A-level 物理學（高階物理）/向量

什麼是向量？

物理量有兩類：標量和向量。標量很簡單：它們是像速度、距離或時間這樣的量。它們有大小，但沒有方向。向量量由兩部分組成：一個標量和一個方向。例如，物體的速度由物體的速度和它移動的方向組成。速度是標量；加上方向就變成了速度，即向量。類似地，給距離加上方向，它就變成了位移，例如“東南方向2英里”。距離是標量，而位移是向量。

標量和向量都很有用。例如，如果我在房間裡跑了幾圈，最終回到起點，我可能跑了50米的距離。我的位移是0 - 零向量。零向量是唯一沒有方向的向量。如果我想計算我做了多少功，我應該使用距離。如果我想知道我在哪裡，我應該使用位移。

正如我們將看到的，向量的方向分量可以用幾種不同的方式表示。“東南方向2英里”與“方位角135°方向2英里”或“東1.4英里，北-1.4英里”相同。向量的標量分量稱為向量的**模**。

向量表示法

您需要能夠理解以下向量的代數表示

符號	含義
${\overrightarrow {ab}}$	從點a到點b的向量。
a	名為“a”的向量。這在列印的代數中使用。
a	名為“a”的向量。這在手寫代數中使用。
$\|{\overrightarrow {ab}}\|$ 或 \|a\| 或 \|a\|	向量的模。

向量分量

有時，用其他兩個向量來表示一個向量會很有用。這兩個向量通常指向向上和向右，並且與笛卡爾座標系類似。因此，例如，“向西3.4 ms⁻²的加速度”變成了“0 ms⁻²的垂直加速度和-3.4 ms⁻²的水平加速度”。然而，這是一個非常簡單的例子。

考慮右側的圖。向量a由垂直分量j和水平分量i組成。a的模為|a|。|i|和|j|可以使用|a|、i和a之間的角度θ以及一些基本的三角函式來計算。我們知道

$\cos {\theta }={\frac {|\mathbf {i} |}{|\mathbf {a} |}}$ 和 $\sin {\theta }={\frac {|\mathbf {j} |}{|\mathbf {a} |}}$

因此

|i| = |a| cos θ 和 |j| = |a| sin θ。

這將在考試的公式手冊中給出。

向量加法

您還需要知道如何將向量加在一起。這使我們能夠回答諸如“如果我向西北方向行駛5英里，然後向東行駛6英里，我在哪裡？”或“如果我向北方向加速3 ms^-2，然後向東南方向加速1 ms^-2，我的總加速度是多少？”之類的問題。向量可以“首尾相接”地相加；也就是說，合向量等於“沿”第一個向量“運動”，然後沿第二個向量“運動”。

左側的圖示說明了這一點。當向量a和b相加時，會產生合向量a + b，連線第一個向量的尾部到最後一個向量的頭部，向量首尾相接。在實踐中，將兩個向量加在一起最簡單的方法是計算（如果您尚不知道）垂直和水平分量，並將它們全部加在一起以獲得兩個總的垂直和水平分量。然後，您可以使用勾股定理計算合向量的模，並使用更多基本的三角函式計算其方向。

在代數中

$\sum {|\mathbf {a} |_{n}}={\sqrt {(\sum {|\mathbf {i} |_{n}})^{2}+(\sum {|\mathbf {j} |_{n}})^{2}}}$ 以及 $\theta =\arctan {\frac {\sum {|\mathbf {j} |_{n}}}{\sum {|\mathbf {i} |_{n}}}}$ 。

其中，a₁ ... a_n 是需要相加的向量，i₁ ... i_n 是它們的水平分量，j₁ ... j_n 是它們的垂直分量，θ 是θ=0 線與合向量Σa_n 之間的夾角，如右側圖表所示。

拋物線的預測

如果使用圖表表示向量（使箭頭的長度與它們所代表的向量的模成比例，並使方向相等），則可以圖形化地預測物體（例如球）將遵循的軌跡。請使用以下步驟

繪製一個向量來表示球的速度（以ms⁻¹為單位）。由於這是1秒內移動的米數，並且此過程的每個步驟都持續1秒，因此該向量表示球的速度和位移，即

$\Delta \mathbf {v} ={\frac {\Delta \mathbf {s} }{\Delta t}}={\frac {\Delta \mathbf {s} }{1}}=\Delta \mathbf {s}$

複製此向量，並將它的尾部連線到第一個向量的頭部。如果不存在重力，則此新向量表示球在下一秒內將具有的速度和位移。
繪製另一個向量來表示由於地球上的重力（9.81 ms⁻²）引起的速率變化。它應該指向下方，並且與其他向量具有相同的比例。這表示球的速度由於重力而發生變化（速度是一個向量，因此球的運動速度和角度都會發生變化）。
如上所示將這些向量加在一起，得到一個新的向量。此新向量表示球在第二秒內的速度和位移。
重複此過程，直到球撞到某個物體（如有疑問，請繪製地面）。

問題

1. 以下哪些是向量？

20 cm
9.81 ms⁻² 朝向地心
5 km 偏東南方向
500 ms⁻¹，方位角285.3°

2. 位移向量a 是兩個其他向量的合向量，分別為北向5米和東南向10米。a 等於多少（作為位移和方位角）？

3. 如果我以10 ms⁻¹ 的速度沿方位角030°方向行駛，那麼我向北和向東行駛的速度是多少？

4. 書寫向量的另一種方法是使用列向量，如下所示

$\mathbf {a} ={\binom {x}{y}}$ ,

其中x和y分別為向量的垂直和水平分量。用x和y表示|a|以及a 和 ${\tbinom {1}{0}}$ 之間的夾角。

5. 對球的軌跡進行建模的更準確方法是將空氣阻力作為恆力F 包括在內。這將如何實現？

解答