A-level 數學/OCR/C1/多項式

您已經熟悉了諸如 $3x+5$ 或 $2x^{2}+8x+2$ 以及可能 $x^{3}+2x-2$ 的表示式。可以寫成這種形式的表示式的通用術語是 **多項式**。不包括常數項，多項式中 $x$ 的所有冪都是正整數。具有 $x$ 為非整數或負數冪的表示式不是多項式。

多項式的基本概念

所有多項式都可以寫成以下形式

$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\dots a_{n}x^{n}$.

數字 $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\dots$ 被稱為 **係數**，通常已經知道。例如，在 $4x^{2}+3x+9$ 中，$x^{2}$ 的係數為 4。係數可以是 1，甚至可以是 0，例如，$x^{3}+x$ 仍然是一個多項式。

多項式的次數

多項式中最高次項的次數被稱為該多項式的 **次數**，有時也稱為 **階數**。例如，$x^{4}+4x^{2}+9$ 是一個四次多項式。某些次數有特定的名稱，並且在係數未知時通常用特定的字母表示。

• 次數 0 - 常數 - $c$ 或 $k$
• 次數 1 - 一次 - $ax+b$ 或 $mx+c$
• 次數 2 - 二次 - $ax^{2}+bx+c$
• 次數 3 - 三次 - $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
• 次數 4 - 四次 - $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

符號

本頁面的大多數多項式都是用 $x$ 表示的，例如，$4x^{2}+2x-9$，儘管多項式可以用其他字母表示。例如，$3z^{2}+z-2$ 被稱為 **關於 $z$ 的多項式**。

為了清晰起見，通常將多項式寫成降冪排列，儘管多項式中的冪次可以按任何順序排列。透過將多項式寫成降冪排列，可以簡單地透過檢視第一項來確定多項式的次數。當冪次按順序排列時，對兩個或多個多項式進行運算也變得更加簡單，因為在計算過程中通常會將同類項分組。

事實上，如果你沒有將諸如 $x^{2}+5x-3x$ 化簡為 $x^{2}+2x$ 這樣的東西，你可能會在考試中丟分。

多項式的運算

加法

要將多項式相加，只需將每項的係數相加即可。如果這聽起來很混亂，別擔心，你可能已經知道如何做到這一點，這基本上與合併同類項相同。將 $x$ 的係數加在一起，將 $x^{2}$ 的係數加在一起，等等。例如

$\left(4x^{2}+2x+9\right)+\left(6x^{2}-2\right)=10x^{2}+2x+7$

注意 $4+6=10$ 和 $9-2=7$。有些人發現像數值加法一樣寫出來會很有幫助

	$4x^{2}$	$+2x$	$+9$
+	$6x^{2}$		$-2$
	$10x^{2}$	$+2x$	$+7$

使用此方法時，務必將具有相同冪次的 $x$ 的項對齊，如有必要，請在上面示例中留出空格。

減法

對於多項式的減法，可以使用與上述相同的方法，只是用減法代替加法。當涉及負項時，可能會令人困惑，因此建議將第二行的符號反轉，然後將兩個多項式加在一起。

這

	$10x^{2}$	$+2x$	$+7$
-	$6x^{2}$		$-2$
	$4x^{2}$	$+2x$	$+9$

將變為

	$10x^{2}$	$+2x$	$+7$
+	$-6x^{2}$		$+2$
	$4x^{2}$	$+2x$	$+9$

這種方法在考試中是可取的，因為減去負數可能會造成混淆，並且在考試壓力下可能會忽略錯誤。

乘法

要乘以多項式，只需將一個多項式中的所有項乘以另一個多項式中的所有項，然後將結果加起來。這種方法被稱為 FOIL 方法。它代表 First Outer Inner Last。例如

$\left(3x^{2}+2x\right)\times \left(2x^{2}-5\right)$ 可以分解為

將第一項乘在一起。

$3x^{2}\times 2x^{2}=6x^{4}$

然後將外側項乘在一起。

$3x^{2}\times -5=-15x^{2}$

然後將內側項乘在一起。

$2x\times 2x^{2}=4x^{3}$

然後將最後一項乘在一起。

$2x\times -5=-10x$

然後我們將結果加在一起，得到 $6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$，以降冪排列。

隨著你對這個過程越來越熟練，你就能一步到位完成整個乘法，而無需將其分解，例如這樣

$\left(3x^{2}+2x\right)\times \left(2x^{2}-5\right)=6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$

乘法表

有些人發現用表格來展示這個很有幫助，一個多項式作為行，另一個作為列。

	$3x^{2}$	$2x$
$2x^{2}$
$-5$

然後將標題相乘，得到

	$3x^{2}$	$2x$
$2x^{2}$	$6x^{4}$	$4x^{3}$
$-5$	$-15x^{2}$	$-10x$

答案是所有單元格的總和

$6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$，與之前一樣。這種方法對於乘以更長的多項式特別有用，因為答案可能不適合放在一行上，並會導致錯誤。

長乘法

要乘的多項式也可以像普通長乘法一樣排列，如下所示

			$3x^{2}$	$2x$
	$\times$		$2x^{2}$		$-5$
這是第一行乘以$-5$			$-15x^{2}$	$-10x$
這是第一行乘以$2x^{2}$	$6x^{4}$	$4x^{3}$
這是兩個答案的總和	$6x^{4}$	$4x^{3}$	$-15x^{2}$	$-10x$

除法

多項式除法可以像普通長除法一樣進行。但是，你需要非常熟練地進行多項式的加、減、乘運算才能進行除法。

例如，要將$x^{3}-12x^{2}-42$除以$x-3$，可以這樣寫

$x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}$

1. 用除數中最高項除被除數的第一項。將結果放在線上面（x³ ÷ x = x²）。

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}$

2. 將除數乘以剛得到的商的第一項（最終商的第一項）。將結果寫在被除數的前兩項下方（x² * (x-3) = x³ - 3x²）。

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$

3. 從原始被除數的對應項中減去剛得到的乘積，並將結果寫在下方。這有時可能很棘手，因為符號問題。（(x³-12x²) - (x³-3x²) = -12x² + 3x² = -9x²）然後，將被除數的下一項“拉下來”。

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-\quad 3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}$

4. 重複最後三步，但這次使用剛寫下的兩項作為被除數。

${\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}$

5. 重複步驟 4。這次，沒有要“拉下來”的項。

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

橫線上面的多項式是你的答案，剩下的數 (-123) 是餘數。

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27$ 餘數 $-123$

多項式的曲線

可以透過觀察多項式來了解其曲線的一般形狀。 最重要的因素是多項式的次數以及最高次項係數的符號。 為了更準確地繪製圖形，您需要知道曲線在何處有**轉折點**以及它與$x$軸和$y$軸的交點。 具有此資訊的草圖通常足夠詳細，並且通常比逐點繪製曲線快得多且容易得多。

轉折點

轉折點是曲線從遞減變為遞增或反之的點。 在圖形上，曲線只是改變方向，因此得名轉折點。 在$y=x^{2}$中，轉折點位於 (0,0)，即“桶”的底部。 $y=x^{2}$ 的轉折點是**最小值**（複數**最小值**），而**最大值**（複數**最大值**）是相同的桶形，但倒置。 對於次數為$n$的多項式，其曲線最多有$n-1$ 個轉折點。

當$x$取極值時的行為

當$x$取很大的正值和負值時，多項式會發生什麼變化？

如果我們將$1000$ 作為我們的很大的數字，我們可以將其代入$6x^{4}+4x^{3}-15x^{2}-10x$，我們可以看看會發生什麼

首先對於$x=1000$：$6000000000000+4000000000-15000000-10000=6003970000000$

現在對於 $x=-1000$: $6000000000000-4000000000-15000000+10000=5995985010000$

最終答案變化最大的是 $x^{4}$ 項。這是**主導項**。對於一個 $n$ 次的多項式，當 $x\rightarrow \pm \infty$ 時，$x^{n}$ 是主導項。

當您研究了 $x$ 的極值情況下多項式的行為後，您可能會注意到，如果 $n$ 是偶數，它將與 $x^{2}$ 共享相同的總體形狀，如果 $n$ 是奇數，它將與 $x^{3}$ 共享相同的總體形狀。

如果 $x^{n}$ 的係數為正，則具有偶數 $n$ 值的曲線將呈桶狀，而具有奇數 $n$ 值的曲線通常在 $x$ 為負時為負，在 $x$ 為正時為正（類似於 $y=x$）。

如果 $x^{n}$ 的係數為負數，則當 $n$ 為偶數時，曲線將呈現倒置的桶形；當 $n$ 為奇數時，曲線在 $x$ 為負數時通常為正數，在 $x$ 為正數時通常為負數（類似於 $y=-x$）。

與座標軸的交點

要找到曲線與 $y$ 軸的交點，只需檢視常數項。例如，$y=x^{3}+2x^{2}-9x-18$ 將與 $y$ 軸在 $-18$ 處相交。如果不存在常數項，則曲線將穿過原點（0,0），因此將與 $y$ 軸在 $0$ 處相交。

事實上，在因式分解的形式下，你可以找到曲線與 $x$ 軸的交點。 $y=(x+3)(x+2)(x-3)$ 將與 $x$ 軸相交於 $-3$, $-2$, 和 $3$，因為透過使其中一個括號等於 $0$，它使得整個多項式等於 $0$，而 $y$ 等於 $0$。 $y=0$ 當然就是 $x$ 軸。曲線與 $x$ 軸的每個交點都是該方程的 **根**。一個 n 次多項式 **最多** 有 $n$ 個根。

**求解** 一個方程意味著找到所有根。二次多項式可以透過 二次公式 求解。對於更高次的多項式，你可能需要像上面一樣對方程進行因式分解，逐點繪製圖形，並觀察曲線與 $x$ 軸的交點，或者使用 數值方法。你可以透過將答案代入原始方程，並觀察結果是否為 $0$ 來檢查答案。

二次表示式

二次表示式是一個 2 次多項式，其形式為 $f(x)=ax^{2}+bx+c$。

圖形

二次函式圖形可以寫成 $y=ax^{2}+bx+c$ 的形式。 $y=2x^{2}+8x+2$ 的圖形如右圖所示，你可以看到它具有所有二次函式都具有的特徵性“桶”形，稱為 **拋物線**。 **頂點** 是最大或最小點。對稱軸是將圖形分成兩個映象部分的直線。它可以透過公式 ${\frac {-b}{2a}}$ 找到。

然而，這些性質更容易從它的完全平方形式（$a(x+d)^{2}+e$）推斷出來。在這個形式中，我們知道，- d 是對稱軸，而 e 是最大值或最小值點。如果 a 大於 0，則頂點 (-d,e) 將是一個最小值點。如果 a 小於 0，則頂點 (-d,e) 將是一個最大值點。

配方法

配方法是將一個二次方程從 $ax^{2}+bx+c$ 的形式轉換為等效形式 $a(x+d)^{2}+e$ 的過程，其中 a、d 和 e 是常數。例如，二次方程 $2x^{2}+8x+2$ 將變成 $2(x+2)^{2}-6$。

將二次方程轉換為完全平方形式，可以很容易地找到一些東西，例如二次方程的根和二次方程的頂點，甚至不需要繪製圖形。

以下是配方法的步驟。別擔心，它看起來比實際更容易。

步驟	操作	示例	一般情況
1.	確保二次方程處於常規形式：$ax^{2}+bx+c$。	$2x^{2}+8x+2$	$ax^{2}+bx+c$
2.	除非 $a=1$，"提取/分解 a"，即用 $a$ 除整個二次方程並將其放在括號外。 注意：如果二次方程是方程的一部分，你可以在兩邊除以 $a$，例如 $2x^{2}+8x+2=0$ 只需變成 $x^{2}+4x+1=0$。	$2\left(x^{2}+4x+1\right)$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)$
3.	用 $\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}$ 替換 $x^{2}+kx$ 部分。 重要的是要意識到$\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}=x^{2}+kx+{\frac {k^{2}}{4}}$，這與之前的結果很接近，但不相等。這將在下一步中得到修正。為了避免寫出實際上不相等的東西，一個好方法是在你熟悉了這種方法之後，在你操作過程中一次性完成這兩個步驟。	$2\left((x+2)^{2}+1\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right)$
4.	透過插入一個合適的數字來修正之前步驟中引入的錯誤。這個合適的數字可以透過兩種方法找到 展開之前步驟中插入的項，並將其與原始表示式進行比較；或 記住錯誤始終是${\frac {k^{2}}{4}}$。 這一步被稱為“配方法”，也是該方法名稱的由來。	$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ 比$x^{2}+4x+1$ 大3，所以插入$-3$：$2\left((x+2)^{2}-3\right)$；或 ${\frac {4^{2}}{4}}=4$，所以錯誤是4：$2\left((x+2)^{2}-4+1\right)$$=2\left((x+2)^{2}-3\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)$
5.	如果步驟2是必要的，那麼透過展開外層括號來稍微簡化結果。然後你就完成了。	$2(x+2)^{2}-6$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$
6.	檢查你得到的結果是否能夠展開回你最初的表示式。 注意：你可能對自己足夠自信，可以跳過這一步。	$2\left(x^{2}+4x+4\right)-6$ $=2x^{2}+8x+8-6$ $=2x^{2}+8x+2$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+c$

因此，$y=2x^{2}+8x+2$ 的完全平方形式為 $2(x+2)^{2}-6$。$-6$ 告訴我們曲線的最低點在 $y=-6$，而 $x+2$ 告訴我們對稱軸在 $x+2=0$ 或 $x=-2$。因此，頂點位於 $(-2,-6)$，如果你看一下圖形，你會發現情況確實如此。

二次方程

二次方程是從配方法的一般情況推匯出來的

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

它可用於透過將數字直接代入二次方程來找到其根。例如，對於 $y=2x^{2}+8x+2$

$x={\frac {-8\pm {\sqrt {64-16}}}{4}}=-2\pm {\sqrt {3}}$

所以 $x=-2+{\sqrt {3}}$ 和 $x=-2-{\sqrt {3}}$。方程式的因式是 $x+2-{\sqrt {3}}$ 和 $x+2+{\sqrt {3}}$。

以下是求根公式如何從配方推匯出來的。

步驟	操作	示例	一般情況
1.	要解形如 $ax^{2}+bx+c=0$ 的方程，首先使用上述方法配方。	$2(x+2)^{2}-6=0$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0$
2.	將 $(x+k)^{2}$ 項分離出來。	$2(x+2)^{2}=6$ $(x+2)^{2}=3$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$ $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$
3.	對等式兩邊開平方，包括一個 $\pm$ ，因為括號裡的內容可能是負數也可能是正數。	$x+2=\pm {\sqrt {3}}$	$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}$ 然後進行一些簡化 $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
4.	將 $x$ 單獨隔離。	$x=\pm {\sqrt {3}}-2$ $x={\sqrt {3}}-2$ 或 $-{\sqrt {3}}-2$ $x\approx -0.268$ 或 $-3.73$	$x=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}$ $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

判別式

注意，二次方程包含 $b^{2}-4ac$ 在平方根符號內。這部分稱為判別式，可以單獨考慮以確定方程根的數量。

• 如果 $b^{2}-4ac<0$，則你將無法找到平方根，因為你不知道如何求負數的平方根。你迄今為止遇到的數字型別被稱為實數，因此可以說該二次方程具有 **無實根**。
• 如果 $b^{2}-4ac=0$，則改變平方根前的 $\pm$ 符號不會有任何影響，因為無論如何它都是零。因此，你將得到相同的根兩次，因此可以說該二次方程具有 **一個重複根**。
• 如果 $b^{2}-4ac>0$，則 $\pm$ 將意味著你得到兩個答案，因此可以說該二次方程具有 **兩個不同的** （即不同的） **根**。

這是 C1（核心數學 1）模組的一部分，屬於 A-level 數學 文字。