抽象代數/範疇論

範疇論是研究範疇的學科，範疇是物件的集合和態射（或箭頭），從一個物件到另一個物件。它概括了代數中的許多常見概念，例如不同型別的乘積、核的概念等等。請參閱範疇論以獲取更多資訊。

定義與符號

定義 1: 一個（區域性小）範疇 ${\mathcal {C}}$ 由以下部分組成

一個物件的集合 $\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$.

一個態射的集合 $\mathrm {Arr} ({\mathcal {C}})$.

對於任何 $X,Y\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$，$\mathrm {Hom} (X,Y)$ 是 $\mathrm {Arr} ({\mathcal {C}})$ 中從 $X$ 到 $Y$ 的態射子集，其中每個 $\mathrm {Hom} (X,Y)$ 都需要是一個集合（因此稱為區域性小）。

它們滿足以下公理

存在合成的概念。如果 $X,Y,Z\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$，$f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$ 以及 $g\in \mathrm {Hom} (Y,Z)$，那麼 $f$ 和 $g$ 被稱為可合成對。它們的合成是一個態射 $g\circ f\in \mathrm {Hom} (X,Z)$.

組合是結合的。 $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ 只要組合被定義。

對於任何物件 $X$，存在一個恆等態射 $\mathrm {id} _{X}\in \mathrm {Hom} (X,X)$ 使得如果 $Y,Z$ 是物件， $f\in \mathrm {Hom} (Y,X)$ 以及 $g\in \mathrm {Hom} (X,Z)$，那麼 $\mathrm {id} _{X}\circ f=f$ 以及 $g\circ \mathrm {id} _{X}=g$。

注意我們既不要求 $\mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$ 也不要求 $\mathrm {Arr} ({\mathcal {C}})$ 是集合；如果它們實際上都是集合，那麼我們稱我們的範疇為小範疇。

定義 2： 一個態射 $f$ 與它相關的兩個函式 $\mathrm {dom}$ 和 $\mathrm {cod}$，分別稱為定義域和陪域，使得 $f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$ 當且僅當 $\mathrm {dom} \,f=X$ 且 $\mathrm {cod} \,f=Y$。因此，兩個態射 $f,g$ 可複合當且僅當 $\mathrm {cod} \,f=\mathrm {dom} \,g$。

備註 3： 除非可能造成混淆，我們通常不會指定給定態射屬於哪個 Hom 集。同樣，除非涉及多個範疇，我們通常不會寫 $X\in \mathrm {Obj} ({\mathcal {C}})$，而只寫“$X$ 是一個物件”。我們可能寫 $X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y$ 或 $f:X\to Y$ 來隱式地表示 $f$ 所屬的 Hom 集。我們也可以省略複合符號，直接寫 $gf$ 來表示 $g\circ f$。

基本性質

引理 4： 令 $X$ 是一個範疇的物件。$X$ 的恆等態射是唯一的。

證明：假設 $i$ 和 $j$ 是 $X$ 的恆等態射。則 $i=i\circ j=j$.

例 5： 我們介紹一些最簡單的範疇

i) $0$ 是空範疇，沒有物件也沒有態射。

ii) $1$ 是隻包含一個物件及其恆等態射的範疇。這是平凡範疇。

iii) $2$ 是一個包含兩個物件，$X$ 和 $Y$，它們各自的恆等態射，以及單個態射 $f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$ 的範疇。

iv) 我們也可以有一個類似於 $2$ 的範疇，但我們有兩個態射 $f,g\in \mathrm {Hom} (X,Y)$，其中 $f\neq g$。那麼 $f$ 和 $g$ 被稱為平行態射。

v) $3$ 是一個包含三個物件，$X,Y,Z$ 的範疇。我們有 $f\in \mathrm {Hom} (X,Y)$，$g\in \mathrm {Hom} (Y,Z)$ 和 $h=gf\in \mathrm {Hom} (X,Z)$.

初始物件和終結物件

定義 在一個範疇中，一個物件 $I$ 被稱為初始物件或共終物件，如果對於任何物件 $X$ 都存在唯一的態射 $f:I\to X$

引理 如果 $I$ 和 $J$ 是初始物件，那麼它們是同構的。

證明：設 $i:I\to J$ 和 $j:J\to I$ 是 $I$ 和 $J$ 之間的唯一態射。由於 $I$ 和 $J$ 由於其初始性具有唯一的自同態，此態射必須是恆等態射。因此，$i\circ j$ 和 $j\circ i$ 分別是各自的恆等態射，使得 $I$ 和 $J$ 同構。

定義 在一個範疇中，一個物件 $F$ 被稱為最終物件或共始物件，如果對於任何物件 $X$ 都存在唯一的態射 $f:X\to F$

引理 如果 $T$ 和 $S$ 是最終物件，那麼它們是同構的。

證明：在對偶範疇中，將最終物件的同構轉化為初始物件的同構。

一些範疇的例子

• $\mathbf {Set}$: 該範疇的物件是集合，態射是集合之間的對映。
• $\mathbf {FinSet}$: 該範疇的物件是有限集合，態射是有限集合之間的對映。
• 該類別其物件是 $\mathbb {\mathbb {R} } ^{n}$ 的開子集，其態射是它們之間的連續（可微、光滑）對映。
• 該類別其物件是光滑（可微、拓撲）流形，其態射是光滑（可微、連續）對映。
• 設 $k$ 為域。然後我們可以定義 $k-\mathbf {Vect}$：該類別其物件是在 $k$ 上的向量空間，其態射是 $k$ 上的向量空間之間的線性對映。
• $\mathbf {Group}$：該類別其物件是群，其態射是群之間的同態。

在迄今為止給出的所有例子中，物件都是集合，態射是它們之間的集合對映。情況並不總是如此。在一些類別中這是不可能的，在另一些類別中，該類別不是以這種方式自然出現的。例如

• 設 ${\mathcal {G}}$ 為任意類別。那麼它的對偶類別 ${\mathcal {G}}^{op}$ 是一個具有相同物件的類別，所有箭頭都反轉了。更正式地說，${\mathcal {G}}^{op}$ 中從物件 $X$ 到 $Y$ 的態射是 ${\mathcal {G}}$ 中從 $Y$ 到 $X$ 的態射。
• 設 $M$ 為任意么半群。然後我們可以定義一個只有一個物件的類別，其從該物件到自身的態射由 $M$ 中的元素給出，其合成由 $M$ 中的乘法給出。
• 設 $G$ 為任意群。則我們可以定義一個只有一個物件的範疇，該物件到自身的態射由 $G$ 的元素給出，其合成由 $G$ 中的乘法給出。
• 設 ${\mathcal {C}}$ 為任意小范疇，設 ${\mathcal {D}}$ 為任意範疇。則我們可以定義一個範疇 ${\mathcal {D}}^{\mathcal {C}}$，其物件是從 ${\mathcal {C}}$ 到 ${\mathcal {D}}$ 的函子，其態射是從 ${\mathcal {C}}$ 到 ${\mathcal {D}}$ 的函子之間的自然變換。
• $\mathbf {Cat}$：物件是小范疇，態射是兩個小范疇之間的函子的範疇。