A-level 數學/OCR/M2/拋射運動

拋射體是指在重力作用下運動的物體，也可能在水平方向運動。在 M2 中，我們只考慮在同一平面上運動的拋射體。

拋射體在發射時可以看作一個向量，可以表示為速度和角度，也可以表示為 x 和 y 平面上的初始速度，如這裡所示.

由於物體只在一個平面上運動，如果我們假設沒有空氣阻力（這是 M2 中的標準假設），那麼拋射體的水平運動將保持不變，而垂直運動將只受物體質量（重力）的影響。這導致了下面的兩個方程式。

$\ x_{v}=ucos(\theta )\!$
$\ y_{v}=usin(\theta )-gt\!$

以下是拋射體位移的方程式。可以透過從 M1 中的運動方程推匯出這些方程，也可以對速度方程關於 t 進行積分，如下所示：$\ x_{v}={\frac {d(x_{s})}{dt)}}\equiv \int x_{v}dt=x_{s}+c\!$

$\ x_{s}=ucos(\theta )t\!$
$\ y_{s}=usin(\theta )t-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}\!$

使用這四個方程，並應用一些對稱性，我們可以解決許多新問題。

• 當 $\ y_{s}=0\!$ 時，拋射體剛被髮射，或者與發射點（或平坦地面，著陸點）處於同一直線上。要計算射程和飛行時間，我們使用此事實並重新排列

$\ y_{s}=usin(\theta )t-{\tfrac {1}{2}}gt^{2}\!$

$\ 0=t(usin(\theta )-{\tfrac {1}{2}}gt)\!$

$\ t=0\ and\ t={\frac {2usin(\theta )}{g}}\!$

此時 x_s 就是射程，

$\ x_{s}=ucos(\theta )\ *\ {\frac {2usin(\theta )}{g}}\!$

C3 恆等式

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,$

$\ x_{\triangle }={\frac {u^{2}sin(2\theta )}{g}}\!$

• 當 $\ y_{v}=0,y_{s}=maximum\!$ 時，由於我們的垂直速度被物體重量向下加速，使用 M1 知識（h 為最大高度）

$\ v^{2}=u^{2}+2as\!$

$\ 0^{2}=(usin(\theta ))^{2}+2(-g)h\!$

$\ 0=u^{2}sin^{2}(\theta )-2gh\!$

$\ 2gh=u^{2}sin^{2}(\theta )\!$

$\ h_{\triangle }={\frac {u^{2}sin^{2}(\theta )}{2g}}\!$