A-level 數學/OCR/C3/更多三角函式和恆等式

反三角函式

您可以使用反三角函式找到與某個值對應的角度，通常列為 $\cos ^{-1},\sin ^{-1},\tan ^{-1}$ 在您的計算器上。反三角函式的範圍有限，因為三角函式的輸出範圍有限。反正弦函式的範圍為 -π/2 弧度 = y = π/2 弧度，反餘弦函式的範圍為 0 弧度 = y = π 弧度，反正切函式的範圍為 -π/2 弧度 < y < π/2 弧度。以下是反三角函式的圖形。注意，反正切函式在 y = -π/2 弧度和 y = π/2 弧度處有漸近線。

函式	反函式	寫成	等同於	圖形
餘弦	$\arccos \theta \,$	$\cos ^{-1}\left(\theta \right)\,$	$x=\cos \ y\,$
正弦	$\arcsin \theta \,$	$\sin ^{-1}\left(\theta \right)\,$	$x=\sin \ y\,$
正切	$\arctan \theta \,$	$\tan ^{-1}\left(\theta \right)\,$	$x=\tan \ y\,$

示例

什麼餘弦值會產生 0.9396 的輸出？

反餘弦(0.9396) = 0.3490 弧度。

什麼正弦值對應於 0.9510 的輸出，並且介於 π 和 π/2 之間？

反正弦(0.9510) = 1.2566

π 弧度 - 1.2566 弧度 = 1.8850 弧度

倒數三角函式

函式的倒數為 1/函式，因此當您將倒數乘以函式時，您的結果為 1。由於分母中永遠不能為零，因此當函式為零時，倒數函式將接近漸近線。這些是下面的藍色線。另一個需要記住的關係是，原始函式的值越小，倒數函式的值就越大。

函式	寫成	等同於	反	圖形
正割	$\sec \theta \,$	${\frac {1}{\cos \left(\theta \right)}}$	$\arccos \left({\frac {1}{\theta }}\right)\,$
餘割	$\operatorname {cosec} \theta \,$	${\frac {1}{\sin \left(\theta \right)}}$	$\arcsin \left({\frac {1}{\theta }}\right)\,$
餘切	$\cot \theta \,$	${\frac {1}{\tan \left(\theta \right)}}={\frac {\cos \left(\theta \right)}{\sin \left(\theta \right)}}$	$\arctan \left({\frac {1}{\theta }}\right)\,$

三角恆等式

為了解決三角學問題，我們可以使用一些有用的恆等式。這些有用的恆等式可以透過不同的計算從一些簡單的恆等式推匯出來。以下是C3大綱中要求的恆等式。

勾股恆等式

在核心三中，引入了兩個額外的勾股恆等式，用於三個倒數函式。這使我們能夠解決涉及正割、餘割或餘切函式的問題。如果我們將核心 2 中的勾股恆等式分別除以 $\sin ^{2}$ 或 $\cos ^{2}$，就可以得到這兩個恆等式。

$\sec ^{2}(x)=1+\tan ^{2}(x)\;$

$\operatorname {cosec} ^{2}(x)=1+\cot ^{2}(x)\;$

正割恆等式示例

以弧度求解 x：$2\tan ^{2}\left(x\right)+2\sec ^{2}\left(x\right)-\sec \left(x\right)=12$

使用勾股恆等式替換 $\tan ^{2}$。

$2\left(\sec ^{2}\left(x\right)-1\right)+2\sec ^{2}\left(x\right)-\sec \left(x\right)=12$

展開並把所有變數移到一邊

$4\sec ^{2}\left(x\right)-\sec \left(x\right)-14=0$

分解因式

$\left(4\sec \left(x\right)+7\right)\left(\sec \left(x\right)-2\right)=0$

解出 sec(x).

$\sec \left(x\right)={\frac {-7}{4}}\ or\ 2$

解出 x

$\arccos {\frac {1}{2}}={\frac {\pi }{3}}rad$

$\arccos {\frac {-4}{7}}=2.179rad$

餘割恆等式的示例

解出 x 的餘切值 $\operatorname {cosec} ^{2}\left(x\right)+5\cot \left(x\right)+5=0$

用恆等式替換餘割

$\left(\cot ^{2}\left(x\right)+1\right)+5\cot \left(x\right)+5=0$

展開

$\cot ^{2}\left(x\right)+5\cot \left(x\right)+6=0$

分解因式

$\left(\cot \left(x\right)+3\right)\left(\cot \left(x\right)+2\right)=0$

解出 cot(x)

$\cot \left(x\right)=-3\ or\ -2$

複合角的加減

複合角公式在各種情況下非常有用，它們可以推匯出 15° 和 75° 角的精確值，也可以用於在其中一個角未知的情況下求出複合角的值。這些公式在 A-level 數學中後期非常重要。你需要知道的公式是

$\sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)\,$

$\cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)\,$

$\tan(A\pm B)={\frac {\tan(A)\pm \tan(B)}{1\mp \tan(A)\tan(B)}}$

注意：符號 $\mp$ 表示如果加角度（A+B），則在恆等式中減，反之亦然。它出現在餘弦恆等式和正切恆等式的分母中。

示例一：cos(15°) 的值

求 cos(15°) 的精確值。

我們可以將 cos(15°) 分解為一個複合角。

cos(15°) = cos(45°-30°)

現在使用恆等式

$\cos(45^{\circ }-30^{\circ })=\cos(45^{\circ })\cos(30^{\circ })+\sin(45^{\circ })\sin(30^{\circ })$

由於我們在核心 2 中學習過這些值，因此我們得到

$\cos \left(15\right)={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {1}{2}}$

$\cos \left(15\right)={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}$

示例二：sin(A+B) 的值

當 $\sin \left(A\right)={\frac {1}{2}}$ 且 $\cos \left(B\right)={\frac {3}{8}}$ 時，求 sin(A+B) 的值。

想象你有兩個三角形，並使用畢達哥拉斯公式找到剩餘的邊。

$1^{2}+x^{2}=2^{2}\,$ $x={\sqrt {3}}$

$3^{2}+x^{2}=8^{2}\,$ $x={\sqrt {55}}$

我們現在可以寫出另外兩個值。

$\cos \left(A\right)={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\sin \left(B\right)={\frac {\sqrt {55}}{8}}$

現在我們可以使用恆等式來解決

$\sin \left(A+B\right)={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{8}}+{\frac {\sqrt {55}}{8}}\times {\frac {\sqrt {3}}{2}}$

$\sin \left(A+B\right)={\frac {3+{\sqrt {165}}}{16}}$

倍角公式

當 b = a 時，從複合角公式得到倍角公式。餘弦的倍角公式是一個很好的提醒，當你有 cos(a+b) 時，你需要在恆等式中減去，否則你將得到 cos(2a) = 1。另外，你需要知道三個恆等式。

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=2\cos ^{2}(x)-1=1-2\sin ^{2}(x)\,$

$\tan(2x)={\frac {2\tan(x)}{1-\tan ^{2}(x)}}$

示例

當 sin(x) = .92 時，cos(2x) 的值是多少？求出對應於 2x 的角度，用弧度表示你的答案。

使用餘弦恆等式，我們得到

$\cos(2x)=1-2\sin ^{2}(x)=1-2\times .92^{2}=1-1.6928=-.6928\,$

使用反餘弦，我們得到

$\arccos(-.6928)\approx 2.33616rad$

三角函式的線性組合

線性組合在分析波浪方面非常重要，使用弧度，我們可以確定 r 是波浪的振幅，α 是波浪的相位。如果要求你給出 α 的值，請給出近似的數值答案。三角函式線性組合的公式為

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

$a\sin x+b\cos x=r\cdot \sin(x+\alpha )\,$

其中

$\alpha =\arcsin {\frac {b}{r}}$

$a\sin x+b\cos x=r\cdot \cos(x-\alpha )\,$

其中

$\alpha =\arccos {\frac {b}{r}}$

示例

將函式 $4\sin(x)-5\cos(x)$ 用 cos(x) 表示。求當 $4\sin(x)-5\cos(x)=3$ 時，在 0° < x <360° 範圍內，x 的值。

. 從方程中提取 R

$R={\sqrt {-5^{2}+4^{2}}}={\sqrt {41}}$

${\sqrt {41}}\left(\sin(x)\times {\frac {4}{\sqrt {41}}}+\cos(x)\times {\frac {-5}{\sqrt {41}}}\right)$

求解 α

$\arccos \left({\frac {-5}{\sqrt {41}}}\right)\approx 141.34^{\circ }$

用 cos(x) 表示函式

${\sqrt {41}}\cdot \cos(x-141.34^{\circ })$

現在我們需要求解當函式等於 3 時的 x 值

${\sqrt {41}}\cdot \cos(x-141.34^{\circ })=3$

$\cos(x-141.34^{\circ })={\frac {3}{\sqrt {41}}}$

$\arccos \left(\cos(x-141.34^{\circ })\right)=\arccos \left({\frac {3}{\sqrt {41}}}\right)$

$x-141.34^{\circ }=-62.06^{\circ },62.06^{\circ },297.94^{\circ }$

$x=79.28^{\circ },203.4^{\circ },439.34^{\circ }$

在 0° < x <360° 範圍內，我們得到

$x=79.28^{\circ },203.4^{\circ }$

這是 C3（核心數學 3）模組的一部分，屬於 A-level 數學 教材。