\left[0,-\infty \right)$ 。參見反射規則 1 和平移規則 2.

定義域

函式的定義域通常是所有 $\mathbb {R}$ ，但以下三種情況除外：1) 如果 x 出現在分母中，分母為零的點不在定義域中，例如

$f(x)={\frac {x}{x-1}}\,$ 的定義域是除 1 之外的所有 $\mathbb {R}$ 。

2) 如果指數小於零且為偶數，定義域將是 $\left[0,\infty \right)$ ，例如

${\sqrt {x}}$ 的定義域是 $\left[0,\infty \right)$ ，但 ${\sqrt[{3}]{x}}$ 的定義域是所有 $\mathbb {R}$ 。

3) 在分段函式中，定義域會受定義的限制，例如

$f(x)={\begin{cases}x,&if\ x\leq 5\\x^{2},&if\ 5<x<10\end{cases}}$ $x^{2}$ 的定義域將是 (5,10)。

值域

對於值域，有一個簡單的規則需要記住。所有偶函式的值域都是 $[0,\infty )$ ，奇函式的值域是所有 $\mathbb {R}$ 。

分段函式

分段函式是在不同區間上由不同表示式給出的函式。 $f(x)={\begin{cases}x^{2},&{\mbox{if}}\ x<2\\-\left(x-3\right)^{2}+9,&{\mbox{if}}\ x\geq 2\end{cases}}$ 的圖形如右圖所示。空心圓表示該點未包含在圖形中，實心圓表示該點包含在圖形中。因此 $f(2)$ = 8，而不是 4。

一對一函式

一對一函式必須對每個輸入都有唯一的輸出。例如， $f(x)=x^{2}$ 不是一對一的，因為輸入 -2 和 2 都會產生輸出 4，但是 $f(x)=x^{3}$ 是一對一的，因為每個輸入都會產生唯一的輸出，f(-2)= -8 且 f(2)=8。可以使用水平線測試來確定圖形是否是一對一的。該測試指出，當且僅當繪製的任何水平線與圖形僅相交一次時，函式才是一對一的。

反函式

函式的反函式將為函式的輸出值產生輸入值。函式必須是一對一的，反函式才存在。為了在數學上說明這一點： $f\left(x\right)=y$ 和 $f^{-1}\left(y\right)=x$ 。此外，反函式和函式的複合將產生 x： $ff^{-1}\left(x\right)=f^{-1}f\left(x\right)=x$ 。下面可以找到一個涉及蘋果和檸檬的示例。原始函式將蘋果變成檸檬，而反函式將檸檬變成蘋果。

如何找到函式的反函式。

1) 求解關於 x 的方程

2) 將 y 與 x 交換。

3) 用 $f^{-1}\left(x\right)$ 表示法寫出。

在例子中求 $f\left(x\right)={\frac {x-1}{x+2}}$ 的反函式。

1) $y={\frac {x-1}{x+2}}\iff yx+2y=x-1\iff yx-x=-2y-1\iff x={\frac {-2y-1}{y-1}}\,$

2) $y={\frac {-2x-1}{x-1}}$

3) $f^{-1}\left(x\right)={\frac {-2x-1}{x-1}}$

現在可以檢驗一下: $f\left(2\right)={\frac {1}{4}}$ 以及 $f^{-1}\left({\frac {1}{4}}\right)=2$ 。

一一函式的圖形表示

當我們畫一個一一函式的反函式的圖時，我們只需要交換x和y座標: (x,y) 變為 (y,x)。座標 (5,7) 在反函式的圖上將是 (7,5)。這個圖將是關於直線 y=x 的對稱圖形。在右側的例子中，紅色直線是 $f\left(x\right)=x^{3}$ 的圖，綠色直線是 $f^{-1}\left(x\right)={\sqrt[{3}]{x}}$ 的圖。

函式的複合

函式合成的數學符號是 $\circ$ 。或者，合成也可以寫成 $f\left[g\left(x\right)\right]$ 。當您合成兩個函式時，您用第二個函式替換變數的所有例項。您可以透過合成中函式的書寫順序來判斷函式的順序 $F\circ G$ ，表示 F 由 G 組成。如果原始函式的定義域或值域以某種方式受限，那麼複合函式也會以相同的方式受限。例如， $f\left(x\right)=2x^{2}+5$ 和 $g\left(x\right)={\sqrt {5x}}$ ，求 $f\circ g$ 。然後找出定義域和值域。