A-level 數學/MEI/C1/代數

代數是數學的一個分支，它處理數量之間的關係。在一個等式中，兩邊相等，在一個不等式中，一邊通常大於另一邊。

一個等式由兩個表示式透過等號 ($=$) 連線。等號左側的所有內容都等於等號右側的所有內容，例如 $2+3=4+1$。一些方程包含一個變數，通常用 $x$ 表示，儘管可以使用任何字母。一個包含變數的方程只有在該變數取某些值時才成立。例如 $2+x=5$ 只有在 $x=3$ 時才成立。當方程成立時變數所具有的值稱為方程的解。因此 $x=3$ 是方程 $2+x=5$ 的解。

代數語言

在你開始代數運算之前，你需要熟悉幾個術語。

變數

變數是一個量，其值通常未知。通常，變數被賦予符號 $x$，儘管可以使用任何字母。

常數

常數通常是一個已知量，不包含變數。稍後你會遇到未知常數，它們通常用符號 $c$ 表示。

指數

通常，索引是指寫在符號上方的上標。索引通常用於表示某個值被冪乘，例如 $x^{3}$（讀作x的三次方），它等同於 $x\times x\times x$。

表示式

表示式是由一組符號組成的數學語句。 $2+2$ 就是一個表示式的例子。

項

項是指表示式中任何由一個加號 $+$ 或減號 $-$ 分隔的變數、常數或變數和常數的乘積。在表示式 $3x+4xy-2y$ 中，各個項分別為 $3x$、$4xy$ 和 $2y$。

係數

係數是指項中乘以變數部分的常數部分。例如，在 $2x^{3}$ 中，$x^{3}$ 的係數是 $2$。

方程式

方程式是一個數學語句，表明兩個事物相等。兩個表示式之間有一個等號 ($=$)。 $2+2=4$ 是一個方程式的例子， $3+x=7$ 也是。

恆等式

恆等式是一個帶有未知數的方程，對於該未知數的所有值都成立。恆等式符號 (≡) 用於代替等號。例如，$x-x=0$ 始終正確，無論$x$ 的值為多少。當您想強調這是一個恆等式，而不僅僅是一個方程時，通常會寫$x-x$ ≡ $0$。

函式

函式將一個輸入值關聯到一個輸出值。$x$ 的函式通常記為 $f(x)$。 $f(x)=x^{2}$ 是函式的一個例子。然後就可以寫 $f(3)=3^{2}=9$，一旦函式被定義。 $f(x)={\sqrt {x}}$ 不是函式，因為每個輸入都有兩個輸出值（正數和負數）。

表示式操作

有時，表示式會比實際需要更復雜，可以用更容易理解的形式表示它們。這些技能對於 A-level 課程的其餘部分至關重要，儘管您很可能已經在 GCSE 中學習過它們。

合併同類項

合併同類項時，只需將所有 $x$ 項加在一起，所有 $y$ 項加在一起，以及所有 $z$ 項加在一起。對於任何其他表示變數的字母也適用。

例如，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 變為

$2x-3x+4x=3x$

$4y-7y=-3y$

$8z-2z=6z$

因此，透過將所有答案相加，$2x+4y+8z-3x-7y-2z+4x$ 簡化為 $3x-3y+6z$。

乘法

不同變數的乘法，例如 $a\times b$ 變為 $ab$。單個變數變成 指數，所以 $x\times x$ 是 $x^{2}$。

與加減法一樣，將同類項放在一起。例如

$2x^{2}z\times 3yz^{2}\times 4xy^{3}$ 變為

$2\times 3\times 4\times x^{2}\times x\times y\times y^{3}\times z\times z^{2}$

最終可以簡化為

$24{x^{3}}{y^{4}}{z^{3}}$

括號展開

以下例子說明了括號展開的技巧。

$(8x+5y)(3x-6y)$

$=(8x+5y)3x-(8x+5y)6y=8x(3x-6y)+5y(3x-6y)$ 使用 FOIL

F=> 每個括號中的第一項 8x . 3x =24x^2 O=> 外項（第一個括號中的第一項乘以第二個括號中的第二項） 8x . -6y = -48xy I=> 內項（第一個括號中的第二項乘以第二個括號中的第一項） 5y . 3x =15xy L=> 每個括號中的最後一項 5y . -6y = -30 y^2

將各項放在一起（通常只有中間兩項） 24x^2 -48xy +15xy -30y^2 答案 24x^2-33xy-30y^2

因式分解

有時，表示式可以被改寫成其因子的乘積。將表示式除以所有項共有的因子。這本質上是括號展開的逆運算，因為大多數情況下，共同因子被放在括號外面。例如

要分解因式 $10x+15y$，你必須先找到 $10x$ 和 $15y$ 的公因數。 $5$ 很容易被發現是一個因數。現在你把整個表示式除以 $5$，得到 $2x+3y$。把 $2x+3y$ 放入括號中，然後把 $5$ 放在括號外。分解因式後的表示式現在是 $5(2x+3y)$，你可以把表示式乘開，以確保你得到原來的表示式。

另一個表示式，$x^{2}-xy^{2}+3xz$ 有一個公因數 $x$。這個表示式的分解因式形式是 $x(x-y^{2}+3z)$。

分數

在處理分數時，規則是使所有分母相等，然後將表示式寫成一個分數。你需要同時乘以分子和分母相同的量，以保持分數的意義不變。

例如，對於 ${\frac {3x}{2}}+{\frac {2y}{5}}-{\frac {z}{10}}$，公分母是 $10$。

同時乘以 $5$：${\frac {15x}{10}}$

同時乘以 $2$：${\frac {4y}{10}}$

保持不變：${\frac {z}{10}}$

你現在有 ${\frac {15x}{10}}+{\frac {4y}{10}}-{\frac {z}{10}}$，它變成 ${\frac {15x+4y-z}{10}}$。

解方程

通常，為了解方程，你必須將其重新排列，使未知項位於等號的一側。透過將$2+x=5$ 改寫為$x=5-2$，$x$ 已被設定為方程的**主元**。現在透過簡化方程，你可以發現解是$x=3$。

改變方程的主元

你通常會得到比上面例子更復雜的方程。要將一個項從等號的一側移到另一側，你必須在等號的兩側做相同的事情。例如，要將$x$ 設定為$y={\frac {4a(x^{2}+b)}{3}}$ 的主元

兩邊同時乘以$3$	$3y=4a(x^{2}+b)$
兩邊同時除以$4a$	${\frac {3y}{4a}}=x^{2}+b$
兩邊同時減去$b$	${\frac {3y}{4a}}-b=x^{2}$
兩邊同時開方	$\pm {\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$

解一元二次方程

二次方程式是指變數被提升到 2 次方的方程式，與線性方程式不同，它最多有 2 個根。根是使方程式成立的變數值之一，要完全解方程式，必須找到所有根。對於二次方程式，可以對其進行因式分解，然後輕鬆找到使方程式成立的值。以上示例是一個比較簡單的例子。通常你會得到一個更復雜的方程式，例如 $2x^{2}+5x+3=0$。如果方程式還沒有 $ax^{2}+bx+c=0$ 形式，將其重新排列成這種形式。對 $2x^{2}+5x+3=0$ 進行因式分解所需的步驟如下。

將 $2$ 乘以 $3$ ($x^{2}$ 的係數乘以常數項)。	$2\times 3=6$
找到兩個加起來等於 $5$ ($x$ 的係數) 且乘起來等於 $6$ (前一步的答案)。	$2\times 3=6$$2\times 3=6$，$2+3=5$
將 $5x$ 分解成 $2x+3x$ (來自前一步的結果)。	$2x^{2}+2x+3x+3=0$
簡化	$2x(x+1)+3(x+1)=0$
進一步簡化	$(2x+3)(x+1)=0$

所以 $(2x+3)(x+1)=0$ 是 $2x^{2}+5x+3=0$ 的因式分解形式。現在你可以利用任何數乘以 $0$ 等於 $0$ 的事實來求解該方程的根。使得其中一個括號等於 $0$ 的數字是該方程的根。在這個例子中，根是 $-1.5$ 和 $-1$.

也可以使用 二次公式 或透過 配方 來求解二次方程。

聯立方程

聯立方程組用於同時求解兩個或多個變數。基本聯立方程組包含兩個線性表示式，可以透過三種不同的方法求解：消元法、代入法或作圖法。

消元法

消元法的基本原理是透過對一個或多個表示式進行操作，消除其中一個變數，然後求解正確解。

舉個例子

$2x+3y=10$		(1)		(將該方程編號為 (1))
$2x+6y=6$		(2)		(將該方程編號為 (2))

由此可見，將方程 (1) 乘以 2，然後從 (2) 中減去這個新方程，$y$ 變數將被消除。

(1) $\times 2\rightarrow 4x+6y=20$ (1a) (將該方程編號為 (1a))

現在從 (1a) 中減去 (2)

	$4x+6y=20$		(1a)
$-$	$2x+6y=6$		(2)
$=$	$2x+0y=14$

現在我們有 $2x=14$，我們可以求解 $x$，在本例中為 $7$.

$x=7$.

將新找到的$x$代入(1)

$2\times 7+3y=10$

$14+3y=10$

我們可以發現$y=-4/3$

所以，方程(1)和(2)的解是

$x=7$

$y=-4/3$

代入法

代入法依賴於能夠重新排列表達式以隔離單個變數，形式為變數=表示式。從這個結果中，這個新的表示式可以被代入變數本身，然後計算解。

舉個例子

$2x+3y=12$		(1)		(將該方程編號為 (1))
$x+y=6$		(2)		(將該方程編號為 (2))

從這個表示式中，我們可以看到(2)是最簡單的表示式，因此將是更好的選擇來重新排列。

取(2)，並將其重新排列為$x=6-y$。(2a)

將(2a)代入(1)我們得到

$2(6-y)+3y=12$

解這個方程，我們得到$y=0$

同樣，我們可以將這個結果代入原始方程之一以求解$x$。在本例中，$x=6$。

請注意，對於其中一個方程是非線性的情況，您必須線上性方程中隔離一個變數，並將其代入非線性方程。然後你可以用上面的一種方法來解這個二次方程。

另一種形式的代入是，如果兩個方程中都有類似的表示式，比如在本例中

$2x+3y=10$		(1)		(將該方程編號為 (1))
$2x+6y=6$		(2)		(將該方程編號為 (2))

這裡，$2x$在兩個方程中都存在，所以

$2x=10-3y$		(1)
$2x=6-6y$		(2)

並且，由於$2x=2x$，你可以做

$10-3y=6-6y$

$6y-3y=6-10$

$3y=-4$

$y=-4/3$

現在你已經得到了 $y$，找到 $x$ 與上面的步驟相同。

圖形方法

透過繪製兩個方程的直線，你可以透過觀察直線的交點來解方程。如果交點為 (a,b)，則解為 $x=a$ 和 $y=b$。

用聯立方程解題

通常，你會得到一些問題，你需要將它們寫成一對聯立方程。你需要識別這些問題，並在求解之前將它們正確地寫出來。大多數問題都類似於這些例子，只是有一些差異。

示例 1

在一家唱片店，2 張專輯和 1 張單曲的價格為 10 英鎊。1 張專輯和 2 張單曲的價格為 8 英鎊。求出一張專輯和一張單曲的價格。

假設一張專輯為 $a$，一張單曲為 $s$，則兩個方程為

$2a+s=10$

$a+2s=8$

你現在可以解方程，找到每件商品的價格。

示例 2

湯姆有 10 英鎊的預算用於購買派對食品。他可以買 5 包薯片和 8 瓶飲料，或者他可以買 10 包薯片和 6 瓶飲料。

假設一包薯片為 $c$，一瓶飲料為 $d$，則兩個方程為

$5c+8d=10$

$10c+6d=10$

現在你可以解方程，找到每件商品的價格。

示例 3

在一家糖果店，一顆跳跳糖比一顆軟糖貴 5 便士。8 顆軟糖和 9 顆跳跳糖的價格為 1.64 英鎊。

假設一顆跳跳糖為 $g$，一顆軟糖為 $b$，則兩個方程為

$b+5=g$

$8b+9g=164$

現在可以使用上述方法之一來解決該問題。

二次方程

二次函式是多項式，其次數為 2，形式為$f(x)=ax^{2}+bx+c$。

圖形

二次函式圖形是指可以寫成$y=ax^{2}+bx+c$形式的圖形。$y=2x^{2}+8x+2$的圖形如右圖所示，您可以看到它具有所有二次函式都具有的相同特徵的“桶”形，稱為拋物線。對稱軸和圖形的頂點（最高點或最低點）可以透過逐點繪製曲線來找到，而根可以透過因式分解二次函式來找到。

但是，這些屬性更容易從其配方形式推斷出來

$y=2(x+2)^{2}-6$.

配方

配方是將二次函式從$ax^{2}+bx+c$形式轉換為等效形式$a(x+d)^{2}+e$的過程，其中$a$、$d$和$e$是常數。例如，二次函式$2x^{2}+8x+2$將變為$2(x+2)^{2}-6$。

將二次函式轉換為配方形式，可以輕鬆找到一些東西，例如二次函式的根和二次函式的頂點，甚至不需要繪製草圖。

以下是配方的步驟。別擔心，它看起來比實際操作起來更難。

步驟	操作	示例	一般情況
1.	確保二次函式處於常規形式：$ax^{2}+bx+c$。	$2x^{2}+8x+2$	$ax^{2}+bx+c$
2.	除非 $a=1$，"提出係數 a"，即用 $a$ 除整個二次方程並將其放在括號外。 注意：如果二次方程是方程的一部分，你可以用 $a$ 除方程的兩邊，例如 $2x^{2}+8x+2=0$ 只需變成 $x^{2}+4x+1=0$。	$2\left(x^{2}+4x+1\right)$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}\right)$
3.	用 $\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}$ 替換 $x^{2}+kx$ 部分。 重要的是要意識到 $\left(x+{\frac {k}{2}}\right)^{2}=x^{2}+kx+{\frac {k^{2}}{4}}$ 它很接近之前的內容，但並不相等。這將在下一步中進行修正。為了避免寫下實際上不相等的東西，最好在你習慣了這種方法之後，在你計算過程中一次性完成這兩個步驟。	$2\left((x+2)^{2}+1\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}\right)$
4.	透過插入一個合適的數字的減法來修正上一步中引入的錯誤。這個合適的數字可以透過兩種方式找到 透過擴充套件上一步中插入的項並將它與原始項進行比較；或者 透過記住這個錯誤總是 ${\frac {k^{2}}{4}}$。 這一步被稱為"配方法"，這也是該方法名稱的由來。	$(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4$ 比 $x^{2}+4x+1$ 大 3，所以插入 $-3$：$2\left((x+2)^{2}-3\right)$；或者 ${\frac {4^{2}}{4}}=4$ 所以誤差為 4: $2\left((x+2)^{2}-4+1\right)$$=2\left((x+2)^{2}-3\right)$	$a\left(\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}\right)$
5.	如果步驟 2 是必要的，那麼透過展開外部括號來簡化結果。	$2(x+2)^{2}-6$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$
6.	檢查你所得到的結果是否能展開回你開始時的表示式。 注意：你可能已經足夠自信可以跳過此步驟。	$2\left(x^{2}+4x+4\right)-6$ $=2x^{2}+8x+8-6$ $=2x^{2}+8x+2$	$a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4a}}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$ $=ax^{2}+bx+c$

所以，$y=2x^{2}+8x+2$ 的完全平方形式是 $2(x+2)^{2}-6$。 $-6$ 告訴我們曲線的最低點在 $y=-6$，而 $x+2$ 告訴我們對稱軸在 $x+2=0$ 或 $x=-2$。因此，頂點在 $(-2,-6)$，如果你看圖表，你會發現情況就是這樣。

從圖表中可以看出，$y=2x^{2}+8x+2$ 在 $-4$ 和 $-3$ 之間有一個根，在 $-1$ 和 $0$ 之間還有另一個根，它與 $y$ 軸相交。但是，你如何找到確切的值？使用完全平方形式，可以很容易地重新排列它來找到 $x=0$

步驟	操作	示例	一般情況
1.	要解形式為 $ax^{2}+bx+c=0$ 的方程，首先使用上述方法完成平方。	$2(x+2)^{2}-6=0$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=0$
2.	隔離 $(x+k)^{2}$ 項。	$2(x+2)^{2}=6$ $(x+2)^{2}=3$	$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a}}-c$ $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}$
3.	對等式兩邊開平方，包括一個$\pm$，因為括號內的值可能為負或正。	$x+2=\pm {\sqrt {3}}$	$x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}$ 然後進行一些簡化 $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {4ac}{4a^{2}}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}$ $x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$
4.	將$x$孤立出來。	$x=\pm {\sqrt {3}}-2$ $x={\sqrt {3}}-2$ 或 $-{\sqrt {3}}-2$ $x\approx -0.268$ 或 $-3.73$	$x=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}$ $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

在這個特定示例中，$x$ 的值在預期範圍內，如圖形所示。

一元二次方程公式

一元二次方程公式是由配方法的一般情況推匯出來的

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

它可以用來透過直接代入數字來求解一元二次方程的根。例如，對於 $y=2x^{2}+8x+2$

$x={\frac {-8\pm {\sqrt {64-16}}}{4}}=-2\pm {\sqrt {3}}$

所以 $x=-2+{\sqrt {3}}$ 和 $x=-2-{\sqrt {3}}$.

判別式

注意，一元二次方程包含 $b^{2}-4ac$ 在平方根符號內。這個部分被稱為 **判別式**，可以獨立考慮以確定方程的根數。

• 如果 $b^{2}-4ac<0$，那麼你將無法找到平方根，因為你不知道如何對負數開平方。你到目前為止遇到的數字型別被稱為實數，所以據說這個一元二次方程 **沒有實根**。
• 如果 $b^{2}-4ac=0$，那麼改變平方根前的 $\pm$ 符號不會有任何區別，因為它無論如何都是零。因此，你會得到兩次相同的根，所以據說這個一元二次方程 **有一個重複根**。
• 如果 $b^{2}-4ac>0$，那麼 $\pm$ 將意味著你得到兩個答案，所以你可以說這個一元二次方程 **有兩個不同的**（即不同的）**根**。

不等式

不等式是用來比較點、線或曲線的相對大小的表示式。與 等式 不同，等式的兩邊總是相等的，不等式的兩邊可以一邊大於或等於另一邊。

不等式的四個符號

主要有四個基本符號

• $<$ 小於，
• $>$ 大於，
• $\leq$ 小於或等於，以及
• $\geq$ 大於或等於。

例如，$x<4$ 表示 $x$ 小於 4，$x>4$ 表示 $x$ 大於 4，$x\leq 4$ 表示 $x$ 等於 4 或任何小於 4 的數字，而 $x\geq 4$ 表示 $x$ 等於 4 或任何大於 4 的數字。

請注意 $x>y$ 和 $y<x$ 本質上是同一個語句。

如果你搞混了哪個符號代表小於和大於，記住不等號總是指向較小的數字會有所幫助。

組合不等式

在某些情況下，兩個不等式可以合併為一個。例如，據說門的高度介於 $x\geq 1.95$ 和 $x<2.05$ 之間。通常寫成 $1.95\leq x<2.05$。請注意，不等號的方向相同。 $2.05\geq x>1.95$ 是完全可以接受的，但組合方向相反的不等式是不正確的，它們必須保留為兩個單獨的不等式。

求解線性不等式

這些符號可以代替等號使用，現在方程變成不等式（因為兩邊並不總是相等）。

例如，不是 $2x+4=6$，我們可以有 $2x+4>6$。

在這個例子中，$x$ 可以是任何使這個不等式大於 6 的數字。在這種情況下，$x>1$，但 $x\neq 1$。如果不等式是 $2x+4\geq 6$，那麼 $x$ 可以取值為 1。

不等式可以像方程式一樣進行操作和求解，但當你乘以或除以負數時，你需要採取額外的步驟。

乘以或除以負數

當你乘以或除以負數時，你必須改變不等號的方向。

例如，看一看不等式 $10>5$。這是正確的，因為 10 顯然大於 5。現在，如果我們要將兩邊都乘以 -1，我們會得到

$-10>-5$.

這是錯誤的，因為 -10 實際上小於 -5。透過反轉不等號，我們現在得到了正確的不等式

$-10<-5$.

求解二次不等式

要解二次不等式，你可以因式分解它，就像解二次方程式一樣。

或者，你可以像繪製二次方程式一樣繪製它的圖形，然後陰影覆蓋不等式的那一邊。也許在這裡新增一個影像，來演示這個方法？

指數

你可能已經熟悉指數，例如 $x^{2}$ 只是 $x\times x$ 的簡寫，而 $x^{4}$ 同樣是 $x\times x\times x\times x$。在 $x^{5}$ 中，$x$ 稱為底數，$5$ 稱為冪或指數。 $x^{4}$ 讀作 "x 的四次方" 或完整地說 "x 的四次冪"。一些冪非常有用，因此有特殊的名稱：$x^{2}$ 稱為 "x 的平方"，$x^{3}$ 稱為 "x 的立方"，而 $x^{-1}$（如果你還沒有遇到過，你很快就會了解）稱為 "x 的倒數"。

注意："指數定律"有時也稱為 "指數法則" 或 "冪規則" [1]。更一般地說，數學中的 指數 是符號的 上標 或 下標。

指數運算

使用這種表示法，你可能會注意到一些模式。

乘法

首先，$x^{3}\times x^{2}$ 是 $\left(x\times x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x$，也就是 $x^{5}$。當然 $3+2=5$，所以你將冪加在一起。為了澄清，這裡有一個用數字的例子：$2^{3}\times 2^{5}=8\times 32=256=2^{8}$（和之前一樣，$3+5=8$）

除法

其次，${\frac {x^{4}}{x^{2}}}$ 等於 ${\frac {x\times x\times x\times x}{x\times x}}=x\times x=x^{2}$ （當 $x\neq 0$ 時）。這次，$4-2=2$，因此你減去了冪次。

這裡有一個數字的例子：${\frac {10^{5}}{10^{2}}}={\frac {100000}{100}}=1000=10^{3}$，同樣地，$5-2=3$。

底數的雙重冪次

第三，$\left(x^{2}\right)^{3}$ 等於 $\left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)\times \left(x\times x\right)=x\times x\times x\times x\times x\times x$，即 $x^{6}$。你可以看到 $2\times 3=6$，因此冪次被乘了。這裡還有一個數字的例子：$\left(3^{2}\right)^{4}=9^{4}=6561=3^{8}$，而 $2\times 4=8$。

多個底數

最後， $\left(xy\right)^{3}=xy\times xy\times xy=x\times y\times x\times y\times x\times y=x\times x\times x\times y\times y\times y$，與 $x^{3}y^{3}$ 相同。這裡有一個用數字的例子：$\left(2\times 5\right)^{2}=\left(10\right)^{2}=100=4\times 25=2^{2}\times 5^{2}$。除法也有類似的情況：$\left({\frac {x}{y}}\right)^{2}={\frac {x}{y}}\times {\frac {x}{y}}={\frac {x\times x}{y\times y}}={\frac {x^{2}}{y^{2}}}$

指數定律

上面提到的規則被稱為指數定律，可以寫成

1. $x^{a}x^{b}=x^{a+b}$
2. ${\frac {x^{a}}{x^{b}}}=x^{a-b}$
3. $\left(x^{a}\right)^{b}=x^{ab}$
4. $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$
5. $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$

特殊指數

你可能已經意識到 ${x^{1}}=x$。透過觀察 $x^{3}=x\times x\times x$、$x^{2}=x\times x$ 的規律，或者透過計算 ${\frac {x^{3}}{x^{2}}}$，它顯然是 $x$，但根據定律 2 它也等於 $x^{3-2}=x^{1}$。

到目前為止，我們所看到的例子都是冪為正整數的情況，但是透過思考這些定律，我們可以研究其他情況。

零次冪

對於任何 $x$（嚴格來說，對於任何 $x\neq 0$，見下面的 註釋），$x^{0}=1$ 這一點並不那麼顯而易見，但這可以用類似的方式證明，例如 ${\frac {x^{4}}{x^{4}}}$ 等於 1，但也必須等於 $x^{4-4}=x^{0}$，根據定律 2。

負次冪

下一個合乎邏輯的步驟是問 $x^{-1}$ 是什麼。根據定律 2 的逆向應用，$x^{-1}=x^{0-1}={\frac {x^{0}}{x^{1}}}={\frac {1}{x}}$。類似的論證可以用於任何其他負整數，例如 $x^{-3}=x^{0-3}={\frac {x^{0}}{x^{3}}}={\frac {1}{x^{3}}}$。

分數次冪

如果冪不是整數怎麼辦？假設你想找到$x^{\frac {1}{2}}$，你可以說${x^{\frac {1}{2}}}\times {x^{\frac {1}{2}}}=x^{1}$（根據定律 3，冪的加法），這意味著$x^{\frac {1}{2}}$必須是$\pm {\sqrt {x}}$。然而，習慣上只使用正根，所以$x^{\frac {1}{2}}$被定義為${\sqrt {x}}$。你可以對其他類似分數使用類似的論點，例如$\left(x^{\frac {1}{3}}\right)^{3}=x$，所以$x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$。

總結

• $x^{1}=x$
• $x^{0}=1$
• $x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}$
• $x^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{x}}$

有時你可能需要使用這些定律來理解某些事物的含義，例如$x^{\frac {2}{3}}=\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}$（使用定律 3），以及$\left(x^{2}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x^{2}}}$（使用上面的定義）。記住一般規則很有用，即$x^{\frac {a}{b}}={\sqrt[{b}]{x^{a}}}$。

根式

在數學中，根式是指包含根號的表示式，其解為無理數，無法精確表示 - 例如，√3 = 1.732050808... 。

有時在平方根中運算比使用近似十進位制值更有用。平方根可以像代數表示式一樣進行運算，有時可以消除平方根（稱為有理化表示式），如果嘗試使用近似值，這可能是不可能的。當被要求給出精確值時，近似的十進位制答案是不行的，你需要對根式進行運算，以便在簡化的根式形式下給出最終答案。

根式的簡化

由於根式可以像代數表示式一樣進行運算，你可以輕鬆地展開各項並新增相同的項。然而，還有一些規則在簡化根式時會很有用。

根式的基本規則

因為 ${\sqrt {x}}\times {\sqrt {x}}=x$，所以我們可以將它改寫成 ${\sqrt {x}}={\frac {x}{\sqrt {x}}}$ 和 ${\frac {1}{\sqrt {x}}}={\frac {\sqrt {x}}{x}}$。

根式作為指數

因為 ${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$，指數定律也適用於任何 n 次根。最常使用的情況是定律 4 和 5，對於平方根

• $\left(xy\right)^{n}=x^{n}y^{n}$ 變為 ${\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}$
• $\left({\frac {x}{y}}\right)^{n}={\frac {x^{n}}{y^{n}}}$ 變為 ${\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$

第一個點經常用來簡化平方根，例如 ${\sqrt {200}}={\sqrt {100\times 2}}={\sqrt {100}}\times {\sqrt {2}}=10{\sqrt {2}}$。在考試中，您需要將所有平方根寫成根號內數字最小的形式（即根號內的數字不應該包含任何平方因子）。

有理化分母

另一種簡化包含平方根表示式的技術是有理化分母。這意味著要消除分數分母中的平方根。對於像 ${\frac {5}{\sqrt {3}}}$ 這樣的分數，分子和分母都可以乘以 ${\sqrt {3}}$，得到 ${\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}$。

如果分數的形式是 ${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}$，則上一段中使用的策略需要稍作修改才能奏效。這次應該用 ${b-{\sqrt {c}}}$ 乘以分子和分母。如果您熟悉標準的平方差展開式，您應該已經知道接下來會發生什麼

${\frac {a}{b+{\sqrt {c}}}}\times {\frac {b-{\sqrt {c}}}{b-{\sqrt {c}}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}+b{\sqrt {c}}-b{\sqrt {c}}-{\sqrt {c}}^{2}}}={\frac {ab-a{\sqrt {c}}}{b^{2}-c}}$. 如你所見，分母現在不再包含任何平方根。例如： ${\frac {2}{{\sqrt {3}}-1}}\times {\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {2{\sqrt {3}}+2}{3-1}}={\sqrt {3}}+1$

常見問題和錯誤

拆分根式

一個常見的錯誤是將 ${\sqrt {x+y}}$ 拆分成 ${\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}$ 或 $\left(x+y\right)^{2}$ 拆分成 $x^{2}+y^{2}$，通常在將其移到等號的另一邊時這樣做。嘗試幾個例子，你很快就會發現這是不可能的

• ${\sqrt {25}}$ ≠ ${\sqrt {9}}+{\sqrt {16}}$
• ${\sqrt {64}}$ ≠ ${\sqrt {32}}+{\sqrt {32}}$

等等

$0^{0}$ 的值是多少？

簡短的答案是，對於本課程來說，你不需要知道，你可以安全地跳過這一部分。如果你仍然感興趣，那就繼續讀下去吧

之所以產生這個問題是因為對於任何 $x$，都有 $x^{0}=1$，然而你可能會預期對於任何 $y$，都有 $0^{y}=0$，因為 $0\times 0\times 0\dots =0$。事實證明，在代數的各個部分使用 1 的值非常有用（甚至可能是必要的），而將其設為零則毫無幫助。因此，幾乎所有數學家都會說 $0^{0}$ 等於 1 或它沒有定義（即它不能被賦予一個值）。更詳細的討論可以在 http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ 找到。